专题08圆周角.圆内接四边形及正多边形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学圆周角、圆内接四边形及正多边形三大核心知识点，系统梳理圆周角的判定条件与定理推论，圆内接四边形的性质及适用边界，正多边形的判定、与圆的构造关系及计算模型，形成从概念理解到定理应用再到综合计算的学习支架。 该资料采用符号拆分短句排版并突出重点标识，聚焦中考高频考点，分类呈现11类题型及解题思路，助力学生在推理中明晰逻辑、在模型应用中提升计算能力，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生针对性查漏补缺，培养数学眼光与思维。

专题08圆周角.圆内接四边形及正多边形精讲学案 课堂核心立意 聚焦圆角度换算、四点共圆倒角、正多边形圆系计算三大中考主干考点，采用符号拆分短句排版，重点用标识突出，告别大段密集文字，授课备课、考前背诵清晰直观。 圆周角基础概念【基础必记】 判定双条件：顶点在圆上 + 两边与圆相交，两个条件缺一不可 👉作用：区分圆周角与圆心角，搞定选择题概念辨析题型 圆周角核心定理【核心定理★高频考点】 定理：圆周角度数 = 对应弧圆心角度数÷2 👉作用：借助圆弧完成圆心角、圆周角角度互化，圆角度计算核心依据 圆周角两条实用推论【证明&计算常用】 ①同圆/等圆内，同弧、等弧对应的圆周角相等，等圆周角对应等弧 ②直径和90°圆周角可以互相推导 👉作用：第一条用于几何证明等角、等弧等量代换；第二条看到直径直接构造直角三角形，是经典辅助线思路 圆周角定理使用前提【避坑要点】 硬性限制：等弧对等角、等角对等弧结论，仅能在同圆、等圆条件下成立 👉作用：半径不同的圆形，圆周角相等不能判定弧长相等，防止证明步骤失分 圆内接四边形定义判定【概念识记】 定义：四边形四个顶点落在同一个圆周上，简称四点共圆，该圆为四边形外接圆 👉作用：四点共圆是使用四边形特殊角度性质的必要前提 圆内接四边形两大核心角度性质【计算&倒角★高频考点】 ①两组对角互补，对角相加等于180° ②四边形外角 = 不相邻的内对角 👉作用：选择填空直接口算角度，复杂几何图形快速转换角度，简化证明步骤 圆内接特殊四边形结论【直接套用结论】 圆内接平行四边形为矩形；圆内接菱形为正方形 👉作用：几何证明直接判定特殊四边形形状 圆内接四边形性质适用边界【易错红线】 重要提醒：对角互补、外角倒角性质，只对四点共圆四边形生效 👉作用：普通四边形、梯形不能套用该角度规律，规避概念性错误 正多边形判定定义【概念判断】 判定双条件：各边长全部相等 + 各个内角全部相等 👉作用：菱形等边不等角、矩形等角不等角，二者都不属于正多边形 正多边形与圆构造关系【原理理解】 将圆n等分，顺次连接等分点得到圆内接正n边形，外接圆、内切圆为同心圆 👉作用：理解正多边形边角由来，支撑几何计算学习 正多边形三大核心几何量【计算基础★必背】 1.外接圆半径：圆心到正多边形顶点的线段长度 2.中心角计算公式：360°÷边数n 3.边心距：圆心到正多边形边的垂线段，等同于内切圆半径 👉作用：全部正多边形计算题的基础核心量 正多边形直角三角形计算模型【计算核心】 结构：外接圆半径、边心距、边长的一半，组合形成直角三角形 👉作用：利用勾股定理，互相求解边长、外接圆半径、边心距 正多边形常用计算公式【公式直接套用】 单个内角=(n−2)×180°÷n；周长=边长×边数；面积=×周长×边心距 👉作用：计算题直接代入数值运算，无需临时推导公式 正多边形计算辨析要点【计算纠错】 区分中心角（圆心夹角）、多边形内角（图形顶点内角） 面积公式固定使用边心距，禁止替换为外接圆半径 👉作用：避开角度混用、面积代值两大计算失误 1.运用圆周角等量推论时，遗漏同圆、等圆前置条件，几何证明逻辑不完整扣分。 2.未判定四点共圆，直接对普通四边形使用对角互补、外角倒角性质。 3.正多边形解题混淆中心角与内角公式，角度计算结果出错。 4.正多边形面积计算，错误用外接圆半径代替边心距代入公式。 5.判定正多边形只验证边长相等或者内角相等单一条件，判定结论错误。 题型 考察方向 难度 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★★ 题型二 圆周角定理 ★★★ 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★★ 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★★ 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★★ 题型六 已知圆内接四边形求角度 ★★★ 题型七 求四边形外接圆的直径 ★★ 题型八 求正多边形的中心角 ★★★ 题型九 已知正多边形的中心角求边数 ★★ 题型十 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型十一 尺规作图 —— 正多边形 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：圆周角的概念辨析及简单运算 解题思路： ①判断圆周角，核对两点：顶点在圆周上、角的两边都和圆相交，两个条件同时满足才是圆周角。 ②做角度计算，先找出圆周角所对的弧。 ③找到同弧对应的圆心角，用「圆心角÷2」计算圆周角大小。 1．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 2．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝______ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 3．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 题型二：圆周角定理 解题思路： ①先找到圆周角、圆心角共同对应的那一段弧。 ②已知圆心角求圆周角：圆心角÷2。 ③已知圆周角求圆心角：圆周角×2。 4．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 5．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 6．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 题型三：同弧或等弧所对的圆周角相等 解题思路： ①在图中找出公共弧或者相等的弧。 ②同一段弧所对全部圆周角度数相等，实现角度等量转移。 ③证明书写时，必须写明前提：在同圆或等圆中。 7．如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 8．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 9．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 题型四：半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题思路： ①看到题目给出直径，把直径两端点和圆上任意一点相连。 ②直接得到90°直角，构造直角三角形。 ③利用直角两锐角互余、勾股定理，求角度或者线段长度。 10．如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得，则，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 11．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】连接，构造出直角三角形，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：连接， ， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 题型五：90 度的圆周角所对的弦是直径 解题思路： ①确认90°角的顶点在圆周上。 ②连接直角与圆的两个交点，这条弦即为圆的直径。 ③直径的中点就是圆心，由此可以求出半径。 13．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 14．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的），直径为25寸，要做成矩形板材，矩形的顶点均在上，使其宽达到7寸，则的长是______寸． 【答案】24 【分析】连接，如图，根据矩形的性质可得是圆的直径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是圆的直径， ∴， 则在直角三角形中，由勾股定理得：， 即, 解得：（寸），负值舍去. 15．在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（   ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 连接，根据的圆周角所对的弦为直径，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴由勾股定理得， ∴此圆的半径约为， 故选：B． 题型六：已知圆内接四边形求角度 解题思路： ①求对角：圆内接四边形对角和为180°，用180°减去已知内角，得到对角。 ②求外角：四边形外角 = 不相邻的内对角，直接等量代换求值。 16．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 17．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 18．如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 19．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可． 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 题型七：求四边形外接圆的直径 解题思路： ①先确认四边形四点共圆。 ②在图形中找到圆上90°的圆周角。 ③该90°角所对的对角线就是外接圆直径。 ④利用勾股定理计算对角线的长度，得到直径。 20．如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 21．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根， ∴设矩形的长和宽分别为a、b，则， ∴矩形的对角线长， ∴这个矩形的外接圆的直径是， 故答案为：． 22．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 题型八：求正多边形的中心角 解题思路： ①读题提取正多边形的边数n。 ②套用公式：中心角=。 ③直接计算得到中心角度数。 23．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 24．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 25．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 题型九：已知正多边形的中心角求边数 解题思路： ①提取题目给出的中心角度数。 ②套用变形公式：边数n=。 ③算出结果，检验结果必须是正整数。 26．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数n可由公式“中心角”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，中心角为， ∴， ∴这个正多边形的边数为5． 故选：D． 27．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 28．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 29．如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 题型十：正多边形和圆的综合 解题思路： ①过圆心向正多边形的一条边作垂线，分割出直角三角形。 ②直角三角形三边：外接圆半径、边心距、边长的一半。 ③已知其中两条，利用勾股定理求出第三条线段。 ④求面积：算出多边形周长，代入公式S=周长边心距计算。 30．我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形中心角的特点，结合等边三角形的判定，即可得到边长与外接圆半径的关系． 【详解】解：如图所示， ∴ 正六边形的中心角为 ，， ∴是等边三角形， ∴ 正六边形的边长等于外接圆半径， ∵ 外接圆半径为， ∴ 正六边形的边长为． 31．如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 【答案】 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是， 是正五边形的外接圆，半径为， ， 解得， 这个圆锥底面圆的半径是， 故答案为：． 32．如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 33．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 题型十一：尺规作图 —— 正多边形 解题思路： ①作正四边形：画圆，作两条互相垂直的直径。 ②依次连接直径的4个交点，得到正方形。 ③作正六边形：用圆的半径长在圆周上依次截取，得到6个等分点。 ④顺着圆周顺序连接等分点，禁止跳点连接。 34．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 35．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 36．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 解答题 1．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 2．如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：． (2)若，求和的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． 为直径，， ． ∵ ， 在和中， ， ． (2)； 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得，进而证明即可求解； （2）连接并延长交于点，可知，根据正切值可知，进而可求，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接并延长交于点， 点是的中点，， ， ， ∴ ， ∴在中，， ， ∴． ∴在中，， ， ∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ． 3．如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．（两题都要保留作图痕迹）． (1)图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图②中找出的外接圆的圆心O；并在圆上找点，使得最小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接，由网格的特点可得，则； （2）取格点E、F、G，连接交于点O，连接交圆于点D，由网格的特点可得，则为圆的直径，则点O为圆心，则点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 4．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵，，，是上的四点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，又，所以，根据等腰三角形的判定和性质定理证明． 【详解】略． 5．【课本再现】 （1）如图1，矩形的对角线相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； 【类比迁移】 （2）如图2，和是有公共斜边的直角三角形，判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，若在，指出圆心的位置，并结合图2①或②中的其中一个说明理由；若不在，请举出一个反例； 【拓展延伸】 （3）如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是和． 求证：直线，的外接圆相交于一点． 【答案】 （1）证明：∵矩形的对角线相交于点O， ∴，， 则， 即A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）选图①： 取的中点，连接， ∴， ∵和是有公共斜边的直角三角形， ∴ 即， ∴A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点； 选图②：取的中点，连接， ∴， ∵和是有公共斜边的直角三角形， ∴ 即， ∴A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点； （3）证明：连接，并延长交于一点，且交于点，如图所示： ∵，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， 即A，B，C，H四个点是在同一个圆上， ∴直线，的外接圆相交于一点，即该点为点． 【分析】（1）根据矩形的性质：对角线互相平分且相等，得，即可作答． （2）选图①：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出即，故A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点，选图②：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出即，故A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点， （3）先连接，并延长交于一点，且交于点，结合等腰直角三角形的性质，证明，则，运用三角形内角和性质得，则，，故A，B，C，H四个点是在同一个圆上，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，90度的圆周角所对的弦是直径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 【答案】(1)是 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （5）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （6）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应， ∴是的函数； （2）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，， ∴，， ∴； （4）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴； （5）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （6）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08圆周角.圆内接四边形及正多边形精讲学案 课堂核心立意 聚焦圆角度换算、四点共圆倒角、正多边形圆系计算三大中考主干考点，采用符号拆分短句排版，重点用标识突出，告别大段密集文字，授课备课、考前背诵清晰直观。 圆周角基础概念【基础必记】 判定双条件：顶点在圆上 + 两边与圆相交，两个条件缺一不可 👉作用：区分圆周角与圆心角，搞定选择题概念辨析题型 圆周角核心定理【核心定理★高频考点】 定理：圆周角度数 = 对应弧圆心角度数÷2 👉作用：借助圆弧完成圆心角、圆周角角度互化，圆角度计算核心依据 圆周角两条实用推论【证明&计算常用】 ①同圆/等圆内，同弧、等弧对应的圆周角相等，等圆周角对应等弧 ②直径和90°圆周角可以互相推导 👉作用：第一条用于几何证明等角、等弧等量代换；第二条看到直径直接构造直角三角形，是经典辅助线思路 圆周角定理使用前提【避坑要点】 硬性限制：等弧对等角、等角对等弧结论，仅能在同圆、等圆条件下成立 👉作用：半径不同的圆形，圆周角相等不能判定弧长相等，防止证明步骤失分 圆内接四边形定义判定【概念识记】 定义：四边形四个顶点落在同一个圆周上，简称四点共圆，该圆为四边形外接圆 👉作用：四点共圆是使用四边形特殊角度性质的必要前提 圆内接四边形两大核心角度性质【计算&倒角★高频考点】 ①两组对角互补，对角相加等于180° ②四边形外角 = 不相邻的内对角 👉作用：选择填空直接口算角度，复杂几何图形快速转换角度，简化证明步骤 圆内接特殊四边形结论【直接套用结论】 圆内接平行四边形为矩形；圆内接菱形为正方形 👉作用：几何证明直接判定特殊四边形形状 圆内接四边形性质适用边界【易错红线】 重要提醒：对角互补、外角倒角性质，只对四点共圆四边形生效 👉作用：普通四边形、梯形不能套用该角度规律，规避概念性错误 正多边形判定定义【概念判断】 判定双条件：各边长全部相等 + 各个内角全部相等 👉作用：菱形等边不等角、矩形等角不等角，二者都不属于正多边形 正多边形与圆构造关系【原理理解】 将圆n等分，顺次连接等分点得到圆内接正n边形，外接圆、内切圆为同心圆 👉作用：理解正多边形边角由来，支撑几何计算学习 正多边形三大核心几何量【计算基础★必背】 1.外接圆半径：圆心到正多边形顶点的线段长度 2.中心角计算公式：360°÷边数n 3.边心距：圆心到正多边形边的垂线段，等同于内切圆半径 👉作用：全部正多边形计算题的基础核心量 正多边形直角三角形计算模型【计算核心】 结构：外接圆半径、边心距、边长的一半，组合形成直角三角形 👉作用：利用勾股定理，互相求解边长、外接圆半径、边心距 正多边形常用计算公式【公式直接套用】 单个内角=(n−2)×180°÷n；周长=边长×边数；面积=×周长×边心距 👉作用：计算题直接代入数值运算，无需临时推导公式 正多边形计算辨析要点【计算纠错】 区分中心角（圆心夹角）、多边形内角（图形顶点内角） 面积公式固定使用边心距，禁止替换为外接圆半径 👉作用：避开角度混用、面积代值两大计算失误 1.运用圆周角等量推论时，遗漏同圆、等圆前置条件，几何证明逻辑不完整扣分。 2.未判定四点共圆，直接对普通四边形使用对角互补、外角倒角性质。 3.正多边形解题混淆中心角与内角公式，角度计算结果出错。 4.正多边形面积计算，错误用外接圆半径代替边心距代入公式。 5.判定正多边形只验证边长相等或者内角相等单一条件，判定结论错误。 题型 考察方向 难度 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★★ 题型二 圆周角定理 ★★★ 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★★ 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★★ 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★★ 题型六 已知圆内接四边形求角度 ★★★ 题型七 求四边形外接圆的直径 ★★ 题型八 求正多边形的中心角 ★★★ 题型九 已知正多边形的中心角求边数 ★★ 题型十 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型十一 尺规作图 —— 正多边形 ★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：圆周角的概念辨析及简单运算 解题思路： ①判断圆周角，核对两点：顶点在圆周上、角的两边都和圆相交，两个条件同时满足才是圆周角。 ②做角度计算，先找出圆周角所对的弧。 ③找到同弧对应的圆心角，用「圆心角÷2」计算圆周角大小。 1．如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝______ 3．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 题型二：圆周角定理 解题思路： ①先找到圆周角、圆心角共同对应的那一段弧。 ②已知圆心角求圆周角：圆心角÷2。 ③已知圆周角求圆心角：圆周角×2。 4．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 5．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 6．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 题型三：同弧或等弧所对的圆周角相等 解题思路： ①在图中找出公共弧或者相等的弧。 ②同一段弧所对全部圆周角度数相等，实现角度等量转移。 ③证明书写时，必须写明前提：在同圆或等圆中。 7．如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 9．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 题型四：半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题思路： ①看到题目给出直径，把直径两端点和圆上任意一点相连。 ②直接得到90°直角，构造直角三角形。 ③利用直角两锐角互余、勾股定理，求角度或者线段长度。 10．如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 11．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是__________． 12．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 题型五：90 度的圆周角所对的弦是直径 解题思路： ①确认90°角的顶点在圆周上。 ②连接直角与圆的两个交点，这条弦即为圆的直径。 ③直径的中点就是圆心，由此可以求出半径。 13．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 14．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的），直径为25寸，要做成矩形板材，矩形的顶点均在上，使其宽达到7寸，则的长是______寸． 15．在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（   ） A．10 B．5 C．8 D．6 题型六：已知圆内接四边形求角度 解题思路： ①求对角：圆内接四边形对角和为180°，用180°减去已知内角，得到对角。 ②求外角：四边形外角 = 不相邻的内对角，直接等量代换求值。 16．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 17．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 18．如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 题型七：求四边形外接圆的直径 解题思路： ①先确认四边形四点共圆。 ②在图形中找到圆上90°的圆周角。 ③该90°角所对的对角线就是外接圆直径。 ④利用勾股定理计算对角线的长度，得到直径。 20．如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 21．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________． 22．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 题型八：求正多边形的中心角 解题思路： ①读题提取正多边形的边数n。 ②套用公式：中心角=。 ③直接计算得到中心角度数。 23．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 24．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 25．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 题型九：已知正多边形的中心角求边数 解题思路： ①提取题目给出的中心角度数。 ②套用变形公式：边数n=。 ③算出结果，检验结果必须是正整数。 26．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 27．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 28．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 29．如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 题型十：正多边形和圆的综合 解题思路： ①过圆心向正多边形的一条边作垂线，分割出直角三角形。 ②直角三角形三边：外接圆半径、边心距、边长的一半。 ③已知其中两条，利用勾股定理求出第三条线段。 ④求面积：算出多边形周长，代入公式S=周长边心距计算。 30．我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 31．如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 32．如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 33．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型十一：尺规作图 —— 正多边形 解题思路： ①作正四边形：画圆，作两条互相垂直的直径。 ②依次连接直径的4个交点，得到正方形。 ③作正六边形：用圆的半径长在圆周上依次截取，得到6个等分点。 ④顺着圆周顺序连接等分点，禁止跳点连接。 34．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 35．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 36．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 解答题 1．如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 2．如图，为的内接三角形，是直径，是的中点，连结，过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：． (2)若，求和的长． 3．如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．（两题都要保留作图痕迹）． (1)图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图②中找出的外接圆的圆心O；并在圆上找点，使得最小． 4．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 5．【课本再现】 （1）如图1，矩形的对角线相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； 【类比迁移】 （2）如图2，和是有公共斜边的直角三角形，判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，若在，指出圆心的位置，并结合图2①或②中的其中一个说明理由；若不在，请举出一个反例； 【拓展延伸】 （3）如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是和． 求证：直线，的外接圆相交于一点． 6．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 7．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $