第三章 圆锥曲线的方程 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线的方程，通过单选、多选、填空、解答题全面覆盖抛物线、椭圆、双曲线核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|抛物线准线、椭圆短轴长与离心率、双曲线焦点|基础概念辨析，考查数学眼光中的几何直观| |多选题|3|抛物线焦点与准线、双曲线渐近线与离心率|多选项设计，培养推理意识与批判性思维| |填空题|3|双曲线焦点距离、抛物线直线交点、共渐近线双曲线|情境简洁，强化运算能力与符号意识| |解答题|5|轨迹方程、双曲线与椭圆标准方程、直线与椭圆交点|综合应用，体现模型观念与问题解决能力，符合高考命题趋势|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B A C D AC CD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 【点睛】方法点睛：归纳总结 标准方程 焦点坐标 准线方程 2．B 【分析】根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则． 若，则，显然矛盾； 若，则． 故选：B. 3．D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 4．B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    5．B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 6．A 【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知条件求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义进行理解辨析，利用排除法求得答案. 【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 方法二：由题意，知椭圆长轴在轴上，则下面的分母数值大于下面的分母数值， 则排除C，D；选项B中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A正确. 故选：A． 7．C 【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 8．D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 9．AC 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦半径公式求出点坐标，即可判断C，求出的中点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，故A正确，B错误； 因为为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确； 不妨取，则的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与轴相切，故D错误. 故选：AC 10．CD 【分析】根据渐近线求出双曲线的标准方程，结合点线距公式计算即可判断A；根据焦距和离心率的定义即可判断BC；根据双曲线的定义计算即可判断D. 【详解】由题得双曲线：的渐近线方程为， 又直线：是的一条渐近线， 所以，即双曲线的标准方程为. A选项，到：的距离为，故A错误； B选项，，故双曲线的焦距为，故B错误； C选项，双曲线的离心率，故C正确； D选项，设双曲线的下焦点为，由双曲线的定义得，即， 所以， 当且仅当A，，三点共线时，取得最小值为4，故D正确. 故选：CD 11．AC 【分析】根据抛物线定义求得，进而求出坐标判断A、B、C；根据抛物线方程得焦点判断D. 【详解】A：由抛物线的定义，得，所以，对； B：因为点在抛物线上，所以，所以，错； C：，对； D：由抛物线，可得，错； 故选：AC 12． 【分析】由双曲线的标准方程可得，经分析点只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可得，计算可得结果. 【详解】根据双曲线方程，， ， 根据双曲线的定义，由已知， 又， 所以． 故答案为：.    13．6 【分析】方法一、由题可得点坐标，代入即可求；方法二、由题可得直线的方程，与抛物线联立可解. 【详解】如图，过点向轴作垂线，垂足记为，由题意可知， 所以点的坐标为，代入抛物线方程得，所以． 一题多解  多方法解题 过原点且倾斜角为的直线方程为，由，得， 设，则，所以，解得． 故答案为：6. 14．2 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 16．(1) (2) 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 17．(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 18．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 19．(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、离心率得、，结合椭圆参数关系即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用求参数范围. 【详解】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 3．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 5．已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 6．若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（ ） A．焦点 B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 10．已知双曲线：的上焦点为，直线：是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则（   ） A．到的距离为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．若，则的最小值为4 11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 三、填空题 12．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则______． 13．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则______． 14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 四、解答题 15．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 16．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 17．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 19．已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $