江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学复习自测练习-三角函数的图象与性质

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过基础辨析、文化情境（如筒车问题）及实际应用（如海浪高度），分层考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、单调性、平移变换|基础概念辨析，如第2题单调区间判断| |多选题|3/18|对称性、零点个数、文化应用|跨情境综合，如第11题筒车问题融合文化传承| |填空题|3/15|值域、周期、单调区间|多参数综合，如第13题周期与单调区间关联| |解答题|5/77|五点法、实际建模、方程根问题|分层能力提升，如第16题海浪高度模型构建，第19题方程根的取值范围探究|

2026年暑假高中数学（三角函数的图象与性质）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数的定义域为集合A．函数的值域为集合B，若A⊆B，则实数a的取值范围为 （　 　） A．[﹣1，1] B． C．[﹣1，+∞） D． 2． 函数为增函数的区间是 （ ） A． B． C． D． 3．将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 4．若函数内存在最小值，则θ的值可以是 （　 　） A． B． C． D． 5．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是 （ 　） A. B. C. 2 D. 6．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A．的图象关于点对称 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线 对称 7．若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8．设函数在上的值域为，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．对于，下列正确的有 （ ） A. 若，则关于直线对称 B. 若，则关于点中心对称 C. 若在上有且仅有4个根，则 D. 若在上单调，则 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是 （ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则 （ ） A. 点P再次进入水中时用时30秒 B. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D. 点P第二次到达距水面米时用时25秒 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈[，]的值域为__________． 13．已知函数，若的最小正周期为，则 ；若的一个单调递增区间为，一个递减区间为，且，则 . 14．函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期|的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 0 0 （1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； （2）若在区间恒成立，求实数的取值范围. 16． 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位:小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24． y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ω t＋b的最小正周期T､振幅A以及函数的表达式； (2)根据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪爱好者开放，根据(1)的结论判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动? 17．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. （1）求的解析式； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 18．设m为实数，已知，且． （1）当时，求满足不等式成立时的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围． 19．函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； （3）若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（三角函数的图象与性质）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数的定义域为集合A．函数的值域为集合B，若A⊆B，则实数a的取值范围为 （　B　） A．[﹣1，1] B． C．[﹣1，+∞） D． 【详解】要使函数有意义，则，得，∵函数f（x）的定义域为A，∴A≠∅，即a≤x＜3﹣2a，即A＝[a，3﹣2a），∵x∈，∴2x+∈[﹣，]，则g（x）∈[2sin（﹣），2sin]，即g（x）∈[﹣1，2]，即B＝[﹣1，2]，若A⊆B，则，得，得≤a＜1，即实数a的取值范围是[，1），故选：B． 2． 函数为增函数的区间是 （ B ） A． B． C． D． 3．将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】画出函数和直线的图象如图所示， 是它们的三个相邻的交点. 由图可知，当在点，在点时，的值最小， 易知的横坐标分别为,所以的最小值为，故选：B. 4．若函数内存在最小值，则θ的值可以是 （　B　） A． B． C． D． 5．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是 （ A　） A. B. C. 2 D. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，可知函数关于直线对称，若，则函数关于直线对称，符合题意； 若，设，则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴，又因为函数的对称轴为轴，则，解得； 综上所述：或结合选项可知：A正确，BCD错误.故选：A. 6．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 （ D ） A．的图象关于点对称 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线 对称 7．若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是 （ D   ） A． B． C． D． 【详解】由，，得，， 所以函数在上由小到大的第5个零点为， 第6个零点为，由题知，，解得，故选：D 8．设函数在上的值域为，则的取值范围是 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由余弦函数的性质可知：当在上单调时， ；当在上不单调时，在上的图象对称时，即在取得最值时，最小，此时有，即，则； 所以的取值范围是.故选：B. 【点睛】方法点睛：三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．对于，下列正确的有 （ACD ） A. 若，则关于直线对称 B. 若，则关于点中心对称 C. 若在上有且仅有4个根，则 D. 若在上单调，则 【详解】对于AB，若，则，令，得，，所以关于直线对称，故A正确；令，得，，所以关于，中心对称，故B错误；对于CD，当时，， 若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C正确； 若在上单调，则，解得，故D正确；故选：ACD. 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是 （ BD ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2 【详解】由函数图象，可得，所以，所以，解得， 又由函数的图象过点，且，当时，可得，所以，解得，因，可得； 当时，可得，所以， 解得，因为，不存在，舍去， 综上可得，，，所以，所以A不正确，B正确； 又因为，所以是函数的一条对称轴，所以B正确； 将函数的图象向右平移个单位后，得到， 因为在上单调递减，则满足． 解得，当时，，而，故不可能等于5，所以C错误．当时，，又因为，所以，所以D正确．故选：BD. 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则 （ BCD ） A. 点P再次进入水中时用时30秒 B. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D. 点P第二次到达距水面米时用时25秒 【详解】解：由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度， 由，所以， 又角速度弧度/秒，时，，所以，， 所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；将代入中，得，或，即，或． 所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．故选：BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈[，]的值域为____[－，0]________． 【详解】因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，x∈[，π]， 所以≤sin x≤1．当sin x＝1，即x＝时，ymax＝0．当sin x＝，即x＝时，ymin＝－． 13．已知函数，若的最小正周期为，则 ；若的一个单调递增区间为，一个递减区间为，且，则 . 14．函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期|的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 0 0 （1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； （2）若在区间恒成立，求实数的取值范围. 15．解：（1）根据五点法的表格中，，， 可知，，，所以， ，，得，所以， 令， 解之得， 即的单调递减区间为，. （2）由于，则， 所以，则， 因为在区间恒成立，所以， 所以的取值范围为. 16． 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位:小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据: t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24． y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ω t＋b的最小正周期T､振幅A以及函数的表达式； (2)根据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪爱好者开放，根据(1)的结论判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动? 16．解：（1）由题意得，T＝12， ∴ω＝＝． 当t＝0时，Acos 0＋b＝，即A＋b＝； 当t＝3时，Acos ＋b＝1，即b＝1， ∴A＝，b＝1， ∴y＝cos t＋1． （2）由题意知，当y＞1时，才对冲浪者开放， ∴cos t＋1＞1， ∴cos t＞0， ∴2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z， 即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z． ∵0≤t≤24， ∴令k＝0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24． 故在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时的时间供冲浪者进行运动，即上午9:00至下午15:00． 17．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. （1）求的解析式； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 17．解：（1）因为，所以、， 依题意可得得， 又∵当时，的最小值为， ∴，又，即， ∴. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得， 即实数的取值范围为. 18．设m为实数，已知，且． （1）当时，求满足不等式成立时的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围． 18．解：（1）当时，，解得， 又，故． （2）因为对任意恒成立， 即恒成立； 设，在上恒成立． ①当时，在上单调递减， 则，即，故． ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 又，所以恒成立，故． ③当时，在上单调递增， 则，即，故． 综上，m的取值范围为． 19．函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； （3）若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 19．解：（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点. 由图象可知符合题意的的取值范围为. 3 学科网（北京）股份有限公司 $