专题11相似三角形性质与判定及应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学相似三角形核心知识点，系统梳理平行判定（A型/X型）、AA、SAS、SSS及直角三角形HL五大判定定理，串联对应线段、周长面积比例性质、重心2:1特性，构建“证相似→算线段/周长/面积→实际测距测高”完整解题逻辑链，为学生提供阶梯式学习支架。 资料亮点在于考点划分清晰，定理与解题场景精准匹配，含14类题型及难度星级，易错点（如SAS非夹角误用）专项警示。通过三大测高模型（影子、标杆、镜面反射）培养几何直观与模型意识，推理过程强化逻辑思维。讲学两用，教师可直接划分课时重难点，学生能套用解题模板，课中提升教学效率，课后助力查漏补缺。

专题11相似三角形性质与判定及应用精讲学案 课堂核心立意 完整串联相似三角形四大判定定理、线段周长面积比例性质、重心特性、生活测量应用题，构建「证相似→用相似算线段、周长、面积→实际测距测高」完整解题逻辑链，考点划分清晰、定理搭配解题使用场景，教师备课直接用来划分课时重难点、搭配例题模型，学生直接背诵定理、套用解题模板，讲学两用实用性极强。 平行线判定三角形相似【基础判定★高频考点】 ①定理内容：平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边或两边延长线相交，截得的小三角形和原三角形相似。 ②包含A型、X型两种经典几何模型，看到平行线可直接跳过角度推导，直接判定三角形相似。 ③依托相似直接列出对应边比例式，快速求解线段长度。 两角对应相等（AA）判定三角形相似【核心判定★中考必考】 ①判定依据：两个三角形有两组内角对应相等，即可直接判定相似。 ②解题快速挖掘等角条件：公共角、对顶角、同角的余角、同角的补角、直角、圆周角相等，凑齐两组等角完成证明。 ③两个直角三角形，只需一组锐角对应相等，直接判定相似。 两边成比例且夹角相等（SAS）判定相似【常用证明判定】 ①判定依据：两组对应边比值相等，且两组边的夹角对应相等，三角形相似。 ①硬性关键点：相等的角必须是两组比例边的夹角，边角位置错乱无法证明相似。 ③题干给出两组边长、一组夹角条件时，优先选用该判定方法。 三边对应成比例（SSS）判定三角形相似【边长条件专用判定】 ①判定依据：三角形三组对应长边、中边、短边比值全部相等，两三角形相似。 ②解题将三角形三边由长到短排序，依次计算比值，比值统一即可证相似。 ③多用于网格三角形、已知全部边长的几何证明题型。 直角三角形HL型相似判定【直角三角形专属结论】 ①判定依据：两个直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，直接判定相似。 ②衍生射影定理模型：直角三角形斜边上的高，将大直角三角形分为两个小直角三角形，三个三角形两两相似。 相似三角形基础边角性质 ①对应角完全相等，对应边长的比值等于相似比，用于角度等量代换、线段列式计算。 ②书写相似三角形时顶点顺序一一对应，规避对应边匹配错误。 相似三角形对应线段比例性质【线段计算核心】 ①对应高、对应中线、对应角平分线的长度之比，全部等于相似比。 ②已知相似比与原三角形特殊线段长度，直接换算出相似三角形对应线段长度。 相似三角形周长、面积比例性质【计算重难点★易错题】 ①周长之比等于相似比，直接用相似比换算整体周长。 ②面积之比等于相似比的平方，禁止直接用相似比计算面积数值。 ③已知面积比值，开平方反向求出相似比，再求解边长、周长。 三角形重心定义与比例性质【课本定点考点】 ①重心为三角形三条中线的交点。 ②重心分割中线长度比例：顶点到重心线段∶重心到底边线段=2∶1。 ③依靠固定2:1比例，直接快速计算中线分段长度。 相似三角形实际应用（测高、测距）【应用题考点】 ①三大经典模型：影子测高、标杆测高、镜面反射测高，全部构造直角三角形相似。 ②搭建相似几何模型，列出对应边比例方程，求解建筑物高度、河道宽度、视线盲区长度等实际数据。 1.使用SAS相似判定，拿非夹角相等证明相似，证明逻辑直接失效； 2.面积计算忽略相似比平方关系，直接用边长比例算面积，计算结果出错； 3.相似三角形书写顶点顺序混乱，对应边找错，比例方程式列式错误； 4.重心线段比例记反，误记为1:2，线段长度计算颠倒； 5.平行线相似只记得A型图，遗漏X型（对顶）相似模型，图形判断不全。 题型 考察方向 难度 题型一 利用平行判定相似 ★★★ 题型二 利用两角对应相等判定相似 ★★★ 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★★ 题型四 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型五 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★★ 题型七 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型八 利用相似求坐标 ★★★ 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十一 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型十三 重心的概念 ★ 题型十四 重心的有关性质 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★★★中考高频必考；★★常考；★基础了解 题型一：利用平行判定相似 解题思路： ①观察图形，识别A型、X型两大平行线相似基本模型；A型：直线平行三角形底边，截两条边；X型：平行线截两条边的延长线，形成对顶三角形。 ②找到题干中平行条件，直接使用定理：平行于三角形一边的直线，截得三角形与原三角形相似，无需再推导角度。 ③严格按照相似顶点对应关系，书写对应边比例式。 ④把已知线段数值代入比例方程，求解未知线段长。 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 3．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 题型二：利用两角对应相等判定相似 解题思路： ①先锁定题目现成等角：公共角、对顶角、直角，作为第一组相等角。 ②挖掘第二组等角：平行线带来的内错角；同角（等角）的余角、补角；角加减运算得到的等角。 ②凑齐两组对应相等角，直接判定三角形相似。 ④直角三角形简化：只需找到一组锐角对应相等，即可证相似。 ⑤证完相似后，利用对应边成比例求解线段。 4．如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 5．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 6．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 题型三：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解题思路： ①整理两个三角形的已知边长，找准两组对应边，写成比例等式。 ②重点定位夹角：确认相等的角，必须是两组比例边的公共夹角，非夹角相等不能用本判定。 ③同时满足“两边对应成比例＋夹角相等”，方可判定相似。 ④若题目只给边长，没有夹角条件，则放弃此判定方法。 7．在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 8．如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【答案】或 【分析】结合相似三角形的判定找出可能成比例的线段：或，设，则，分别由或推出，，再结合有且只有两个点进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， ， 当或时，与相似， 四边形是平行四边形， ， 设，则， 当时，， ， 当时，， ， 有且只有两个点， 有两种情况， 第一种情况：有两个相等的实数根， ， 或， 又， ； 第二种情况：有两个不等的实数根，且是它的一个根， ，， 或， 又， ； 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定、平行四边形的性质、根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 9．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 题型四：利用三边对应成比例判定相似 解题思路： ①分别将两个三角形的三边，统一按「长边→中边→短边」顺序排序。 ②一一对应计算三组边的比值。 ③三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。 ④网格题型、题干全部给出边长条件的题目优先选用本判定。 10．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 11．在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 12．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型五：相似三角形的判定综合 解题思路： ①先审题判断条件偏向：图中有平行线优先平行判定；角度条件充足优先AA；大量边长数据优先SAS、SSS。 ②很多题型不能直接得到判定条件，需要先借助平行线、全等、角的运算，推导需要的等角或者边比例。 ③完成相似证明后，按顶点对应列出比例式，求解线段长度。 ④注意：证明过程，每一步判定都要写清定理依据。 13．如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有4对； 故选C． 14．如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得 ，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定 和 与 相似． 【点睛】解：， ． ，， ， ． ， ． 又 ， ． 在 和 中， ， ． 在 和 中， ， ． 综上所述，与 相似的三角形有 、、，共 个． 15．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有___________． 【答案】乙和丁 【详解】． 【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定． 题型六：选择或补充条件使两个三角形相似 解题思路： ①圈读题干，明确题目已经给出的已知条件：是已有一组等角，还是已有两边成比例。 ②情况1：已经给出1组等角。可补充：①再一组等角（AA）；②该角的两边对应成比例（SAS）。 ③情况2：已经给出两组边对应成比例。可补充：①两边的夹角相等（SAS）；②第三组边也成比例（SSS）。 ④看清题目要求“填一个条件”，答案不唯一，填写最简条件；注意顶点对应，避免无效条件。 16．如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 【答案】（或或） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知可得，根据相似三角形的判定定理，添加条件，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件，则； 添加条件，则； 添加条件，则； 故答案为：（或或）． 17．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ________________．（只需填一个）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 根据两角对应相等两三角形相似判断即可． 【详解】解：若添加：． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 18．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 题型七：利用相似三角形的性质求解 解题思路： ①第一步先证三角形相似，书写相似时顶点顺序必须一一对应，防止找错对应边。 ②角度计算：直接用相似三角形对应角相等做角度等量代换。 ③线段计算：对应边、对应高、对应中线、对应角平分线之比全部等于相似比。 ④周长：周长之比=相似比；面积：面积之比=相似比的平方。 ⑤已知面积比，要先开平方得到相似比，再计算边长、线段。 19．如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：， ， ． 20．如图所示，已知，，且，，若图中两直角三角形相似，则________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，，根据相似三角形的性质，列出式子计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，图中两直角三角形相似， ∴，， ①当时，有，则，即， ． ②当时，有，则， ． 21．如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 【详解】解：点 、 分别是、  的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 由， ∴． 题型八：利用相似求坐标 解题思路： ①根据坐标系，读出已知点坐标，算出已知线段的长度。 ②分两类情况：明确相似顶点对应；没有明确对应，需要分类讨论多解。 ③利用相似三角形对应边成比例，列出方程求出未知线段。 ④结合点所在象限、坐标轴位置，算出点横、纵坐标。 ⑤检验：舍去不符合题意的坐标解。 22．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 23．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得绕P点逆时针旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图形相似，根据一次函数的解析式，即可得到答案. 【详解】根据题意可得， 设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点， ∴当y=0时，， 解得x=-1， ∴OA=1，OP=， ∵旋转90°， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴OB=3，则B点坐标为（3,0）， 设，将B（3,0）代入可得 ， ∴. 故选D 【点睛】本题考查求一次函数解析式及三角形相似相关知识，关键是利用旋转后的图形与原图形相似，得到新函数解析式与x轴的交点. 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型九：在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题思路： ①先用勾股定理，算出原三角形三边长度，把三边由大到小排序。 ②算出原三角形三边的比值。 ③在网格里选取格点，构造新三角形，让新三角形三边比值和原三角形比值保持一致。 ④可以放大、缩小相似比；注意区分全等（相似比=1）也是特殊的相似。 ⑤画完后，再次计算新三角形三边，验证比值是否相等。 25．如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 26．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 27．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 题型十：相似三角形 —— 动点问题 解题思路： ①设动点运动时间为t，用含t代数式，把动线段长度全部表示出来。 ②题干未指明对应顶点，必须进行分类讨论，分多组相似情况。 ③每一种相似情况，找准一组对应边，列出关于t的比例方程。 ④解方程求出t值；检验解：t要满足动点在线段上的取值范围，舍去超出范围的解。 ⑤根据有效t，再求线段、面积等其他问题。 28．如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（    ） A．20 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图， ，， ， 在和中，，， ∴， 由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入方程式 解得：(舍去)，， ， ，， 矩形的面积为； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键． 29．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的分类讨论，根据题意列出线段的长是解题的关键． 首先设运动时间为t秒，得到，，再分为和两种情况进行讨论，分别求解不同的t值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ①当时， ∴，即，解得：； ②当时， ∴，即，解得：； ∴在或时，以A，D，E为顶点的三角形与相似 故答案为：或． 30．如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论． 【详解】解：设运动时间为秒． ，，， 当，， 即， 解得； 当，， 即， 解得， 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想． 题型十一：相似三角形实际应用 解题思路： ①识别三类经典模型：影子测高、标杆测高、镜面反射测高。 ②把实际场景抽象转化成几何图形，找出两组相似直角三角形。 ③标记实际场景的已知长度，找准相似三角形的对应边。 ④列对应边成比例的方程，求解高度、河宽等实际量。 ⑤结果结合实际，作答带上单位。 31．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 32．约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰倒立的像的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得，经检验，符合题意； 即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 33．在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 【详解】由题意知：， ， 由平行投影知：， ， ， ， 即， 解得：， 则旗杆的长为． 34．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 【答案】B 【分析】如图，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯A的高度等于米． 题型十二：相似三角形的判定与性质综合 解题思路： ①读题拆分成两步：第一步完成相似的证明；第二步运用相似性质计算。 ②证明相似，根据条件选用4种判定定理之一；经常会结合平行线、对顶角、公共角推导条件。 ③证出相似后，使用对应边、周长、面积、对应高的比例性质列式。 ④复杂题会嵌套二次方程，求解后检验结果是否符合图形实际。 35．如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为________． 【答案】18 【分析】首先由得到，然后证明出，根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴ ∴的面积为18． 36．如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 37．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形性质得到，，证明、，结合求出相关三角形面积，进而求出的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ，，即， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 38．如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算菱形的边长，利用平行四边形的判定和性质求出的长，再利用平行线分线段成比例计算的长，最后比较四条线段的长度得出最长的线段． 【详解】解：在菱形中，， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在线段中，最长的线段为． 题型十三：重心的概念 解题思路： ①记忆定义：三角形三条中线的交点叫做重心。 ②区分易混概念：重心（中线交点）；垂心（高线交点）；内心（角平分线交点）；外心（垂直平分线交点）。 ③看到重心，立刻联想中线，题目没有中线辅助线，需要自己画出中线。 39．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故选：A． 40．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 【答案】5.8 【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，则有，由重心可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示： ∴， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知， ∴正方体货物点G到直线的距离为； 故答案为5.8． 41．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 题型十四：重心的有关性质 解题思路： ①重心性质：重心把任意一条中线分成两段；顶点到重心:重心到对边中点=2:1。 ②已知中线全长，可以按2:1比例，分别求出两段线段。 ③已知其中一小段线段，利用比例反向求中线总长。 ④注意易错：2是靠近顶点的线段，切勿记颠倒；重心只针对中线，高线、角平分线不适用本比例。 42．如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的考点是三角形重心的性质．解题的关键是理解并运用三角形重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍这一性质． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． 设，则， 因为， 即， 解得， 所以． 故答案选：B． 43．如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的重心的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴是的中线，是的中线，故ABC不符合题意； ∴， ∴与的面积相等，故D符合题意； 故选：D． 44．如图，点是的重心，且，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据三角形重心的性质可得为的中线且，从而求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 点是的重心， 是的中线，，为的中点， ， ， ，为的中点， 是斜边上的中线， ． 45．如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 解答题 1．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【答案】见解析 【分析】由作法得，则，由三角形外角的性质和等边对等角可得，进一步可证明，再由，即可证明． 【详解】证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 4．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 5．如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 6．如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 7．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 8．如图，中，，，，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒． (1)当为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为个平方单位？ 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，动点问题，将动态问题转化为静态的代数问题是解题关键． （1）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的两种对应情况，分别列出比例式建立方程，求解得到的值； （2）过点作的垂线，用三角函数表示出高，再代入三角形面积公式建立一元二次方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：，，， ， ，，， 分两种情况讨论： 当，则， 可得， 解得； 当，则， 可得， 解得． 综上，当或，与相似． 答：或． （2）解：过点作， 在中，，，，， ， ， ， ， ， ， 解得，， 故当或时，的面积为个平方单位． 答：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11相似三角形性质与判定及应用精讲学案 课堂核心立意 完整串联相似三角形四大判定定理、线段周长面积比例性质、重心特性、生活测量应用题，构建「证相似→用相似算线段、周长、面积→实际测距测高」完整解题逻辑链，考点划分清晰、定理搭配解题使用场景，教师备课直接用来划分课时重难点、搭配例题模型，学生直接背诵定理、套用解题模板，讲学两用实用性极强。 平行线判定三角形相似【基础判定★高频考点】 ①定理内容：平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边或两边延长线相交，截得的小三角形和原三角形相似。 ②包含A型、X型两种经典几何模型，看到平行线可直接跳过角度推导，直接判定三角形相似。 ③依托相似直接列出对应边比例式，快速求解线段长度。 两角对应相等（AA）判定三角形相似【核心判定★中考必考】 ①判定依据：两个三角形有两组内角对应相等，即可直接判定相似。 ②解题快速挖掘等角条件：公共角、对顶角、同角的余角、同角的补角、直角、圆周角相等，凑齐两组等角完成证明。 ③两个直角三角形，只需一组锐角对应相等，直接判定相似。 两边成比例且夹角相等（SAS）判定相似【常用证明判定】 ①判定依据：两组对应边比值相等，且两组边的夹角对应相等，三角形相似。 ①硬性关键点：相等的角必须是两组比例边的夹角，边角位置错乱无法证明相似。 ③题干给出两组边长、一组夹角条件时，优先选用该判定方法。 三边对应成比例（SSS）判定三角形相似【边长条件专用判定】 ①判定依据：三角形三组对应长边、中边、短边比值全部相等，两三角形相似。 ②解题将三角形三边由长到短排序，依次计算比值，比值统一即可证相似。 ③多用于网格三角形、已知全部边长的几何证明题型。 直角三角形HL型相似判定【直角三角形专属结论】 ①判定依据：两个直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，直接判定相似。 ②衍生射影定理模型：直角三角形斜边上的高，将大直角三角形分为两个小直角三角形，三个三角形两两相似。 相似三角形基础边角性质 ①对应角完全相等，对应边长的比值等于相似比，用于角度等量代换、线段列式计算。 ②书写相似三角形时顶点顺序一一对应，规避对应边匹配错误。 相似三角形对应线段比例性质【线段计算核心】 ①对应高、对应中线、对应角平分线的长度之比，全部等于相似比。 ②已知相似比与原三角形特殊线段长度，直接换算出相似三角形对应线段长度。 相似三角形周长、面积比例性质【计算重难点★易错题】 ①周长之比等于相似比，直接用相似比换算整体周长。 ②面积之比等于相似比的平方，禁止直接用相似比计算面积数值。 ③已知面积比值，开平方反向求出相似比，再求解边长、周长。 三角形重心定义与比例性质【课本定点考点】 ①重心为三角形三条中线的交点。 ②重心分割中线长度比例：顶点到重心线段∶重心到底边线段=2∶1。 ③依靠固定2:1比例，直接快速计算中线分段长度。 相似三角形实际应用（测高、测距）【应用题考点】 ①三大经典模型：影子测高、标杆测高、镜面反射测高，全部构造直角三角形相似。 ②搭建相似几何模型，列出对应边比例方程，求解建筑物高度、河道宽度、视线盲区长度等实际数据。 1.使用SAS相似判定，拿非夹角相等证明相似，证明逻辑直接失效； 2.面积计算忽略相似比平方关系，直接用边长比例算面积，计算结果出错； 3.相似三角形书写顶点顺序混乱，对应边找错，比例方程式列式错误； 4.重心线段比例记反，误记为1:2，线段长度计算颠倒； 5.平行线相似只记得A型图，遗漏X型（对顶）相似模型，图形判断不全。 题型 考察方向 难度 题型一 利用平行判定相似 ★★★ 题型二 利用两角对应相等判定相似 ★★★ 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★★ 题型四 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型五 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★★ 题型七 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型八 利用相似求坐标 ★★★ 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十一 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型十三 重心的概念 ★ 题型十四 重心的有关性质 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★★★中考高频必考；★★常考；★基础了解 题型一：利用平行判定相似 解题思路： ①观察图形，识别A型、X型两大平行线相似基本模型；A型：直线平行三角形底边，截两条边；X型：平行线截两条边的延长线，形成对顶三角形。 ②找到题干中平行条件，直接使用定理：平行于三角形一边的直线，截得三角形与原三角形相似，无需再推导角度。 ③严格按照相似顶点对应关系，书写对应边比例式。 ④把已知线段数值代入比例方程，求解未知线段长。 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 3．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型二：利用两角对应相等判定相似 解题思路： ①先锁定题目现成等角：公共角、对顶角、直角，作为第一组相等角。 ②挖掘第二组等角：平行线带来的内错角；同角（等角）的余角、补角；角加减运算得到的等角。 ②凑齐两组对应相等角，直接判定三角形相似。 ④直角三角形简化：只需找到一组锐角对应相等，即可证相似。 ⑤证完相似后，利用对应边成比例求解线段。 4．如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 5．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 6．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 题型三：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解题思路： ①整理两个三角形的已知边长，找准两组对应边，写成比例等式。 ②重点定位夹角：确认相等的角，必须是两组比例边的公共夹角，非夹角相等不能用本判定。 ③同时满足“两边对应成比例＋夹角相等”，方可判定相似。 ④若题目只给边长，没有夹角条件，则放弃此判定方法。 7．在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 9．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 题型四：利用三边对应成比例判定相似 解题思路： ①分别将两个三角形的三边，统一按「长边→中边→短边」顺序排序。 ②一一对应计算三组边的比值。 ③三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。 ④网格题型、题干全部给出边长条件的题目优先选用本判定。 10．图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 11．在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 12．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 题型五：相似三角形的判定综合 解题思路： ①先审题判断条件偏向：图中有平行线优先平行判定；角度条件充足优先AA；大量边长数据优先SAS、SSS。 ②很多题型不能直接得到判定条件，需要先借助平行线、全等、角的运算，推导需要的等角或者边比例。 ③完成相似证明后，按顶点对应列出比例式，求解线段长度。 ④注意：证明过程，每一步判定都要写清定理依据。 13．如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 14．如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有___________． 题型六：选择或补充条件使两个三角形相似 解题思路： ①圈读题干，明确题目已经给出的已知条件：是已有一组等角，还是已有两边成比例。 ②情况1：已经给出1组等角。可补充：①再一组等角（AA）；②该角的两边对应成比例（SAS）。 ③情况2：已经给出两组边对应成比例。可补充：①两边的夹角相等（SAS）；②第三组边也成比例（SSS）。 ④看清题目要求“填一个条件”，答案不唯一，填写最简条件；注意顶点对应，避免无效条件。 16．如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 17．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ________________．（只需填一个）    18．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 题型七：利用相似三角形的性质求解 解题思路： ①第一步先证三角形相似，书写相似时顶点顺序必须一一对应，防止找错对应边。 ②角度计算：直接用相似三角形对应角相等做角度等量代换。 ③线段计算：对应边、对应高、对应中线、对应角平分线之比全部等于相似比。 ④周长：周长之比=相似比；面积：面积之比=相似比的平方。 ⑤已知面积比，要先开平方得到相似比，再计算边长、线段。 19．如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 20．如图所示，已知，，且，，若图中两直角三角形相似，则________________． 21．如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 题型八：利用相似求坐标 解题思路： ①根据坐标系，读出已知点坐标，算出已知线段的长度。 ②分两类情况：明确相似顶点对应；没有明确对应，需要分类讨论多解。 ③利用相似三角形对应边成比例，列出方程求出未知线段。 ④结合点所在象限、坐标轴位置，算出点横、纵坐标。 ⑤检验：舍去不符合题意的坐标解。 22．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    23．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 题型九：在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题思路： ①先用勾股定理，算出原三角形三边长度，把三边由大到小排序。 ②算出原三角形三边的比值。 ③在网格里选取格点，构造新三角形，让新三角形三边比值和原三角形比值保持一致。 ④可以放大、缩小相似比；注意区分全等（相似比=1）也是特殊的相似。 ⑤画完后，再次计算新三角形三边，验证比值是否相等。 25．如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 27．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 题型十：相似三角形 —— 动点问题 解题思路： ①设动点运动时间为t，用含t代数式，把动线段长度全部表示出来。 ②题干未指明对应顶点，必须进行分类讨论，分多组相似情况。 ③每一种相似情况，找准一组对应边，列出关于t的比例方程。 ④解方程求出t值；检验解：t要满足动点在线段上的取值范围，舍去超出范围的解。 ⑤根据有效t，再求线段、面积等其他问题。 28．如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（    ） A．20 B．16 C． D． 29．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 30．如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 题型十一：相似三角形实际应用 解题思路： ①识别三类经典模型：影子测高、标杆测高、镜面反射测高。 ②把实际场景抽象转化成几何图形，找出两组相似直角三角形。 ③标记实际场景的已知长度，找准相似三角形的对应边。 ④列对应边成比例的方程，求解高度、河宽等实际量。 ⑤结果结合实际，作答带上单位。 31．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 32．约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 33．在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 34．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 题型十二：相似三角形的判定与性质综合 解题思路： ①读题拆分成两步：第一步完成相似的证明；第二步运用相似性质计算。 ②证明相似，根据条件选用4种判定定理之一；经常会结合平行线、对顶角、公共角推导条件。 ③证出相似后，使用对应边、周长、面积、对应高的比例性质列式。 ④复杂题会嵌套二次方程，求解后检验结果是否符合图形实际。 35．如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为________． 36．如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 37．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为，则的面积为_______． 38．如图，在菱形中，点分别在和边上，点在边上，且．若，则四条线段中最长的是（     ）． A． B． C． D． 题型十三：重心的概念 解题思路： ①记忆定义：三角形三条中线的交点叫做重心。 ②区分易混概念：重心（中线交点）；垂心（高线交点）；内心（角平分线交点）；外心（垂直平分线交点）。 ③看到重心，立刻联想中线，题目没有中线辅助线，需要自己画出中线。 39．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 40．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 41．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 题型十四：重心的有关性质 解题思路： ①重心性质：重心把任意一条中线分成两段；顶点到重心:重心到对边中点=2:1。 ②已知中线全长，可以按2:1比例，分别求出两段线段。 ③已知其中一小段线段，利用比例反向求中线总长。 ④注意易错：2是靠近顶点的线段，切勿记颠倒；重心只针对中线，高线、角平分线不适用本比例。 42．如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 43．如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 44．如图，点是的重心，且，已知，则的长为______． 45．如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 4．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 5．如图，已知：在与中，，．求证：． 6．如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 8．如图，中，，，，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒． (1)当为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为个平方单位？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $