3.2双曲线 单元练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线的标准方程及简单几何性质 同步培优练习 姓名：___________班级：___________学号:___________ 一、选择题 1．双曲线的一个焦点为，则（　　） A． B． C．3 D． 2．双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（　　） A．1 B．1或9 C．9 D．3 3．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（　　） A．1 B．13 C．1或13 D．3 8．已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D． 二、多项选择题 9．已知双曲线的方程为，则（　　） A．渐近线方程为 B．焦距为 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 10．若方程所表示的曲线为C，则下列说法正确的是（　　） A．若，则曲线C的长度为 B．若C为双曲线，则或 C．若C为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若C为椭圆，则焦距为4 11．下列说法正确的是（　　） A．椭圆 比椭圆 形状更接近圆 B．等轴双曲线的离心率为 C．双曲线的实轴长一定大于虚轴长 D．双曲线的离心率越大，图像的张口就越大 三、填空题 12．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则　 　. 13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为　 　. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为　 　． 四、解答题 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； （2）渐近线方程为，经过点． 16．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 17．已知命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 ：“方程 表示双曲线”. （1）若 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 和 都是真命题，求实数 的取值范围. 18．已知双曲线. （1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率； （2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点. 19．已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上． （1）求双曲线方程； （2）求证： ； （3）求△ 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线的标准方程及简单几何性质 同步培优练习 姓名：___________班级：___________学号:___________ 一、选择题 1．双曲线的一个焦点为，则（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：易知，，由，可得 ，即． 故答案为：A. 【分析】由题意，根据双曲线中的关系求解即可. 2．双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（　　） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得，则， 因为，即， 由双曲线的定义可得，解得或， 又因为，所以. 故答案为：C. 【分析】由双曲线的定义和性质，从而得出的值. 3．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线， 所以， 解得或， 则实数的取值范围为. 故答案为：B. 【分析】根据双曲线方程的特征，从而得到，解不等式得出实数m的取值范围. 4．、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示，设关于渐近线的对称点为， 易知，且为中点，， 则，，所以，，则， 即一条渐近线倾斜角为，所以斜率， 所以离心率， 故答案为：A. 【分析】用对称点的性质得到相关线段的关系，结合双曲线的渐近线斜率与离心率的关系来求解. 5．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设，依题意，， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：B 【分析】先利用给定条件列出方程，化简整理即可求解. 6．已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由双曲线的定义可得c= 3，2a=4，即 a=2， 且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为：. 故答案为： C. 【分析】由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由 a，b，c之间的关系求出b，结合焦点位置， 即可求出双曲线的方程. 7．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（　　） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【解析】【解答】是双曲线左支上的一点， 所以，解得：， 由双曲线定义可知，，所以13. 故选：B. 【分析】本题考查双曲线的定义.根据双曲线的方程可得：，根据双曲线的定义可知：，变形可得：，代入数据可求出答案. 8．已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D． 【答案】C 【解析】【解答】因为是双曲线左支上的点，所以，． 在中， ，即，所以，，故的面积为． 故答案为：C． 【分析】根据题意由双曲线的定义整理化简计算出a与c的取值，再把结果代入到余弦定理计算出余弦值的大小，然后由同角三角函数的基本关系式以及三角形的面积公式计算出结果即可。 二、多项选择题 9．已知双曲线的方程为，则（　　） A．渐近线方程为 B．焦距为 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 【答案】B,C 【解析】【解答】A、因为双曲线方程为，即，则，且双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，A错误； B、焦距，B正确； C、离心率，C正确； D、焦点为，则焦点到渐近线的距离为，D错误． 故答案为：BC. 【分析】根据方程求，进而结合双曲线的性质逐项分析判断. 10．若方程所表示的曲线为C，则下列说法正确的是（　　） A．若，则曲线C的长度为 B．若C为双曲线，则或 C．若C为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若C为椭圆，则焦距为4 【答案】A,B 【解析】【解答】A选项，因为，则曲线C：为圆心在原点，半径为1的圆，轨迹长度为，A正确； B选项，因为C为双曲线，所以，则或，B正确； C选项，因为C为椭圆，且焦点在轴上，所以，则，C错误； D选项，因为C为焦点在轴上的椭圆，所以焦距为， D错误. 故答案为：AB 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的定义与性质对每一个选项进行判断即可得到结果. 11．下列说法正确的是（　　） A．椭圆 比椭圆 形状更接近圆 B．等轴双曲线的离心率为 C．双曲线的实轴长一定大于虚轴长 D．双曲线的离心率越大，图像的张口就越大 【答案】B,D 【解析】【解答】解：椭圆 的标准方程是 ，则 a=6，b=2， 椭圆 中 ，离心率为 ， 因此椭圆比椭圆形状更接近圆，A错； 等轴双曲线的离心率为，B正确， 双曲线的实轴长可以小于虚轴长，C错； 双曲线的离心率越大，假设a不变，则c越大，焦点设顶点越远，图像的张口就越大，D正确． 故选：BD． 【分析】根据椭圆的标准方程与几何性质可判断A，根据双曲线的性质可判断BCD. 三、填空题 12．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：已知双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 所以椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 【分析】先利用双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再利用椭圆的几何性质即可求解. 13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：因为双曲线：过点， 所以， 解得， 所以双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【分析】利用双曲线过点，从而可得的值，进而可得双曲线的渐近线方程. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示： 因为，所以， 又因为关于原点对称，所以，关于原点对称，所以四边形为矩形， 则， 由，可得， 由双曲线定义可知：，则，，，， 解得，则渐近线方程为：. 故答案为：. 【分析】由可得，结合双曲线的对称性可得四边形为矩形，再由可得，结合双曲线的定义求得，利用勾股定理列式求得，即可得双曲线的渐近线方程. 四、解答题 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； （2）渐近线方程为，经过点． 【答案】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知： ，双曲线方程为：. （2）解：设双曲线方程为：， 将代入，解得， 所以双曲线方程为：. 【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的简单性质，结合已知条件以及双曲线里a、b、c的关系，即可得出关于a、b、c的方程组，求解出结果从而得到双曲线的方程。 (2)由已知条件设出双曲线的方程，再把点的坐标代入计算出的取值，由此即可得出双曲线的方程。 16．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【答案】解：（1）易知，由渐近线方程为，可得， 由，可得 ，解得，， 则双曲线的标准方程为； （2）设，AB中点的坐标为， 因为在双曲线上，所以①，②， ②①得：，即， 又因为，所以， 则直线的方程为，即. 【解析】【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得双曲线方程； （2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可. 17．已知命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 ：“方程 表示双曲线”. （1）若 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 和 都是真命题，求实数 的取值范围. 【答案】（1）解：命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，则 ，解得 . （2）解：命题 ：“方程 表示双曲线”，则 ，解得 或 . 若“ 和 ”都是真命题， ，所以 【解析】【分析】（1）根据方程表示焦点在 轴上的椭圆得到 ，计算得到答案.（2）命题 为真命题时满足 或 ，求交集得到答案. 18．已知双曲线. （1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率； （2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点. 【答案】（1）由题意得直线 的斜率必存在，设 ， 联立 ，得 若 ，即 时，满足题意； 若 ，即 时， 令 ，解之得 ； 综上， 的斜率为 （2）证明：设 ， ， 联立 ，得 ， 则： 以线段 为直径的圆过双曲线的左顶点 ， ，即 ， 由韦达定理知， . 则 ， 整理得 ， 解得 或 （均满足 ）. 当 时，直线 ： ，此时，直线过点 ，不满足题意，故舍去； 当 时，直线 ： ，此时，直线恒过点 ，满足题意. 所以原题得证，即直线 过定点 . 【解析】【分析】(1)由已知条件射出直线的方程，联立直线与双曲线的方程消元后得到关于x的方程，结合二次方程的性质由此求解出k的取值即可。 (2)根据题意设出点的坐标，联立直线与双曲线的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理以及二次函数的性质即可得出关于k和 m的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到数量积的坐标公式整理化简即可求出m与k的关系式，然后分情况讨论即可得出直线的方程，由此即可求出直线过的定点坐标，从而得证出结论。 19．已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上． （1）求双曲线方程； （2）求证： ； （3）求△ 的面积． 【答案】（1）解：∵ ， ， ， ， ∴可设双曲线方程为 ． ∵双曲线过点 ，∴ ，即 ，∴双曲线方程为 （2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 又∵点 在双曲线上，∴ ， ． ∴ ，∴ （3）解：由（2）知 ∴△ 为直角三角形．又 ， ，∴ 或 ，由两点间距离公式得： ， ， ∴ ． 即△ 的面积为6 【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线上的点可以直接得到双曲线的标准方程； （2）由标准方程可得到焦点坐标，也易求点M的坐标，根据斜率直接得证； （3）可根据三角形面积计算公式直接求得答案。 学科网（北京）股份有限公司 $