复数的综合运算、与复数模相关的轨迹问题、复数范围内方程的根专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦复数运算、模轨迹、方程根三大模块，通过精选模拟题构建从概念到应用的知识链，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的综合运算|8题（4例+4变式）|选择为主，考查运算、概念及几何意义|从复数概念到四则运算，结合复平面坐标表示，形成代数与几何转化逻辑| |与复数模相关的轨迹问题|8题（4例+4变式）|选择填空结合，涉及模的几何意义及最值|以模的定义为基础，延伸至圆的轨迹、距离最值，体现数形结合思想| |复数范围内方程的根|8题（4例+4变式）|多选为主，考查根与系数关系及性质|基于实系数方程虚根成对定理，构建方程解与复数性质的关联逻辑|

2027届高三数学一轮复习专项训练 复数的综合运算、与复数模相关的轨迹问题、复数范围内方程的根专项训练 考点目录 复数的综合运算 与复数模相关的轨迹问题 复数范围内方程的根 考点一 复数的综合运算 例1．（2026·湖北武汉·三模）已知复数满足，那么复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】对应点坐标为，在第四象限. 例2．（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可. 【详解】因为，所以移项化简得， 所以. 例3．（2026·山东聊城·一模）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 所以． 例4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】BD 【详解】， 的虚部是1，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 变式1．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 变式2．（2026·海南三亚·一模），在复平面上对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用复数乘法运算法则化简复数，再根据复数的实部、虚部确定复平面对应点坐标，即可判断所在象限. 【详解】解：由化简可得，， 则在复平面上对应的点为，所以该点位于第四象限. 变式3．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知复数（i为虚数单位），且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， ，， ． 变式4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数的实部和虚部之和为3 B．复数的共轭复数为 C． D．复数为纯虚数 【答案】BCD 【详解】由题知，所以复数的实部与虚部之和为1+1=2，A错误； 复数的共轭复数，B正确； ，C正确； ，为纯虚数，D正确. 考点二 与复数模相关的轨迹问题 例1．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为； 再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为， 旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长， 所以． 例3．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 【答案】 【分析】运用复数的几何意义画图计算即可. 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    故答案为： 例4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由复数满足，可得 根据复数的几何意义，方程表示复数对应的点到点和间的距离之差的绝对值为定值， 由双曲线的定义，可得复数所对应轨迹为以和为焦点的双曲线 且，可得，则， 所以复数所对应的点的轨迹方程为. 故答案为：. 变式1．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 变式2．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义转化为圆的方程，利用圆的方程即可求解. 【详解】设，则，整理得， 所以复数对应点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又表示点到原点的距离， 根据圆的性质可知，最大值为2. 变式3．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案. 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 变式4．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围. 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 考点三 复数范围内方程的根 例1．（2026·湖南湘西·三模·多选）已知复数是关于的方程（其中）的根，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为2 【答案】ACD 【详解】对于，因为， 所以，， 则，故A正确； 对于，由知，，即，故错误； 对于，由于是关于的方程的根， 所以也是该方程的另一个根，由韦达定理，， ，所以，故正确； 对于，由，可得在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为，故正确． 例2．（25-26高一下·河北唐山·期末·多选）已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（   ） A．， B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A，，， ，解得，，正确. 选项B，因为，所以，故，正确. 选项C，，错误. 选项D，，正确. 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测·多选）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】方程存在两个虚数根分别为 ， 是共轭虚数，，故选项A正确； 虚数不能比较大小，故选项B错误； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，，故选项C正确； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，， ，故选项D正确. 变式1．（2026·山东济南·二模·多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 变式2．（2026·湖北·二模·多选）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【详解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对，因此，A正确 由韦达定理可知，，所以B错误； ，C错误， ，可得，由韦达定理可知，所以， D正确. 变式3．（2025·江西·三模·多选）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断A，再由韦达定理判断B，根据复数的乘法运算判断C，再由复数除法及周求判断D． 【详解】对于A，因为且实系数一元二次方程的两根为， 所以，可得，因为，故A正确； 对于B，又，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ACD 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 复数的综合运算、与复数模相关的轨迹问题、复数范围内方程的根专项训练 考点目录 复数的综合运算 与复数模相关的轨迹问题 复数范围内方程的根 考点一 复数的综合运算 例1．（2026·湖北武汉·三模）已知复数满足，那么复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2．（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·山东聊城·一模）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 例4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 变式1．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·海南三亚·一模），在复平面上对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式3．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知复数（i为虚数单位），且，则（     ） A． B． C． D． 变式4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数的实部和虚部之和为3 B．复数的共轭复数为 C． D．复数为纯虚数 考点二 与复数模相关的轨迹问题 例1．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 例3．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 例4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数满足，则复数所对应的点的轨迹方程为__________. 变式1．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 变式3．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 变式4．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 考点三 复数范围内方程的根 例1．（2026·湖南湘西·三模·多选）已知复数是关于的方程（其中）的根，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为2 例2．（25-26高一下·河北唐山·期末·多选）已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则（   ） A．， B． C． D． 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测·多选）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 变式1．（2026·山东济南·二模·多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖北·二模·多选）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 变式3．（2025·江西·三模·多选）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $