18.3 分式的加法与减法（预习讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“分式的加法与减法”核心知识点，系统梳理同分母分式加减（分母不变、分子相加减）和异分母分式加减（先通分再加减）的运算法则，通过题型归纳构建从基础运算到混合运算、化简求值及实际应用的学习支架。 该资料以“题型专练+巩固练习”为特色，例题与变式结合强化运算能力，应用题型（如糖水浓度、照相机成像公式）培养数学眼光与应用意识，通过错误辨析（如方方解题过程）发展推理思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第十八章 分式 03讲 分式的加法与减法 题型归纳 【题型1. 同分母分式加减 2】 【题型2. 异分母分式加减 4】 【题型3. 分式的混合运算 6】 【题型4. 分式的化简求值 12】 【题型5. 分式加减的应用 15】 【巩固练习 20】 知识清单 知识点1 同分母分式加减 1.运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 知识点2 异分母分式的加减 1.运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 题型专练 题型1. 同分母分式加减 【例1】计算：________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 【例2】化简的结果是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了同分母的分数运算和平方差公式，同分母分数相减，分母不变分子相减，然后，利用平方差公式，对分子进行因式分解，最后化简即可求出结果； 【详解】解：原式 ． 故答案为：或． 【变式1】化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查分式加减运算，掌握算理是解决问题的关键．先化为同分母分式相加减，再进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式2】计算：__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是熟练掌握分式加减的法则． 利用分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式3】计算：____． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减，先将分母化为相同的，再根据同分母分式的加减法法则（分母不变，分子相加减）进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为______． 【答案】或-2（答出其中一个即可） 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同分母分式的加减运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，然后将或代入求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴当时，原式； 当时，原式； 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 题型2. 异分母分式加减 【例1】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，首先将分母因式分解，然后通分，合并分子后约分得到结果，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】化简的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式加法运算．根据异分母分式加法运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【变式2】化简：______． 【答案】 【分析】先通分，后化简解答即可． 本题考查了分式的化简，熟练掌握化简的基本计算是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】已知，则代数式的值是______； 【答案】4 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值．先将代数式通分，再将已知代入即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式4】对于两个非零实数，，定义运算“※”如下：．例如：．若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的运用，根据自定义可得，然后再变形即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3. 分式的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把分式的分子分解因式，再把除法变成乘法，最后约分即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法，最后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例2】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则，计算括号里面的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据平方差公式，结合分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据同分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式乘法运算法则，进行计算即可； （3）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （4）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】化简： (1) (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可． （2）先把除法转化为乘法并约分，再通分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握方式的运算法则是解题的关键 （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； （2）先对括号内的因式分解，再把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘； （3）先计算分式乘方，把分子分母分别乘方，再把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)a+1 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 题型4. 分式的化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解：， 当，时，原式． 【例2】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果，最后代入计算最终值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对除法的分子分母因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【详解】解：， ∵， ∴， 当时，原式无意义； 当时，原式． 【变式4】化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】(1)，时，原式 (2)，时，原式 【详解】（1）解：原式 根据分母不为0得到且 ∴时，原式； （2）解：原式 ∵当和1时，会使分式分母，原式没有意义 当时，会使原式的除式，原式无意义 ∴从中选取一个整数，只能选，则原式 题型5. 分式加减的应用 【例1】照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 【详解】解： （）， ， ， 故选：C． 【例2】根据如图所示的程序，求输出的化简结果． 【答案】 【分析】根据题意列式，再结合分式混合运算法则进行计算即可．本题考查分式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：依题意： ． ∴输出的化简结果为 【变式1】已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 【变式2】若等式成立，则________，若，则________． 【答案】 【分析】（1）等式两边分母的最简公分母为，再利用平方差公式和完全平方公式求解的表达式； （2）等式两边分母的最简公分母为，再展开得到的表达式． 【详解】解：根据题意得：； ． 【变式3】已知． 方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程． 解： ， 因为，所以，即p一定大于q． 你觉得方方说法正确吗？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据分式加减运算法则求出，然后分情况进行讨论即可． 【详解】解：方方说法不正确，理由： ∵ ， 而方方在解答过程中将分母去掉了， ∴方方说法不正确． 正确的解法为： ∵ ， ∵，当时，， ∴， ∴p大于q； ∵，当时，， ∴， ∴p大于q； ∵，当时，， ∴， ∴p小于q． 综上，p不一定大于q． 【变式4】阅读与思考 下面是小颖同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． ×月×日                                 星期三                                      晴 用数学知识解释生活现象 数学李老师常说：“我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．为此，我尝试着用数学知识解释了下面的生活现象． 发现问题 生活经验告诉我们，往一杯糖水中再加入一点糖，水就变更甜了．用数学的知识如何解释其中的道理呢？ 分析问题 将上述生活现象转化为数学问题：将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量（含糖量）可以记为，再往杯中加入克糖，可以表示出现在糖水的含糖量． 解决问题 ①根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到不等式___________； ②验证该不等式的正确性： ．．． 回顾反思 在验证不等式的正确性时我遇到了困难，同桌小果给我分享了“用求差法比较大小”的方法，帮助我顺利解决了问题． 用求差法比较大小 我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 任务： (1)小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为___________； A．    B．    C． (2)请你利用求差法验证（1）中所选不等式的正确性． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据题意可得现在糖水的含糖量，比之前的含糖量高，用一个不等式表示即可求解； （2）利用作差法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 故选A； （2）解：， ，， ，， ． ． 巩固练习 1．（2026·天津河北·二模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将两个分式化为同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，再约分即可求解． 【详解】解： ． 2．（2026·河南洛阳·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用分式基本性质化为同分母，再合并分子，利用完全平方公式因式分解后约分即可得到结果. 【详解】解：. 3．（2026·山东烟台·一模）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先将分母互为相反数的分式进行变形，化为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则进行计算，最后化简得到结果． 【详解】解： ． 4．（2026·四川南充·一模）计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果． 【详解】解:原式 ． 5．（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分合并化简即可得到结果． 【详解】原式 ． 6．（2026·河南·二模）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 7．（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 8．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【分析】分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果． 【详解】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为， ∴走第一条路花费的时间为； ∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为， ∴走第二条路花费的时间为， ∵， ∴走第一条路花费时间比第二条少． 9．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式通分化简，得到与的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴原等式变形为，， 移项得，， 交叉相乘得，，即， 整理得，， ， 两边平方得：， 将代入得：， ∴． 10．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 12．（2026·四川成都·一模）已知，则代数式的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值． 根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值. 【详解】解：， ， ， ， ， 等式两边同时乘，得， ， 原式． 13．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 【答案】< 【分析】先利用负整数指数幂计算，然后进行有理数大小比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果，那么的值为______． 【答案】1 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，然后根据负整数指数幂的定义代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴． 15．（2026·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则，将除法转化为乘法并因式分解，约分后进行减法运算，化简分式，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（2026·安徽滁州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式除法的运算法则进行化简，再将代入计算即可求解． 【详解】， ， ， ， 当时，原式． 17．（2026·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再将代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 18．（2026·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】6 【分析】对于括号内的分式减法，先通分，将其化为同分母分式再计算，用到分式加减法法则．把除法运算转化为乘法运算，用到分式除法法则，即除以一个分式等于乘以它的倒数．对化简后的式子进行因式分解，再约分，用到因式分解的方法．对进行变形，代入化简后的式子计算． 【详解】解： ∵， ∴， 代入化简结果：． 19．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：化简： ， 把代入计算，原式． 20．（25-26八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 把代入：原式 21．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】 【详解】解： ， 当，2时，分式无意义，所以， 当时，原式． 22．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 23．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 24．（2026·陕西铜川·二模）已知，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把分式化简，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 25．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 【答案】，2 【分析】先计算小括号里面的，通分，将异分母分式相加转化为同分母分式相加，再进行除法运算，将除法变乘法，化简后，选择使原式有意义的值，将 代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵的值为，0，1时，分式无意义， ∴当时，原式． 26．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 27．（25-26八年级下·河南南阳·期中）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________； (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：原式 解：原式 【答案】(1)分式的基本性质；乘法分配律； (2)见解析． 【分析】（1）根据两个同学的步骤分析即可； （2）选择一种解法，继续解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知甲同学第一步是通分，依据是分式的基本性质， 乙同学第一步是括号内的每一个分式乘以括号外的，依据是乘法分配律； （2）解：选择甲同学解答： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 28．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 29．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 03讲 分式的加法与减法 题型归纳 【题型1. 同分母分式加减 2】 【题型2. 异分母分式加减 2】 【题型3. 分式的混合运算 2】 【题型4. 分式的化简求值 4】 【题型5. 分式加减的应用 6】 【巩固练习 8】 知识清单 知识点1 同分母分式加减 1.运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 知识点2 异分母分式的加减 1.运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 题型专练 题型1. 同分母分式加减 【例1】计算：________． 【例2】化简的结果是_______． 【变式1】化简的结果是________． 【变式2】计算：__________． 【变式3】计算：____． 【变式4】从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为______． 题型2. 异分母分式加减 【例1】计算：_______． 【例2】计算的结果是______． 【变式1】化简的结果是_______． 【变式2】化简：______． 【变式3】已知，则代数式的值是______； 【变式4】对于两个非零实数，，定义运算“※”如下：．例如：．若，则的值为_____________． 题型3. 分式的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【例2】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】化简： (1) (2)化简：． 【变式3】计算 (1) (2) (3) 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4) 题型4. 分式的化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中，． 【例2】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【变式4】化简求值： (1)先化简，再求值：，再从，，0，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． (2)先化简然后从中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 题型5. 分式加减的应用 【例1】照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【例2】根据如图所示的程序，求输出的化简结果． 【变式1】已知，则的最小值是__________． 【变式2】若等式成立，则________，若，则________． 【变式3】已知． 方方说：“p一定大于q”．以下是方方的解答过程． 解： ， 因为，所以，即p一定大于q． 你觉得方方说法正确吗？为什么？ 【变式4】阅读与思考 下面是小颖同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． ×月×日                                 星期三                                      晴 用数学知识解释生活现象 数学李老师常说：“我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．为此，我尝试着用数学知识解释了下面的生活现象． 发现问题 生活经验告诉我们，往一杯糖水中再加入一点糖，水就变更甜了．用数学的知识如何解释其中的道理呢？ 分析问题 将上述生活现象转化为数学问题：将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量（含糖量）可以记为，再往杯中加入克糖，可以表示出现在糖水的含糖量． 解决问题 ①根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到不等式___________； ②验证该不等式的正确性： ．．． 回顾反思 在验证不等式的正确性时我遇到了困难，同桌小果给我分享了“用求差法比较大小”的方法，帮助我顺利解决了问题． 用求差法比较大小 我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 任务： (1)小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为___________； A．    B．    C． (2)请你利用求差法验证（1）中所选不等式的正确性． 巩固练习 1．（2026·天津河北·二模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东烟台·一模）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·四川南充·一模）计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 5．（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·二模）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 9．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 10．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，则的值是______． 12．（2026·四川成都·一模）已知，则代数式的值为_____． 13．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果，那么的值为______． 15．（2026·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中． 16．（2026·安徽滁州·一模）先化简，再求值：，其中． 17．（2026·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 18．（2026·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 19．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 20．（25-26八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 22．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 23．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 24．（2026·陕西铜川·二模）已知，且，求代数式的值． 25．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，再从，，0，1中选一个合适的数代入求值． 26．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）先化简，再求值：，其中． 27．（25-26八年级下·河南南阳·期中）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________； (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：原式 解：原式 28．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 29．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $