专题06相似多边形与三角形相似的条件精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相似多边形与三角形相似条件核心知识点，先系统梳理相似多边形的定义、性质及相似比，明确对应角相等与对应边成比例的双条件，再过渡到三角形相似判定，简化为AA、SAS、SSS定理及直角三角形专属判定，建立“图形相似→对应关系→比例计算”的思维支架，为后续相似综合、投影等内容奠基。 该资料亮点在于整合易错辨析（如矩形仅角等、菱形仅边成比例不相似）、基础模型（A字型、8字型）及分层题型（基础到拔高），通过进博会地图测距等实例培养数学眼光，借助定理推理过程发展数学思维，规范书写与比例计算训练数学语言。课中助力教师突出重点，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

专题06相似多边形与三角形相似的条件精讲学案 课堂核心立意 本节课整合相似多边形、三角形相似判定两大核心内容。从多边形相似的定义、性质、相似比入手，掌握相似图形边角规律、周长与面积比例关系；进一步聚焦三角形相似，简化判定条件，掌握AA、SAS、SSS三类标准化判定定理，熟悉基础相似几何模型，能精准完成相似判定、边长计算、周长面积比例换算。建立“图形相似→对应关系→比例计算”的几何思维，是后续相似综合、投影、位似、压轴几何的核心基础。 一、相似多边形核心知识 1. 相似多边形定义：两个多边形同时满足「对应角全部相等、对应边全部成比例」，缺一不可，才是相似多边形。 2. 书写规范：相似符号∽书写时，对应顶点必须对应书写，保证边角对应不出错。 3. 相似比：相似多边形对应边的比值，具有顺序性；正反相似比互为倒数。 4. 相似多边形统一性质：对应角相等、对应边成比例；周长比=相似比；面积比=相似比的平方。 5. 必考易错辨析：仅有角相等（如任意两个矩形）不一定相似；仅有边成比例（如任意两个菱形）不一定相似；边数相同的正多边形一定相似。 二、三角形相似总定义 三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似；三角形相似无需验证全部边角，可通过简化定理快速判定。 三、三角形相似三大必考判定定理（阅卷标准） 1. AA两角分别相等（最常用、优先首选） 两个角对应相等，即可直接判定三角形相似。含高频模型：平行线截三角形A字型、8字型、公共角、对顶角模型全部适用。 2. SAS两边成比例且夹角相等 两组对应边比值相等，必须是两边夹角相等才可判定相似；边的对角相等不能判定相似，是高频易错扣分点。 3. SSS三边对应成比例 三组对应边比值全部相等，直接判定两三角形相似。 四、直角三角形相似专属判定 普通三角形三类判定全部适用；额外可直接判定：一个锐角相等、两组直角边对应成比例，两直角三角形相似。 五、相似三角形统一性质（必考） 1. 对应角相等、对应边成比例； 2. 对应高、对应中线、对应角平分线的比=相似比； 3. 周长比=相似比； 4. 面积比=相似比的平方。 六、课堂必考几何基础模型 1. A字型：平行于底边的直线截三角形，小三角形与原三角形相似； 2. 8字型：两直线平行形成对顶三角形相似； 3. 公共角模型：同一公共角，再找一组等角，直接AA相似。 （教师必强调） 1. 多边形相似必须角、边双满足，单一条件不能判定相似； 2. 三角形相似SAS判定严禁用“边边角”，只能用夹角； 3. 面积比永远是相似比的平方，学生极易直接写成相似比； 4. 相似比有顺序，颠倒图形顺序比值互为倒数； 5. 求线段必须找准对应边，对应错乱直接列式错误； 6. 所有对应线段（高、中线、角平分线）才满足相似比，非对应线段不成立。 题型 考察方向 难度 题型一 成比例线段 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 利用两角对应相等判定相似 ★ 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★ 题型六 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型八 相似三角形的判定综合 ★★ 题型九 黄金分割 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：成比例线段 解题思路 ①判断四条线段是否成比例：先统一单位，将四条线段从小到大排序，计算最大与最小的乘积、中间两条线段的乘积，若乘积相等，则四条线段成比例。 ②已知成比例线段求未知线段：利用比例的基本性质，把比例式转化为等积式解方程求解。 ③运用合比、等比性质化简计算，使用等比性质前，先确认分母之和不为0。 1．若线段a，b，c，d成比例，其中，则________． 【答案】cm 【分析】根据成比例线段的概念，可得，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 【详解】解：四条线段、、、成比例， ， ，，， ， 交叉相乘得， 解得． 2．第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为__________千米． 【答案】52 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“比例尺图上距离实际距离”是解题的关键，注意单位的统一．设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米， 解得 厘米千米， 故答案为：52． 3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 4．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 题型二：相似多边形 解题思路 ①判定两个多边形相似，需要同时验证两组条件：所有对应角分别相等、所有对应边成比例，两个条件同时成立才可判定相似。 ②看到相似符号∽，按照书写的对应顶点，直接找出对应角、对应边。 ③辨析判断题：矩形只满足角相等、菱形只满足边成比例，二者均不能直接判定相似；边数相同的正多边形可直接判定相似。 5．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 6．下列说法正确的是（    ） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个等腰直角三角形都相似 C．各角分别相等的两个多边形相似 D．各边成比例的两个多边形相似 【答案】B 【分析】此题主要考查了相似图形，熟知相似图形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意； B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意； D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 7．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 8．如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出，以及，，即可得出P点一定在上． 【详解】如图，作，作， ∵以AD为底边，以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得到， 同理可得， ∴，故②正确，则①错误， ③若，只能得出与高度之比，不一定等于，故此选项错误； ④若，， ∴与高度之比为：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴此时矩形与矩形相似， ∴， ∴P点在矩形的对角线上， 故答案为：②和④． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键． 题型三：相似多边形的性质 解题思路 ①求边长、角度：依据性质，直接得到对应角相等，对应边成比例，列出比例式计算线段。 ②求周长：周长比直接等于相似比，已知周长可以反求相似比。 ③求面积：面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比，需要对面积比开平方。 9．已知五边形五边形，，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等的性质即可求解的度数． 【详解】解：∵五边形五边形． ∴根据相似多边形的性质，对应角相等，即． 又∵． ∴． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：矩形与矩形是相似的矩形， ， 设，，则， ， 故，即， ∴， ∴， 故选：B 11．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 12．如图，一张矩形报纸的长，宽，E、F分别是，的中点，将这张报纸沿着直线对折后，矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，, ,根据矩形与矩形相似，可得矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，列比例式求解即可． 本题主要考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，, , ∵矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，即, 得， ∴， ∴． 故选：D． 题型四：利用两角对应相等判定相似 解题思路 ①在图形中寻找两组对应相等的角，一组角优先找公共角、对顶角；第二组角利用平行线得同位角、内错角相等，或者利用三角形内角和推导等角。 ②找到两组对应角相等，直接依据AA判定两个三角形相似。 ③常见模型：A字型、8字型，由平行直接推导等角，完成相似证明。 13．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是顶角为，底角为的等腰三角形， A、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； B、三边相等的三角形是等边三角形，每个内角都为，与不相似，故不符合题意； C、是顶角为的等腰三角形，则底角为，与相似，故符合题意； D、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； 故选：C． 14．将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 15．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 题型五：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解题思路 ①先计算两组对应边的比值，证明两组对应边成比例。 ②确认成比例两组边的夹角是对应相等，不能是其中一边的对角。 ③同时满足“两边对应成比例+夹角相等”，用SAS判定三角形相似。 16．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 17．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 18．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 题型六：利用三边对应成比例判定相似 解题思路 ①把两个三角形的三边分别按由短到长顺序排列。 ②分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等，依据SSS判定两三角形相似。 ③网格题型中，先用勾股定理求出三角形各条边长度，再计算比值进行判断。 19．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 20．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 21．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 题型七：选择或补充条件使两个三角形相似 解题思路 ①先观察图形，找出题目已经给出的已知条件：已有一组等角，还是已有两组边成比例。 ②若已经有一组公共角或者对顶角，优先补充另外一组等角，使用AA判定；也可以补充这个角的两条夹边对应成比例，使用SAS判定。 ③若已知三边部分比例条件，可补充边的条件，使用SSS判定。 ④答案写完后回代验证，确认条件能够严谨推出三角形相似。 22．如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：由，，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 由可得，再由，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 由，可得，再由，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 由结合现有条件，无法证明与相似，故C符合题意； 故选：C． 23．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 24．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 题型八：相似三角形的判定综合 解题思路 ①审题先梳理已知条件：有角的条件优先尝试AA；既有边长又有角度，优先尝试SAS；全部给边长，选用SSS。 ②看到平行线，立刻挖掘相等角，识别A字型、8字型模型。 ③证明相似完成后，再利用相似得到对应边成比例，进一步求解线段长度。 ④多情况题目，要分类讨论不同的对应方式，防止漏解。 25．如图所示的两个三角形_______相似三角形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】分别求出两个三角形的三个内角，再看是否有两角分别相等． 【详解】解：对于左边的三角形，已知两个角分别为和，根据三角形内角和为，可得第三个角为： ． 对于右边的三角形，已知两个角分别为和， ∵两个三角形有两个角分别相等， ∴这两个三角形是相似三角形． 故答案为：是 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是掌握“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，通过计算三角形内角来判断角是否相等． 26．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 27．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 28．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 题型九：黄金分割 解题思路 ①分清黄金分割点：点把线段分成较长段与较短段，较长线段是整条线段的倍，比值约等于0.618。 ②一条线段存在两个黄金分割点，做题注意两种位置。 ③已知线段总长，直接代入黄金分割比例公式，计算长段、短段长度。 29．在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高、花器的高以及整体作品的高满足黄金分割率，即．若要使花艺造型满足黄金分割率，且整体作品高，则花材的高约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ， 故选：B． 30．黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 解答题 1．已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 故， ∴． （2）解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 2．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 3．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 4．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 6．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查黄金分割点，相似三角形的判定，根据黄金分割点的定义可得，由已知推出，再结合，即可证明结论． 【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 7．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【答案】(1)假，假，真 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依据相似四边形“角分别相等、边成比例”的定义，结合菱形、长方形、正方形的内角与边长比例特性直接判断真假； （2）通过连接对角线构造相似三角形，先证推导出角相等和边的比例关系，再证，最后得四边形对应角分别相等、对应边成比例，即可证明； （3）先由相似四边形得对应边成比例，设公共比值为，推出，再由，得到​，​，两式相除消去和，推出即，可得，解得，故． 【详解】（1）解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； （2）证明：如图1中，连接， ∵，且， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，，， ， ∴四边形与四边形相似； （3）证明：∵四边形与四边形相似， ∴​， 设这个公共比值为，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴​，​， ∴，即， ∴即， ∴， ∵，， ∴两边同除以得，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似多边形与三角形相似的条件精讲学案 课堂核心立意 本节课整合相似多边形、三角形相似判定两大核心内容。从多边形相似的定义、性质、相似比入手，掌握相似图形边角规律、周长与面积比例关系；进一步聚焦三角形相似，简化判定条件，掌握AA、SAS、SSS三类标准化判定定理，熟悉基础相似几何模型，能精准完成相似判定、边长计算、周长面积比例换算。建立“图形相似→对应关系→比例计算”的几何思维，是后续相似综合、投影、位似、压轴几何的核心基础。 一、相似多边形核心知识 1. 相似多边形定义：两个多边形同时满足「对应角全部相等、对应边全部成比例」，缺一不可，才是相似多边形。 2. 书写规范：相似符号∽书写时，对应顶点必须对应书写，保证边角对应不出错。 3. 相似比：相似多边形对应边的比值，具有顺序性；正反相似比互为倒数。 4. 相似多边形统一性质：对应角相等、对应边成比例；周长比=相似比；面积比=相似比的平方。 5. 必考易错辨析：仅有角相等（如任意两个矩形）不一定相似；仅有边成比例（如任意两个菱形）不一定相似；边数相同的正多边形一定相似。 二、三角形相似总定义 三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似；三角形相似无需验证全部边角，可通过简化定理快速判定。 三、三角形相似三大必考判定定理（阅卷标准） 1. AA两角分别相等（最常用、优先首选） 两个角对应相等，即可直接判定三角形相似。含高频模型：平行线截三角形A字型、8字型、公共角、对顶角模型全部适用。 2. SAS两边成比例且夹角相等 两组对应边比值相等，必须是两边夹角相等才可判定相似；边的对角相等不能判定相似，是高频易错扣分点。 3. SSS三边对应成比例 三组对应边比值全部相等，直接判定两三角形相似。 四、直角三角形相似专属判定 普通三角形三类判定全部适用；额外可直接判定：一个锐角相等、两组直角边对应成比例，两直角三角形相似。 五、相似三角形统一性质（必考） 1. 对应角相等、对应边成比例； 2. 对应高、对应中线、对应角平分线的比=相似比； 3. 周长比=相似比； 4. 面积比=相似比的平方。 六、课堂必考几何基础模型 1. A字型：平行于底边的直线截三角形，小三角形与原三角形相似； 2. 8字型：两直线平行形成对顶三角形相似； 3. 公共角模型：同一公共角，再找一组等角，直接AA相似。 （教师必强调） 1. 多边形相似必须角、边双满足，单一条件不能判定相似； 2. 三角形相似SAS判定严禁用“边边角”，只能用夹角； 3. 面积比永远是相似比的平方，学生极易直接写成相似比； 4. 相似比有顺序，颠倒图形顺序比值互为倒数； 5. 求线段必须找准对应边，对应错乱直接列式错误； 6. 所有对应线段（高、中线、角平分线）才满足相似比，非对应线段不成立。 题型 考察方向 难度 题型一 成比例线段 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 利用两角对应相等判定相似 ★ 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★ 题型六 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型八 相似三角形的判定综合 ★★ 题型九 黄金分割 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：成比例线段 解题思路 ①判断四条线段是否成比例：先统一单位，将四条线段从小到大排序，计算最大与最小的乘积、中间两条线段的乘积，若乘积相等，则四条线段成比例。 ②已知成比例线段求未知线段：利用比例的基本性质，把比例式转化为等积式解方程求解。 ③运用合比、等比性质化简计算，使用等比性质前，先确认分母之和不为0。 1．若线段a，b，c，d成比例，其中，则________． 2．第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为__________千米． 3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 4．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 题型二：相似多边形 解题思路 ①判定两个多边形相似，需要同时验证两组条件：所有对应角分别相等、所有对应边成比例，两个条件同时成立才可判定相似。 ②看到相似符号∽，按照书写的对应顶点，直接找出对应角、对应边。 ③辨析判断题：矩形只满足角相等、菱形只满足边成比例，二者均不能直接判定相似；边数相同的正多边形可直接判定相似。 5．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A．B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个等腰直角三角形都相似 C．各角分别相等的两个多边形相似 D．各边成比例的两个多边形相似 7．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 8．如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 题型三：相似多边形的性质 解题思路 ①求边长、角度：依据性质，直接得到对应角相等，对应边成比例，列出比例式计算线段。 ②求周长：周长比直接等于相似比，已知周长可以反求相似比。 ③求面积：面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比，需要对面积比开平方。 9．已知五边形五边形，，则的度数为______ 10．如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 11．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 12．如图，一张矩形报纸的长，宽，E、F分别是，的中点，将这张报纸沿着直线对折后，矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 题型四：利用两角对应相等判定相似 解题思路 ①在图形中寻找两组对应相等的角，一组角优先找公共角、对顶角；第二组角利用平行线得同位角、内错角相等，或者利用三角形内角和推导等角。 ②找到两组对应角相等，直接依据AA判定两个三角形相似。 ③常见模型：A字型、8字型，由平行直接推导等角，完成相似证明。 13．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   14．将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 15．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 题型五：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解题思路 ①先计算两组对应边的比值，证明两组对应边成比例。 ②确认成比例两组边的夹角是对应相等，不能是其中一边的对角。 ③同时满足“两边对应成比例+夹角相等”，用SAS判定三角形相似。 16．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 17．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 18．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 题型六：利用三边对应成比例判定相似 解题思路 ①把两个三角形的三边分别按由短到长顺序排列。 ②分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等，依据SSS判定两三角形相似。 ③网格题型中，先用勾股定理求出三角形各条边长度，再计算比值进行判断。 19．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 20．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 21．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 题型七：选择或补充条件使两个三角形相似 解题思路 ①先观察图形，找出题目已经给出的已知条件：已有一组等角，还是已有两组边成比例。 ②若已经有一组公共角或者对顶角，优先补充另外一组等角，使用AA判定；也可以补充这个角的两条夹边对应成比例，使用SAS判定。 ③若已知三边部分比例条件，可补充边的条件，使用SSS判定。 ④答案写完后回代验证，确认条件能够严谨推出三角形相似。 22．如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 23．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 24．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 题型八：相似三角形的判定综合 解题思路 ①审题先梳理已知条件：有角的条件优先尝试AA；既有边长又有角度，优先尝试SAS；全部给边长，选用SSS。 ②看到平行线，立刻挖掘相等角，识别A字型、8字型模型。 ③证明相似完成后，再利用相似得到对应边成比例，进一步求解线段长度。 ④多情况题目，要分类讨论不同的对应方式，防止漏解。 25．如图所示的两个三角形_______相似三角形（填“是”或“不是”）． 26．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 27．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 28．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 题型九：黄金分割 解题思路 ①分清黄金分割点：点把线段分成较长段与较短段，较长线段是整条线段的倍，比值约等于0.618。 ②一条线段存在两个黄金分割点，做题注意两种位置。 ③已知线段总长，直接代入黄金分割比例公式，计算长段、短段长度。 29．在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高、花器的高以及整体作品的高满足黄金分割率，即．若要使花艺造型满足黄金分割率，且整体作品高，则花材的高约为（    ） A． B． C． D． 30．黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 31．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 解答题 1．已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 2．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 4．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 5．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 6．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 7．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $