2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试卷（25-26章）

**基本信息** 以一元二次方程与二次函数为核心，通过仿生蝴蝶飞行器产量、实心球投掷等真实情境设计问题，考查运算能力、模型观念和应用意识，适配九年级月考对基础与综合能力的检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|10/30|一元二次方程定义、抛物线平移与性质、根的判别式|结合科技情境（如飞行器产量增长）考查概念辨析| |填空题|6/18|方程求解、二次函数与坐标轴交点、根与系数关系|设计开放性问题（如二次函数增减性参数）| |解答题|8/72|解方程、二次函数解析式、利润与几何面积最值、抛物线平移综合|以体育测试（实心球轨迹）、实践基地（菜园面积）为载体，融合数学建模与推理能力|

2026-2027学年九年级数学上册第一次月考测试卷（25-26章） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 7．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 9．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．方程的根是_______． 12．二次函数与轴交于，则的值为______． 13．已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 14．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 15．已知，是方程的两个根，则_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17.（8分）解方程： (1)； (2)． 18.（6分）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值； (2)将化成的形式． 19．（8分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 20．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 21．（10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 22．（10分）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 23.（10分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，当点E与点B重合时，求的面积； (3)连接，若恰好平分，求平移的距离． 参考答案 一、单项选择题. 1．B 解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 2．C 解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 3．C 解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 4．C 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．C 解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 6．A 解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 7．A 解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 8．C 解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9．B 解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 10．D 解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题． 11．， 解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 12． 解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 13．2 解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 14．（答案不唯一，任意负数均可） 解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 15．12 解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 16． 解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 三、解答题. 17.（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． 18．（1）解：将点代入，得：， 解得：； （2）解：． 19．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 20．（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 21.（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 22.（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 23．解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 24.（1）解：过，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； （2）解：把代入得，， ∴点C为． ∵， ∴， ∴． 设过、， 得， 解得， ∴． 依题意，抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位， 新的抛物线解析式为：． ∵点E与点B重合， ∴过点． 代入得，， 解得（舍去）或． ∴，顶点为． 令，， 解得，， ∴， ∴． 过点作于点M，连接， ∴点M坐标为， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到： ． 过B作轴交于点N， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∵平移后抛物线与x轴交于点E，F， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴平移的距离为：． 学科网（北京）股份有限公司 $