专题07相似三角形判定定理证明与性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形判定与性质核心知识点，以平行线三大功能（推比例线段、求线段长与比值、判定A字/8字模型）为基础，系统梳理相似比、对应线段（高、中线、角平分线）、周长及面积比例关系，构建“平行条件→比例列式→相似判定→性质计算”的学习支架。 该资料特色在于融合核心素养，通过固定比例书写格式、模型识别培养几何直观（数学眼光），标准化解题逻辑强化推理能力（数学思维），11种题型覆盖从基础到综合应用，结合小孔成像等实际问题培养应用意识（数学语言）。课中板书警示易错点提升教学效率，课后分层练习助力学生查漏补缺。

专题07相似三角形判定定理证明与性质精讲学案 课堂核心立意 本节课合并两课时内容，聚焦平行线在相似几何里三大实用功能：平行推比例线段、平行求线段长与比值、平行直接判定A字/8字相似模型；系统落地相似三角形全套运算性质，覆盖边角、特殊线段、周长、面积比例换算。打造「平行条件→比例列式→相似判定→性质计算」标准化解题逻辑，是几何证明、长度计算题的核心抓手。 平行线三大核心考点 1. 平行推导三角形内成比例线段 平行于三角形一边的直线交三角形两边（或延长线），截取的对应线段成比例。 授课要点：固定三种比例书写格式（上:下、上:总长、下:总长），直接规避学生比例式左右颠倒的低级错误。 2. 平行截线计算线段长度、线段比值 利用平行线比例等式，代入已知线段列方程求解未知边长；复合型多层平行线，拆解为基础A字型、8字型分段算比值，适配课堂例题、当堂巩固计算题。 3. 平行线直接判定三角形相似（高频几何模型） 三角形底边平行线直接形成A字型、8字型标杆相似模型，无需证明两角相等，可直接由平行得出三角形相似。 阅卷书写格式：DE BC，ADE ABC，简化证明步骤，考场提速必备结论。 基础边角性质+相似比书写规范 相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似比具有顺序性，两个三角形书写顺序调换，相似比互为倒数。 硬性答题要求：相似符号顶点严格一一对应，从根源杜绝对应边、对应角找错失分。 对应特殊线段比例（选填秒杀结论） 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，全部等于相似比。 易错警示：只可使用对应线段列式，非对应高线、中线无法直接套用比例公式。 周长、面积比例换算（解答题计算重难点） 周长之比=相似比 面积之比=相似比的平方 逆向计算关键：已知面积之比反求线段长度，必须对面积比开平方得到相似比，是全班高频计算失分点。 （课堂板书重点警示） 1. 平行线比例线段对应关系错乱，比例式左右写反，整题计算作废。 2. A字型、8字型图形识别失误，混淆三角形对应边。 3. 相似三角形顶点标注无序，对应边、相似比匹配错误。 4. 采用非对应高、中线搭建比例式，解题无定理依据，扣除步骤分。 5. 直接将面积比等同于相似比计算边长，面积反向求边长忘记开平方运算。 题型 考察方向 难度 题型一 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型三 利用平行判定相似 ★★ 题型四 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型五 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型六 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型七 利用相似求坐标 ★★★★ 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★★ 题型九 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★★ 题型十 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十一 相似三角形的综合问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：由平行判断成比例的线段 解题思路： ①定位图形中的平行线，识别A字型或者8字型，分清直线相交的是三角形两边还是两边延长线。 ②找出被平行线所截出的对应线段。 ③按照上比下、上比整体、下比整体的关系，写出正确的比例式。 1．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 3．如图，若，，则的长为_____． 4．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 题型二：由平行截线求相关线段的长或比值 解题思路： ①识别A字型、8字型模型，根据平行条件写出对应线段的比例等式。 ②把已知线段数值代入式子，未知线段设未知数。 ③建立方程求解线段长度，求比值结果做好约分。 ④遇到复杂复合图形，拆分成基础A字型、8字型分步计算。 5．在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 7．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 题型三：利用平行判定相似 解题思路： ①在题图中找出一组平行的边。 ②确认图形构成A字型或者8字型。 ③按照规范格式书写证明，由平行直接得出两个三角形相似。 ④书写相似符号时，保证两个三角形顶点一一对应。 9．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，则的值为______． 11．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 题型四：证明三角形的对应线段成比例 解题思路： ①先通过判定定理证明两个目标三角形相似。 ②利用相似三角形性质，对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 ③将要证明的线段之比转化为三角形的相似比，完成证明。 12．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 13．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，若，，，则的长为______.    15．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 题型五：利用相似三角形的性质求解 解题思路： ①先确定三角形相似，求出对应相似比。 ②边长、对应高、对应中线、对应角平分线、周长直接套用相似比进行计算。 ③计算面积时使用相似比的平方；已知面积比求线段，则对面积比开平方得到相似比。 ④代入数据计算，区分对应线段和普通线段。 16．已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 17．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 18．已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 19．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 题型六：相似三角形的判定与性质综合 解题思路： ①梳理题干条件，选用平行判定、AA、SAS、SSS证明三角形相似。 ②计算得到两组三角形的相似比。 ③借助相似性质，求边长、证明线段成比例、计算周长或者面积。 ④必要时结合勾股定理、等腰三角形性质辅助运算。 20．如图，在中，是上的一点，，，，则________． 21．如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 22．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 23．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 题型七：利用相似求坐标 解题思路： ①读取坐标系内已知点坐标，计算水平、竖直方向线段长度。 ②找出图形中存在的相似三角形，算出相似比。 ③依靠相似比，算出目标点的水平、竖直线段长度。 ④结合图形位置算出横、纵坐标。 ⑤存在多种位置情况时，分类讨论，不要遗漏解。 24．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 25．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    26．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型八：在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题思路： ①借助勾股定理算出原三角形三条边长，得到三边的比例关系。 ②在网格中寻找格点，构造三边比值和原三角形相等的三角形，可以放大或者缩小相似比。 ③保证作图顶点落在网格格点上。 ④作图完成后验算三边比例是否满足相似要求。 27．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 28．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 29．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型九：相似三角形 —— 动点问题 解题思路： ①设运动时间为t，用含t的代数式，表示动点变化之后各线段的长度。 ②确定有可能相似的两个三角形。 ③未指明对应顶点时，分多种对应情况讨论。 ④每种对应关系分别列出比例方程，求解时间t。 ⑤检验求出的t是否符合动点运动范围，舍去不符合题意的解。 30．如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 31．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 32．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 33．如图，在中，，，动点，同时从点出发，点由到以的速度向终点作匀速运动，点沿以的速度向终点作匀速运动，那么的面积与点运动的时间之间的函数图象大致是（     ） A． B． C．D． 题型十：相似三角形实际应用 解题思路： ①读懂实际问题，把现实情景抽象转化为几何示意图。 ②从情景中找到相等角或者平行关系，构建出一对相似三角形。 ③找准两组三角形的对应边，列出比例式。 ④统一单位后代入数值，计算实际所求长度。 34．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 35．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是________． 36．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型十一：相似三角形的综合问题 解题思路： ①拆解大题，把复杂图形拆分为A字型、8字型等基础相似模型。 ②先判定三角形相似，求出相似比，得到边、角的等量关系。 ③结合勾股定理、三角函数、特殊四边形、全等三角形等知识。 ④若存在动点、存在性问题，则进行分类讨论。 ⑤结合结论进行计算或者推导证明，检验结果是否符合题意。 37．如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．      38．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 39．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 解答题 1．如图，已知：在与中，，．求证：． 2．在中，已知是的角平分线，求证：． 3．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 4．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 5．如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 6．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上．（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，在线段上作点M，使得． 7．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 8．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似三角形判定定理证明与性质精讲学案 课堂核心立意 本节课合并两课时内容，聚焦平行线在相似几何里三大实用功能：平行推比例线段、平行求线段长与比值、平行直接判定A字/8字相似模型；系统落地相似三角形全套运算性质，覆盖边角、特殊线段、周长、面积比例换算。打造「平行条件→比例列式→相似判定→性质计算」标准化解题逻辑，是几何证明、长度计算题的核心抓手。 平行线三大核心考点 1. 平行推导三角形内成比例线段 平行于三角形一边的直线交三角形两边（或延长线），截取的对应线段成比例。 授课要点：固定三种比例书写格式（上:下、上:总长、下:总长），直接规避学生比例式左右颠倒的低级错误。 2. 平行截线计算线段长度、线段比值 利用平行线比例等式，代入已知线段列方程求解未知边长；复合型多层平行线，拆解为基础A字型、8字型分段算比值，适配课堂例题、当堂巩固计算题。 3. 平行线直接判定三角形相似（高频几何模型） 三角形底边平行线直接形成A字型、8字型标杆相似模型，无需证明两角相等，可直接由平行得出三角形相似。 阅卷书写格式：DE BC，ADE ABC，简化证明步骤，考场提速必备结论。 基础边角性质+相似比书写规范 相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似比具有顺序性，两个三角形书写顺序调换，相似比互为倒数。 硬性答题要求：相似符号顶点严格一一对应，从根源杜绝对应边、对应角找错失分。 对应特殊线段比例（选填秒杀结论） 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，全部等于相似比。 易错警示：只可使用对应线段列式，非对应高线、中线无法直接套用比例公式。 周长、面积比例换算（解答题计算重难点） 周长之比=相似比 面积之比=相似比的平方 逆向计算关键：已知面积之比反求线段长度，必须对面积比开平方得到相似比，是全班高频计算失分点。 （课堂板书重点警示） 1. 平行线比例线段对应关系错乱，比例式左右写反，整题计算作废。 2. A字型、8字型图形识别失误，混淆三角形对应边。 3. 相似三角形顶点标注无序，对应边、相似比匹配错误。 4. 采用非对应高、中线搭建比例式，解题无定理依据，扣除步骤分。 5. 直接将面积比等同于相似比计算边长，面积反向求边长忘记开平方运算。 题型 考察方向 难度 题型一 由平行判断成比例的线段 ★★ 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型三 利用平行判定相似 ★★ 题型四 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型五 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型六 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型七 利用相似求坐标 ★★★★ 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★★ 题型九 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★★ 题型十 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十一 相似三角形的综合问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：由平行判断成比例的线段 解题思路： ①定位图形中的平行线，识别A字型或者8字型，分清直线相交的是三角形两边还是两边延长线。 ②找出被平行线所截出的对应线段。 ③按照上比下、上比整体、下比整体的关系，写出正确的比例式。 1．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 4．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 题型二：由平行截线求相关线段的长或比值 解题思路： ①识别A字型、8字型模型，根据平行条件写出对应线段的比例等式。 ②把已知线段数值代入式子，未知线段设未知数。 ③建立方程求解线段长度，求比值结果做好约分。 ④遇到复杂复合图形，拆分成基础A字型、8字型分步计算。 5．在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 【答案】9 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 解得． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 7．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． 题型三：利用平行判定相似 解题思路： ①在题图中找出一组平行的边。 ②确认图形构成A字型或者8字型。 ③按照规范格式书写证明，由平行直接得出两个三角形相似。 ④书写相似符号时，保证两个三角形顶点一一对应。 9．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 10．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 题型四：证明三角形的对应线段成比例 解题思路： ①先通过判定定理证明两个目标三角形相似。 ②利用相似三角形性质，对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 ③将要证明的线段之比转化为三角形的相似比，完成证明。 12．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 13．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 14．如图，在中，若，，，则的长为______.    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 15．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 题型五：利用相似三角形的性质求解 解题思路： ①先确定三角形相似，求出对应相似比。 ②边长、对应高、对应中线、对应角平分线、周长直接套用相似比进行计算。 ③计算面积时使用相似比的平方；已知面积比求线段，则对面积比开平方得到相似比。 ④代入数据计算，区分对应线段和普通线段。 16．已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． 17．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 18．已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【答案】12 【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形周长之比等于相似比，据此列出比例式计算即可． 【详解】解：，、是对应角平分线， 相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比， ， 已知周长为16，代入得：， 解得：． 19．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六：相似三角形的判定与性质综合 解题思路： ①梳理题干条件，选用平行判定、AA、SAS、SSS证明三角形相似。 ②计算得到两组三角形的相似比。 ③借助相似性质，求边长、证明线段成比例、计算周长或者面积。 ④必要时结合勾股定理、等腰三角形性质辅助运算。 20．如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 21．如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 【答案】6 【分析】根据三角形中位线定理可得，，进而证明，得出，即可得解． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 22．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ． 题型七：利用相似求坐标 解题思路： ①读取坐标系内已知点坐标，计算水平、竖直方向线段长度。 ②找出图形中存在的相似三角形，算出相似比。 ③依靠相似比，算出目标点的水平、竖直线段长度。 ④结合图形位置算出横、纵坐标。 ⑤存在多种位置情况时，分类讨论，不要遗漏解。 24．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    25．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 26．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型八：在网格中画与已知三角形相似的三角形 解题思路： ①借助勾股定理算出原三角形三条边长，得到三边的比例关系。 ②在网格中寻找格点，构造三边比值和原三角形相等的三角形，可以放大或者缩小相似比。 ③保证作图顶点落在网格格点上。 ④作图完成后验算三边比例是否满足相似要求。 27．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 28．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 29．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 题型九：相似三角形 —— 动点问题 解题思路： ①设运动时间为t，用含t的代数式，表示动点变化之后各线段的长度。 ②确定有可能相似的两个三角形。 ③未指明对应顶点时，分多种对应情况讨论。 ④每种对应关系分别列出比例方程，求解时间t。 ⑤检验求出的t是否符合动点运动范围，舍去不符合题意的解。 30．如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【分析】求出，分两种情况：当和，利用30°角直角三角形的性质求解即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 31．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 32．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 33．如图，在中，，，动点，同时从点出发，点由到以的速度向终点作匀速运动，点沿以的速度向终点作匀速运动，那么的面积与点运动的时间之间的函数图象大致是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行分析，用含的式子表示的面积，根据面积表达式判断函数图象． 【详解】解：在中，，， ， 点沿到达点需要， 当，点在上，点在上， 此时，， 则， 函数图象为开口向上抛物线的一部分； 当，点与点重合，点在上， 此时，，则， 如图，过点作，连接， ，， ， ，即， ， ， 函数图象为从左向右逐渐降低的直线的一部分， 综上，选项符合要求． 题型十：相似三角形实际应用 解题思路： ①读懂实际问题，把现实情景抽象转化为几何示意图。 ②从情景中找到相等角或者平行关系，构建出一对相似三角形。 ③找准两组三角形的对应边，列出比例式。 ④统一单位后代入数值，计算实际所求长度。 34．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 35．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是________． 【答案】/8厘米 【分析】由得到，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 36．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 题型十一：相似三角形的综合问题 解题思路： ①拆解大题，把复杂图形拆分为A字型、8字型等基础相似模型。 ②先判定三角形相似，求出相似比，得到边、角的等量关系。 ③结合勾股定理、三角函数、特殊四边形、全等三角形等知识。 ④若存在动点、存在性问题，则进行分类讨论。 ⑤结合结论进行计算或者推导证明，检验结果是否符合题意。 37．如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．      【答案】90或30 【分析】证明，相似三角形对应边、高的比等于相似比，得出EH的长度 【详解】设， ∵矩形EFGH的面积为，∴. ∵，∴． 又∵AM，AD分别为与的高，∴， 即，解得，， ∴EH的长为90cm或30cm． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边、高的比等于相似比是解题的关键 38．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 39．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 解答题 1．如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 2．在中，已知是的角平分线，求证：． 【答案】证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行线分线段成比例定理可证结论成立． 【详解】略 3．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 4．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 5．如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 6．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上．（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，在线段上作点M，使得． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形； (2) 如图，取格点C和点D，连接，交于点M，点即为所求． 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为； （2）取格点C和点D，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）略 （2） ， ， ， ， ，故点即为所求． 7．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 8．如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $