江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学复习自测练习 -空间向量

**基本信息** 聚焦空间向量核心知识，通过单选、多选、填空及综合解答题的分层设计，强化空间几何直观与逻辑推理能力，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量表示、共面条件、点面距离|结合平行六面体等模型，考查基础运算与空间想象| |多选题|3/18|共面向量定理、重心性质|辨析概念逻辑，培养批判性思维| |填空题|3/15|正四面体向量运算、外接球与线线角|融合几何直观与符号运算，提升数学表达| |解答题|5/77|四棱锥/三棱锥中向量应用（共面证明、距离、二面角）|设置探究性问题（如第18题存在性判断），贴合高考命题趋势，发展创新意识|

2026年暑假高中数学（空间向量）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图1，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则 （ ） A. B. C. D. 2．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3．已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为A． B． C． D． （ ） 4．已知直线过点，且方向向量为到的距离为 （ ） A． B． C． D． 5．如图2，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 6．已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 （ ） A. B. C. D. 7．如图3，在直三棱柱中，的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且，设直线与平面所成的角为，则的最大值为 （ ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中是真命题的为 （ ） A.若与，共面，则存在实数，，使 B.若存在实数，，使向量，则与，共面 C.若点，，，四点共面，则存在实数，，使 D.若存在实数，，使，则点，，，四点共面 10．在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 11．如图6，四棱锥的底面为平行四边形，且， ，的重心，的中点， 若，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C．若，则向量共面 D．若 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．正四面体的棱长为1，为底面的中心，则 . 13．在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，分别是直线上的动点，记直线所成的角为，当最小时， . 14．如图7，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图8，已知为空间的9个点，且， ，求证： （1）四点共面，四点共面； （2）；（3）. . 16．如图9，在四面体，点分别为的中点. （1）求线段的长； （2）若，求证：四点共面. 17．如图10，四棱锥的底面为正方形，为正三角形，平面，为的中点，是线段上的动点.（1）证明：；（2）若经过的平面与平面的交线恰好经过线段的中点，求的值. 18．如图12，在四棱锥中，为等边三角形，边长为，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．如图14，在多面体中，，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点. （1）证明：； （2）求直线所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值. 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（空间向量）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图1，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则 （ C ） A. B. C. D. 2．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则 （ C ） A. 1 B. C. D. 【详解】因，所以，可化简为：，即，由于，，，四点共面，则，解得：；故选：C 3．已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为A． B． C． D． （ C ） 4．已知直线过点，且方向向量为到的距离为 （ A ） A． B． C． D． 5．如图2，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则 （ C ） A. 1 B. 2 C. D. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ，因为， 所以 所以. 6．已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】由题意平面的一个法向量是，平面与的法向量分别是，设直线的一个方向向量为，则，所以，取，得，所以，故直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A． 7．如图3，在直三棱柱中，的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且，设直线与平面所成的角为，则的最大值为 （ B ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】如图4所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，，，，，0，， 可得，，，， 因为点在平面上的射影是的重心，所以平面， 所以，即， 解得，即，则点到平面的距离为，是的中点， 所以．故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中是真命题的为 （ BC ） A.若与，共面，则存在实数，，使 B.若存在实数，，使向量，则与，共面 C.若点，，，四点共面，则存在实数，，使 D.若存在实数，，使，则点，，，四点共面 10．在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（ ABD ） A. B. C. D. 【详解】如图5，选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则，， ， ， 故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点，，故D正确．故选：ABD． 11．如图6，四棱锥的底面为平行四边形，且， ，的重心，的中点， 若，则下列结论正确的是 （ACD） A． B． C．若，则向量共面 D．若 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．正四面体的棱长为1，为底面的中心，则 . 13．在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，分别是直线上的动点，记直线所成的角为，当最小时， . 14．如图7，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则__##4.5_____. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以所以 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图8，已知为空间的9个点，且， ，求证： （1）四点共面，四点共面； （2）；（3）. 15．证明：（1），∴A、B、C、D四点共面． ，∴E、F、G、H四点共面． （2） . （3）. 【点睛】空间向量的加、减、数乘、数量积运算可以类比平面向量的对应运算进行. 16．如图9，在四面体，点分别为的中点. （1）求线段的长； （2）若，求证：四点共面. 16．解：（1）设， 由题意知：， ， ， ， 因为分别为的中点， 所以， 则 ， 所以； （2）证明：由题意知：， 所以， ， ， 因为， 而， 根据共面向量定理，共面，又因为它们有公共点， 所以四点共面. 17．如图10，四棱锥的底面为正方形，为正三角形，平面，为的中点，是线段上的动点.（1）证明：；（2）若经过的平面与平面的交线恰好经过线段的中点，求的值. 17．（1）证明：因为为正三角形，为的中点， 所以，因为平面， 平面， 所以， ， ； （2）解：如图11，设线段的中点为，以的中点为坐标原点， 为轴的正方向，为轴的正方向， 为轴的正方向建立空间坐标系， 若，由条件可得, ， ， 设， ， 共面， 所以， 即， ， 18．如图12，在四棱锥中，为等边三角形，边长为，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．解：（1）由平面平面，， 平面平面，平面， 则平面； （2）如图13，取的中点，连接，由于是等边三角形，所以，， 又平面平面，平面，平面平面， 则平面， 故以为轴，为轴，过作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，， 则点到平面的距离. （3）假设棱上存在一点，使得平面，设， 由（2），， ， 又平面的一个法向量是， 当时，，即， 故棱上存在一点，使得平面，且. ,【点睛】关键点睛：本题的关键在于证明平面，从而建立以为轴，为轴，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. 19．如图14，在多面体中，，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点. （1）证明：； （2）求直线所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值. 19．（1）证明：，四边形为正方形， 所以两两垂直， 所以分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系 如图15，如图所示，，， 所以， 则， ， 设， 则， 所以平面的法向量为 ， ； （2）， 设平面的法向量 则得， 令， 设直线所成角为， 所以， 所以直线直线所成角的正弦值为； （3）易知平面的法向量， 设平面的法向量为， 则得， 令，， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 令， ， 令， 所以取得最大值，且最大值为， 且此时， 所以当的中点时，二面角的余弦值取得最大值，且最大值为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $