2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册17《第5章二次函数第1节认识二次函数》预习讲义

本讲义聚焦二次函数的概念及应用，通过矩形面积、商品利润等实际情境引入，系统梳理二次函数定义（y=ax²+bx+c，a≠0）、各项系数识别及表达式列法，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架，衔接一次函数等先前知识。 以生活情境培养数学眼光，通过“三步法”判断二次函数强化数学思维，实际问题中确定自变量范围提升数学语言表达。经典例题与分层练习结合，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升知识应用能力。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册17 《第5章二次函数第1节认识二次函数》预习讲义 一．学习目标 ( 1.结合实际问题（面积、利润、增长率）列出函数关系式，能识别二次函数； 2.掌握二次函数的定义，熟记二次函数一般式y=ax 2 +bx+c（a,b,c为常数，a ≠ 0），分清二次项、一次项、常数项以及对应系数； 3.会根据定义判定一个函数是否为二次函数，利用参数取值范围求字母的值； 4.能根据实际情境列出二次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.二次函数的概念； 2.识别二次函数各项系数； 3.列实际问题中的二次函数关系式。 （二） 难点 1.理解二次函数定义中a ≠ 0的限制条件，利用该条件求参数； 2.在实际问题中准确寻找等量关系，列出函数解析式，并确定自变量取值范围； 3.区分一次函数、反比例函数、二次函数。 ) 三．知识梳理 【情境问题】 情境1：矩形的周长为40 m，设矩形的一边长为xm，面积为ym2。 (1) 另一边长为(20-x)m； (2) 面积关系式：y=x(20-x)，整理得y=-x2+20x。 情境2：某商品每件进价20元，售价为x元，销售量w=(100‑x)件，总利润为y元。 利润＝单件利润×销量 y=(x-20)(100-x)，展开整理：y=-x2+120x-2000。 情境3：一个圆的半径增加x cm，原半径为3 cm，圆面积为Scm2。 S=π(3+x)2，整理得S=πx2+6πx+9π。 【思考】： （1）观察上面三个式子：y=-x2+20x，y=-x2+120x-2000，S=πx2+6πx+9π。 它们的自变量最高次数是几次？式子有什么共同特征？ （一）二次函数的定义 1.定义：一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），则称y是x的二次函数。 2．各项名称（对照图示） 3.三种特殊形式（b、c可以为0） （1）y=ax2(b=0,c=0) （2）y=ax2+c(b=0) （3）y=ax2+bx (c=0) 只要保证a≠0，依旧是二次函数。 （二）理解（做题核心判断依据，缺一不可） 1.表达式必须是整式：式子中不能出现等分式，也不能带根号里含有x。 例：y=x2+不是二次函数。 2.自变量x的最高次数必须是2：化简整理后，x的最高次数为2；如果展开后二次项抵消，就不再是二次函数。 例：y=(x+1)2-x2，化简得到y=2x+1，最高次数是1，属于一次函数。 3.二次项系数a≠0（最核心考点） 若a=0，式子变为y=bx+c，就变成一次函数，不再是二次函数。 4.只含有一个自变量x：不能同时出现x、z等多个变量。 5.实际问题里的额外要求 列实际问题（面积、利润、增长率）的二次函数时，除满足上面定义，还要写自变量取值范围：边长、销量、价格必须大于0。 例：篱笆靠墙围矩形，垂直墙边长为x，要满足x>0，平行墙边长>0，最后解出x的取值区间。 （三）判断一个函数是否为二次函数的三步法 例：已知函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2, (1)当m为何值时,此函数是一次函数? (2)当m为何值时,此函数是二次函数? 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）下列函数属于二次函数的是（ ） A.y=4x-1 B.y=x2+ C.y=3x2+2x D.y=(x-1)2-x2 例2.（2026南明区一模）函数y=(m‑3)xm2-7是二次函数，则m的值为（ ） A.-3 B.3 C.±3 D.± 例3.（2024-2025观山湖区期末）矩形周长为30，设一边长为x，面积为y，则y与x的函数关系式是（ ） A.y=x(15-x) B.y=x(30-x) C.y=15x D.y=x2 例4.（2026乌当区二模）二次函数y=2x2-3x+1的二次项系数、一次项系数、常数项依次为 （ ） A.2,-3,1 B.2,3,1 C.-2,-3,1 D.2,-3,-1 例5.（2024-2025清镇市期末）把y=(x‑2)(x+3)化为二次函数一般式：________。 例6.（2026云岩区二模）若函数y=(a+2)x2+3x‑1是二次函数，则a的取值范围是________。 例7.（2026南明区三模）某商品原价每件50元，每月销量200件，单价每涨价x元，销量减少10x件，总利润为W，单件成本30元，则W=________。（化为一般式） 例8.（2024‑2025乌当区期末）已知二次函数y=x2-bx+3，当x=1时，y=0，则b=________。 例9．如图，有一堵墙长10 m，且有一篱笆长24 m．现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB为x(m)，面积为S(m2)．(1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．(2)当围成的花圃面积为45 m2时，求AB的长． 例10、已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025南明区期末）下列关系式中，y是x的二次函数的是（ ） A.y=3x B.y=x2+ C.y=x2-5 D.y=2x+52 2.（2024-2025乌当区期末）函数y=(2‑a)xa2-2是二次函数，则a等于（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 3.（2024-2025清镇市期末）用长为24 cm的铁丝围成矩形，面积S与矩形一边长t的函数关系式为（ ） A.S=t(12-t) B.S=t(24-t) C.S=12t2 D.S=t2 4.（2024-2025南明区期末）二次函数y=-3x2+5x‑4的常数项为（ ） A.-3 B.5 C.-4 D.4 5.（2024-2025乌当区期末）函数y=(m+4)x2-6x+3为一次函数，则m的值为（ ） A.-4 B.4 C.0 D.±4 6.（2024-2025清镇市期末）某厂一月份产值为100万元，二、三月份平均每月增长率为x，三月份总产值y万元，则（ ） A.y=100(1+x)2 B.y=100(1+2x) C.y=100x2 D.y=100+100x 7.下列不是二次函数的是（ ） A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2） 8.函数y=（m2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m的值是（ ） A．m= -3或1 B．m=+1或-1 C．m= -3 D．m=3 （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）将y=(2x-1)(x+5)化成二次函数一般式：________。 10.（2024-2025乌当区期末）y=(k‑3)x2+2x是二次函数，则k取值范围________。 11.（2024-2025清镇市期末）一个正方形边长为4，边长增加x，面积增加y，则y与x函数关系式：________。 12.（2024-2025南明区期末）二次函数y=x2-4x+n，当x=2时，y=-1，则n=________。 13.（2024-2025乌当区期末）已知y=x2-6x+5，二次项系数和常数项之和为________。 14.（2024-2025清镇市期末）函数y=ax2+bx+c，若a=0，该函数变成________函数。 15、二次函数解析式为y＝（m+1）+4x+7，则m的取值是 　 　． 16、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中是二次函数的是 　 　． （三）解答题 17、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数； （2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数． 18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式． 19. 已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3. 求：(1)函数y与x的函数关系式； (2)当x＝4时，y的值； (3)当y＝－12时，x的值. 20. 如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026云岩区一模）下列函数中，不属于二次函数的是（ ） A.y=1-x2 B.y=(x+2)2-x2 C.y=2x2+3x D.y=x2 2.（2026观山湖区三模）直角三角形两直角边之和为14，一条直角边长为x，面积为S，则函数关系式为（ ） A.S=x(14-x) B.S=x(14-x) C.S=(14-x) D.S=7x2 3.（2026乌当区一模）二次函数y=-5x2+2x‑1的一次项系数是（ ） A.-5 B.2 C.-1 D.1 4.（2026云岩区二模）函数y=(k+5)x2-3x+1为一次函数，则k=（ ） A.-5 B.5 C.0 D.-1 5.（2026南明区三模）某商品降价，原价每件80元，每次降价百分率为x，两次降价后价格z元，则（ ） A.z=80(1-x)2 B.z=80(1-2x) C.z=80x2 D.z=80-2x 6.（2026观山湖区一模）若y=(x‑3)(2x+1)，该函数的形式是（ ） A.一次函数 B.二次函数 C.反比例函数 D.正比例函数 7、下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2 8、下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 9、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5 10、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 （二）填空题 11.（2026云岩区一模）化简y=(3x‑2)(x+4)为一般式：________。 12.（2026南明区二模）y=(m-7)x2-4x是二次函数，则m取值范围：________。 13.（2026观山湖区三模）圆半径为5，半径增加t，圆面积增加Q，则Q=________。 14.（2026乌当区一模）二次函数y=2x2-7x+m，x=3时，y=2，则m=________。 15.（2026云岩区二模）二次函数y=-4x2+6x-2，二次项系数、常数项之差为________。 16.（2026南明区三模）函数y=ax2+bx，当a=0时，函数名称为________。 17、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为　 　． 18、若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 　 　． 19．观察下列各图中小球的摆放规律，若第n个图中小球的个数为y，则y与n的函数关系式为　 　 20．如图，在直角梯形ABCD中，BF=AE=DG=x，AB=6，CD=3，AD=4，则四边形CGEF的面积y与x之间的函数关系式为　 ， （三）解答题 21.一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 22.某市政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：w＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为y(元). (1)求y与x之间的函数关系式； (2)指出这个二次函数的二次项系数，一次项系数和常数项. 23.一经销商按市场价收购某种海鲜1 000斤放养在池塘内(假设放养期内海鲜的质量基本保持不变),当天市场价为每斤30元,据市场行情推测,此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元,但是平均每天有10斤海鲜死去.假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出.(1斤=500克) (1)用含x的代数式填空: ①x天后每斤海鲜的市场价为　　　　元;  ②x天后死去的海鲜共有　　 　　斤,死去的海鲜的销售总额为　　　　元;  ③x天后活着的海鲜有　　　　斤.  (2)如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售,加上已经售出的死去的海鲜,销售总额为y1,写出y1关于x的函数关系式. (3)若每放养一天需支出各种费用400元,写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式. 24．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x. (1)求y关于x的函数表达式． (2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积． 25．如图已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．求：(1)重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围；(2)当t＝1 s，t＝2 s时，求重叠部分的面积． 26．如图用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并解答下列问题： (1)在第n个图形中，每一横行共有_______块瓷砖，每一竖列共有________块瓷砖(均用含n的代数式表示)． (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与(1)中的n之间的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围)． (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？ (5)是否存在黑、白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册17 《第5章二次函数第1节认识二次函数》预习讲义 一．学习目标 ( 1.结合实际问题（面积、利润、增长率）列出函数关系式，能识别二次函数； 2.掌握二次函数的定义，熟记二次函数一般式y=ax 2 +bx+c（a,b,c为常数，a ≠ 0），分清二次项、一次项、常数项以及对应系数； 3.会根据定义判定一个函数是否为二次函数，利用参数取值范围求字母的值； 4.能根据实际情境列出二次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.二次函数的概念； 2.识别二次函数各项系数； 3.列实际问题中的二次函数关系式。 （二） 难点 1.理解二次函数定义中a ≠ 0的限制条件，利用该条件求参数； 2.在实际问题中准确寻找等量关系，列出函数解析式，并确定自变量取值范围； 3.区分一次函数、反比例函数、二次函数。 ) 三．知识梳理 【情境问题】 情境1：矩形的周长为40 m，设矩形的一边长为xm，面积为ym2。 (1) 另一边长为(20-x)m； (2) 面积关系式：y=x(20-x)，整理得y=-x2+20x。 情境2：某商品每件进价20元，售价为x元，销售量w=(100‑x)件，总利润为y元。 利润＝单件利润×销量 y=(x-20)(100-x)，展开整理：y=-x2+120x-2000。 情境3：一个圆的半径增加x cm，原半径为3 cm，圆面积为Scm2。 S=π(3+x)2，整理得S=πx2+6πx+9π。 【思考】： （1）观察上面三个式子：y=-x2+20x，y=-x2+120x-2000，S=πx2+6πx+9π。 它们的自变量最高次数是几次？式子有什么共同特征？ 【解析】等式右边是自变量的整式，自变量最高次数为2，自变量只有一个。 （一）二次函数的定义 1.定义：一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），则称y是x的二次函数。 2．各项名称（对照图示） 3.三种特殊形式（b、c可以为0） （1）y=ax2(b=0,c=0) （2）y=ax2+c(b=0) （3）y=ax2+bx (c=0) 只要保证a≠0，依旧是二次函数。 （二）理解（做题核心判断依据，缺一不可） 1.表达式必须是整式：式子中不能出现等分式，也不能带根号里含有x。 例：y=x2+不是二次函数。 2.自变量x的最高次数必须是2：化简整理后，x的最高次数为2；如果展开后二次项抵消，就不再是二次函数。 例：y=(x+1)2-x2，化简得到y=2x+1，最高次数是1，属于一次函数。 3.二次项系数a≠0（最核心考点） 若a=0，式子变为y=bx+c，就变成一次函数，不再是二次函数。 4.只含有一个自变量x：不能同时出现x、z等多个变量。 5.实际问题里的额外要求 列实际问题（面积、利润、增长率）的二次函数时，除满足上面定义，还要写自变量取值范围：边长、销量、价格必须大于0。 例：篱笆靠墙围矩形，垂直墙边长为x，要满足x>0，平行墙边长>0，最后解出x的取值区间。 （三）判断一个函数是否为二次函数的三步法 例：已知函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2, (1)当m为何值时,此函数是一次函数? (2)当m为何值时,此函数是二次函数? 解：(1)若函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2为一次函数,则有, 解得m=4,所以,当m=4时,此函数是一次函数; (2)若函数y=(m2-3m-4)x2+(m+1)x-2为二次函数,则有m2-3m-4≠0,解得m≠4且m≠-1, 所以,当m≠4且m≠-1时,此函数是二次函数. 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）下列函数属于二次函数的是（ ） A.y=4x-1 B.y=x2+ C.y=3x2+2x D.y=(x-1)2-x2 【答案】：C 【解析】：A为一次函数；B分母含有未知数，不是整式函数；C符合y=ax2+bx+c(a≠0)，是二次函数；D化简后y=-2x+1，二次项抵消，为一次函数。故选C。 例2.（2026南明区一模）函数y=(m‑3)xm2-7是二次函数，则m的值为（ ） A.-3 B.3 C.±3 D.± 【答案】：A 【解析】：根据二次函数定义可得m2-7=2并且m-3≠0，解得m2=9，m=±3，又m≠3，所以m=-3 例3.（2024-2025观山湖区期末）矩形周长为30，设一边长为x，面积为y，则y与x的函数关系式是（ ） A.y=x(15-x) B.y=x(30-x) C.y=15x D.y=x2 【答案】：A 【解析】：矩形一组邻边之和为周长一半，30÷2=15，另一边长为15-x，面积y=x(15-x)。 例4.（2026乌当区二模）二次函数y=2x2-3x+1的二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A.2,-3,1 B.2,3,1 C.-2,-3,1 D.2,-3,-1 【答案】：A 【解析】：y=ax2+bx+c中，a=2，b=-3，c=1，注意系数连带符号。 例5.（2024-2025清镇市期末）把y=(x‑2)(x+3)化为二次函数一般式：________。 【答案】：y=x2+x-6 【解析】：展开整式：y=x2+3x-2x-6=x2+x-6。 例6.（2026云岩区二模）若函数y=(a+2)x2+3x‑1是二次函数，则a的取值范围是________。 【答案】：a≠-2 【解析】：二次项系数不能为0，a+2≠0，解得a≠-2。 例7.（2026南明区三模）某商品原价每件50元，每月销量200件，单价每涨价x元，销量减少10x件，总利润为W，单件成本30元，则W=________。（化为一般式） 【答案】：W=-10x2+400x+4000 【解析】：单件利润(50+x-30)，销量(200-10x)，W=(20+x)(200-10x)=-10x2+400x+4000。 例8.（2024‑2025乌当区期末）已知二次函数y=x2-bx+3，当x=1时，y=0，则b=________。 【答案】：4 【解析】：代入x=1，y=0，1-b+3=0，解得b=4。 例9．如图，有一堵墙长10 m，且有一篱笆长24 m．现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB为x(m)，面积为S(m2)．(1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．(2)当围成的花圃面积为45 m2时，求AB的长． 解：(1)∵AB＝x(m)，∴BC＝(24－3x)m.∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.∵0<BC≤10，即0<24－3x≤10，∴≤x<8.∴S关于x的函数表达式为S＝－3x2＋24x，自变量x的取值范围为≤x<8. (2)若S＝45 m2，则－3x2＋24x＝45，解得x1＝3，x2＝5.∵≤x<8，∴x＝5，即AB的长为5 m. 例10、已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ，解得m＝，当m＝时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得，解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），当m＝2时，y是x的二次函数，当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x＝， 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025南明区期末）下列关系式中，y是x的二次函数的是（ ） A.y=3x B.y=x2+ C.y=x2-5 D.y=2x+52 【答案】：C 【解析】：只有C选项自变量最高次数为2，且是整式，满足二次函数定义；A、D为一次函数，B不是整式函数。 2.（2024-2025乌当区期末）函数y=(2‑a)xa2-2是二次函数，则a等于（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 【答案】：B 【解析】：a2-2=2并且2-a≠0，解得a=-2。 3.（2024-2025清镇市期末）用长为24 cm的铁丝围成矩形，面积S与矩形一边长t的函数关系式为（ ） A.S=t(12-t) B.S=t(24-t) C.S=12t2 D.S=t2 【答案】：A 【解析】：邻边长12-t，面积=长×宽，S=t(12-t)。 4.（2024-2025南明区期末）二次函数y=-3x2+5x‑4的常数项为（ ） A.-3 B.5 C.-4 D.4 【答案】：C 【解析】：y=ax2+bx+c，c=-4。 5.（2024-2025乌当区期末）函数y=(m+4)x2-6x+3为一次函数，则m的值为（ ） A.-4 B.4 C.0 D.±4 【答案】：A 【解析】：当二次项系数为0时，函数变为一次函数，m+4=0，m=-4。 6.（2024-2025清镇市期末）某厂一月份产值为100万元，二、三月份平均每月增长率为x，三月份总产值y万元，则（ ） A.y=100(1+x)2 B.y=100(1+2x) C.y=100x2 D.y=100+100x 【答案】：A 【解析】：增长率模型：二月产值100(1+x)，三月产值100(1+x)(1+x)=100(1+x)^2，是二次函数典型模型。 7.下列不是二次函数的是（ ） A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2） 【答案】：C 【解析】：因为选项C中含有 所以C不是二次函数；故答案是C. 8.函数y=（m2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m的值是（ ） A．m= -3或1 B．m=+1或-1 C．m= -3 D．m=3 【答案】：C 【解析】：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m= -3或1故，本题答案是C. （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）将y=(2x-1)(x+5)化成二次函数一般式：________。 【答案】：y=2x2+9x-5 【解析】：展开化简：y=2x2+10x-x-5=2x2+9x-5。 10.（2024-2025乌当区期末）y=(k‑3)x2+2x是二次函数，则k取值范围________。 【答案】：k≠3 【解析】：二次项系数不为0，k-3≠0，k≠3。 11.（2024-2025清镇市期末）一个正方形边长为4，边长增加x，面积增加y，则y与x函数关系式：________。 【答案】：y=x2+8x 【解析】：新面积(4+x)2，原面积16，y=(4+x)2-16=x2+8x。 12.（2024-2025南明区期末）二次函数y=x2-4x+n，当x=2时，y=-1，则n=________。 【答案】：3 【解析】：代入x=2,y=-1，4-8+n=-1，解得n=3。 13.（2024-2025乌当区期末）已知y=x2-6x+5，二次项系数和常数项之和为________。 【答案】：6 【解析】：二次项系数为1，常数项为5，1+5=6。 14.（2024-2025清镇市期末）函数y=ax2+bx+c，若a=0，该函数变成________函数。 【答案】：一次 【解析】：a=0后式子变为y=bx+c(b≠0)，属于一次函数。 15、二次函数解析式为y＝（m+1）+4x+7，则m的取值是 　 　． 【答案】2 【解析】由题意得：m2﹣m＝2且m+1≠0，解得：m＝2或m＝﹣1且m≠﹣1，∴m＝2， ∴m的取值是m＝2，故答案为：m＝2． 16、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中是二次函数的是 　 　． 【答案】②④ 【解析】①y＝5x﹣5为一次函数；②y＝3x2﹣1为二次函数；③y＝4x3﹣3x2自变量次数为3，不是二次函数；④y＝2x2﹣2x+1为二次函数；⑤函数式为分式，不是二次函数．故答案为：②④． （三）解答题 17、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数； （2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数． 解：（1）依题意得：，解得：m＝0；所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数； （2）依题意得m2﹣m≠0，解得：m≠0且m≠1．所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数． 18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式． 解：将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，过点D作DF⊥AC于点F，则四边形AFDE是矩形．∴AC＝AE＝DF＝4BC，AF＝DE＝BC，∴CF＝AC－AF＝4BC－BC＝3BC.∴在Rt△CDF中，CD＝＝＝5BC＝x.∴BC＝x.∴AE＝AC＝x，DE＝x.∵S四边形ABCD＝S梯形ACDE＝(DE＋AC)·AE，∴y＝（x+x）·x＝x2. 19. 已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3. 求：(1)函数y与x的函数关系式； (2)当x＝4时，y的值； (3)当y＝－12时，x的值. 解：(1)设y＝kx2，把x＝－1，y＝－3代入y＝kx2中得，k＝－3，∴y＝－3x2； (2)当x＝4时，y＝－3×42＝－48 (3)当y＝－12时，－12＝－3x2，∴x＝±2. 20. 如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围. 解：(1)∵原矩形的面积为3×4＝12cm2，边长增加后的矩形面积为(3＋x)(4＋x)＝(x2＋7x＋12)cm2，∴y＝x2＋7x＋12－12＝x2＋7x. ∴y与x之间的函数关系式为y＝x2＋7x；　 （2）y＝x2＋7x是二次函数.因为它满足二次函数的定义中的条件：①是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0；　 (3)∵增加的边长必须是非负数，∴x的取值范围是x≥0. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026云岩区一模）下列函数中，不属于二次函数的是（ ） A.y=1-x2 B.y=(x+2)2-x2 C.y=2x2+3x D.y=x2 【答案】：B 【解析】：B化简后y=4x+4，二次项抵消，是一次函数，其余选项均满足二次函数定义。 2.（2026观山湖区三模）直角三角形两直角边之和为14，一条直角边长为x，面积为S，则函数关系式为（ ） A.S=x(14-x) B.S=x(14-x) C.S=(14-x) D.S=7x2 【答案】：A 【解析】：另一条直角边长14-x，直角三角形面积=×两直角边乘积。 3.（2026乌当区一模）二次函数y=-5x2+2x‑1的一次项系数是（ ） A.-5 B.2 C.-1 D.1 【答案】：B 【解析】：y=ax2+bx+c，b=2，一次项系数为2。 4.（2026云岩区二模）函数y=(k+5)x2-3x+1为一次函数，则k=（ ） A.-5 B.5 C.0 D.-1 【答案】：A 【解析】：二次项系数为0时函数为一次函数，k+5=0，k=-5。 5.（2026南明区三模）某商品降价，原价每件80元，每次降价百分率为x，两次降价后价格z元，则（ ） A.z=80(1-x)2 B.z=80(1-2x) C.z=80x2 D.z=80-2x 【答案】：A 【解析】：降低率模型：现价=原价(1-降低率)次数，两次降价得到二次函数。 6.（2026观山湖区一模）若y=(x‑3)(2x+1)，该函数的形式是（ ） A.一次函数 B.二次函数 C.反比例函数 D.正比例函数 【答案】：B 【解析】：展开后y=2x2-5x-3，自变量最高次数为2，属于二次函数。 7、下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2 【答案】：C 【解析】：A．y＝，不是二次函数，故A不符合题意；B．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；C．y＝x2+2x﹣1，是二次函数，故C符合题意；D．y＝x﹣2，不是二次函数，故B不符合题意；故选：C． 8、下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 【答案】：D 【解析】：A、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；B、t＝，当s≠0时，是反比例函数，错误；C、C＝3a，是正比例函数，错误；D、S＝πR2，是二次函数，正确．故选：D． 9、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5 【答案】：D 【解析】：：根据题意，得x2+2x﹣7＝8，即x2+2x﹣15＝0，解得x＝3或﹣5，故选：D． 10、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】：C 【解析】：A、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B、设原来的人口是a，x年后的人口数是y，则y＝a（1+1%）x，不是二次函数关系；C、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．D、设半径是r，则周长c＝2πr，是一次函数关系．故选：C． （二）填空题 11.（2026云岩区一模）化简y=(3x‑2)(x+4)为一般式：________。 【答案】：y=3x2+10x-8 【解析】：y=3x2+12x-2x-8=3x2+10x-8。 12.（2026南明区二模）y=(m-7)x2-4x是二次函数，则m取值范围：________。 【答案】：m≠7 【解析】：二次项系数不为0，m-7≠0。 13.（2026观山湖区三模）圆半径为5，半径增加t，圆面积增加Q，则Q=________。 【答案】：Q=πt2+10πt 【解析】：新面积π(5+t)2，原面积25π，Q=π(5+t)2-25π=πt2+10πt。 14.（2026乌当区一模）二次函数y=2x2-7x+m，x=3时，y=2，则m=________。 【答案】：-1 【解析】：代入x=3,y=2，2×9-21+m=2，解得m=-1。 15.（2026云岩区二模）二次函数y=-4x2+6x-2，二次项系数、常数项之差为________。 【答案】：-2 【解析】：二次项系数-4，常数项-2，-4-(-2)=-2。 16.（2026南明区三模）函数y=ax2+bx，当a=0时，函数名称为________。 【答案】：一次函数 【解析】：a=0后，y=bx，为正比例函数，属于特殊的一次函数。 17、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为　 　． 【答案】3 【解析】当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数，∴a＝﹣3（舍去），a＝3．故答案为3． 18、若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 　 　． 【答案】a≠0 【解析】由题意，得a≠0，故答案为：a≠0． 19．观察下列各图中小球的摆放规律，若第n个图中小球的个数为y，则y与n的函数关系式为　 　 【答案】y=n2﹣n+1 【解析】根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点； 则第n个图中小黑点的个数y=n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1．即y与n的函数关系式为 y=n2﹣n+1．故答案为：y=n2﹣n+1． 20．如图，在直角梯形ABCD中，BF=AE=DG=x，AB=6，CD=3，AD=4，则四边形CGEF的面积y与x之间的函数关系式为　 ， 【答案】y=x2﹣7x+18（0＜x＜3）． 【解析】由题意可得： y=S梯形ABCD﹣S△DGE﹣S△EAF﹣S△BFC= （3+6）×4﹣ x×（4﹣x）﹣ x×（6﹣x）﹣ x×4=18+ x2﹣2x+ x2﹣3x﹣2x=x2﹣7x+18，（0＜x＜3） 故答案为：y=x2﹣7x+18，0＜x＜3． （三）解答题 21.一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，解得：k＝2； （2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝． 22.某市政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：w＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为y(元). (1)求y与x之间的函数关系式； (2)指出这个二次函数的二次项系数，一次项系数和常数项. 解：(1)依题意有：y＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600；　 (2)二次项系数是－2，一次项系数是120，常数项是－1600. 23.一经销商按市场价收购某种海鲜1 000斤放养在池塘内(假设放养期内海鲜的质量基本保持不变),当天市场价为每斤30元,据市场行情推测,此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元,但是平均每天有10斤海鲜死去.假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出.(1斤=500克) (1)用含x的代数式填空: ①x天后每斤海鲜的市场价为　　　　元;  ②x天后死去的海鲜共有　　 　　斤,死去的海鲜的销售总额为　　　　元;  ③x天后活着的海鲜有　　　　斤.  (2)如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售,加上已经售出的死去的海鲜,销售总额为y1,写出y1关于x的函数关系式. (3)若每放养一天需支出各种费用400元,写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式. 解:(1)①(30+x)　②10x　200x ③(1 000-10x) (2)根据题意,可得y1=(1 000-10x)(30+x)+200x=-10x2+900x+30 000. (3)根据题意,可得y2=y1-30 000-400x=-10x2+500x. 24．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x. (1)求y关于x的函数表达式． (2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积． 解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.又∵AE＝AF ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．∴BE＝DF.∴CE＝CF.∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x，∴S△ADF＝S△ABE＝AB·BE＝×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝CE·CF＝x2， ∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－x2＝－x2＋4x. (2)当△AEF为正三角形时，AE＝EF，∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2.整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4.又∵x>0，∴x＝4－4.∴y＝－x2＋4x＝－×(4－4)2＋4×(4－4)＝32－48，即S△AEF＝32－48.∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32－48. 25．如图已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．求：(1)重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围；(2)当t＝1 s，t＝2 s时，求重叠部分的面积． 解：(1)∵移动过程中HM∥BC，∠HAC＝45°，∴重叠部分是等腰直角三角形．又∵AN＝2t cm，∴AM＝MN－AN＝(20－2t)cm，∴MH＝AM＝(20－2t)cm，∴重叠部分的面积y＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200.自变量的取值范围是0≤t≤10；(2)当t＝1 s时，y＝162 cm2，当t＝2 s时，y＝128 cm2. 26．如图用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并解答下列问题： (1)在第n个图形中，每一横行共有_______块瓷砖，每一竖列共有________块瓷砖(均用含n的代数式表示)． (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与(1)中的n之间的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围)． (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？ (5)是否存在黑、白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明． 解：（1）n＋3，n＋2 (2)y＝(n＋3)(n＋2)，即y＝n2＋5n＋6.(3)当y＝506时，n2＋5n＋6＝506，解得n1＝20，n2＝－25(舍去)，∴n＝20.(4)白瓷砖的块数是n(n＋1)＝20×21＝420，黑瓷砖的块数是506－420＝86，∴共需花86×4＋420×3＝1604(元)．(5)令n(n＋1)＝(n2＋5n＋6)－n(n＋1)，即n2－3n－6＝0，解得n1＝，n2＝.∵n的值不是正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $