3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，课前通过表格对比焦点在x轴与y轴的标准方程及性质要点搭建基础，课时学案以“由方程研究性质—用性质求方程—求离心率”题型递进，形成从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以数学抽象（性质对比）、数学运算（方程转化）、逻辑推理（离心率求解）为核心，如例2结合几何条件列方程求椭圆方程，探究总结方法步骤。分层设计课后巩固与自助餐，助力学生深度学习，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 自助餐 Content Navigation 01 02 03 04 3.1.2　椭圆的简单几何性质 (第1课时) 素养目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．(数学抽象)2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程．(数学运算)3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题．(逻辑推理) 课前自学 4 要点1　椭圆的简单几何性质 第页 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 关于________________轴对称，关于____________中心对称 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 范围 |x|≤_______，|y|≤_______ |x|≤_______，|y|≤_______ 长轴、短轴 长轴长为_______，短轴长为_______ x轴、y轴 坐标原点 a b b a 2a 2b 第页 要点2　椭圆的离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比______________． (2)记法：e＝______________． (3)范围：________________________． (4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆． 0<e<1 第页 第页 1．如何从方程形式判断曲线的对称性？ 答：在曲线的方程里， ①如果把x换成－x而方程不变，那么曲线关于y轴对称． ②如果把y换成－y而方程不变，那么曲线关于x轴对称． ③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称三种对称性中的任意两种，那么它也一定具有第三种对称性． 第页 2．在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？ 答：与位置无关的有长轴长、短轴长、焦距、对称性；与位置有关的有顶点坐标、焦点坐标、范围． 3．下列说法是否正确？ ①椭圆的中心一定是坐标原点． ②椭圆有一个对称中心及无数条对称轴． ③椭圆的长轴一定比短轴长． ④离心率相同的椭圆是同一椭圆． 答：①不正确，②不正确，③正确，④不正确． 返 回 课时学案 11 例 1　求椭圆x2＋4y2＝16的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 题型一　 由方程研究椭圆的性质 第页 12 探究1 根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，需要将椭圆的方程化为标准方程形式，根据方程特征确定出椭圆的长轴、短轴后结合待研究的几何性质求解，若是方程中的系数含参数，需要分类讨论后求解． 第页 第页 (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 第页 例 2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆方程． (1)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6； 题型二　 利用性质求椭圆的标准方程 第页 16 第页 (3)以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点． 第页 探究2 利用性质求椭圆的标准方程的方法 (1)确定标准方程的形式． (2)由a，b，c，e的关系列出方程(组)． (3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点位置不明确时要分类讨论． 第页 思考题2　(1)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别 是(－6，0)，(6，0)，则椭圆的方程为__________________________． 第页 第页 第页 例 3 题型三　 求椭圆的离心率 第页 23 第页 探究3 求椭圆的离心率的两种方法 第页 √ 第页 √ 返 回 课后巩固 28 √ √ 第页 √ 第页 √ 第页 4．一个椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个 焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________________． 第页 返 回 自助餐 34 例 与椭圆性质有关的最值问题 35 第页 探究 (1)求解与椭圆上的动点有关的最值问题，应建立关于动点坐标的函数解析式，结合动点坐标的范围，利用函数的方法求最值． (2)椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c. 第页 返 回 请做：课时作业（三十一） 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) eq \f(c,a) eq \f(c,a) (2)椭圆上到焦点距离最大的点和最小的点是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长等于eq \f(2b2,a). (4)如图，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 【解析】　∵x2＋4y2＝16，∴eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1. ∴a＝4，b＝2，c＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3). ∴长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，焦点坐标为(－2eq \r(3)，0)，(2eq \r(3)，0)，椭圆四个顶点坐标为(－4，0)，(4，0)，(0，－2)，(0，2)． 【解析】　(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝eq \f(3,5). 思考题1　已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 【解析】　(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1. 几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；③顶点：长轴端点为(0，10)，(0，－10)，短轴端点为(－8，0)，(8，0)，长轴长为20，短轴长为16；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝eq \f(3,5). 【解析】　(1)依题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝c，,c＝6，)) ∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72. ∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,72)＋eq \f(y2,36)＝1. 【解析】　(2)∵c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)， ∴所求椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)． 设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． ∵e＝eq \f(\r(5),5)，c＝eq \r(5)，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20. ∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1. (2)与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率e＝eq \f(\r(5),5)； 【解析】　(3)直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点分别为(0，3)，(4，0)． ①若以(4，0)为一个焦点，则c＝4，b＝3，a＝5. ∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. ②若以(0，3)为一个焦点，则c＝3，b＝4，a＝5. ∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1. 综上，所求椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1. 【解析】　(1)由已知得c＝4，当两个顶点为长轴端点时，则可得a＝6，b2＝a2－c2＝20，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1；当两个顶点为短轴端点时，则可得b＝6，a2＝b2＋c2＝52，∴所求椭圆的方程为eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,36)＝1. 综上，所求椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1或eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,36)＝1. eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1或eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,36)＝1 【解析】　(2)由题意设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． ∵c＝eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴a＝eq \r(3)，∴b2＝1，∴椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1. (2)已知椭圆的左、右焦点坐标分别为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，离心率是eq \f(\r(6),3)，则椭圆的标准方程为________________． eq \f(x2,3)＋y2＝1 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1 (3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝eq \f(2,3)，则椭圆的标准方程为________________________． 【解析】　(3)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝eq \f(2,3)， ∴点A是短轴的端点． ∴|AF|＝a＝3， 又|OF|＝c，∴eq \f(c,3)＝eq \f(2,3)，∴c＝2，b2＝32－22＝5， ∴椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1. eq \r(3)－1 　(1)已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是___________． 【解析】　由题意知△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝eq \r(3)c，由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋eq \r(3)c＝2a，得离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1. eq \f(－1＋\r(5),2) (2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，若eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(OB,\s\up18(→))＝0(O为原点)，则椭圆的离心率e是__________． 【解析】　设椭圆的右焦点为F2，不妨设点A在第一象限，如图，则F2(c，0)，把x＝c代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))). 由eq \o(OA,\s\up18(→))·eq \o(OB,\s\up18(→))＝0，结合图形分析，得|OF2|＝|AF2|. 即c＝eq \f(b2,a)⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a))) eq \s\up18(2)＋eq \f(c,a)－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝eq \f(－1＋\r(5),2)(负值舍去)． 定义法 若给定椭圆方程，则根据椭圆的方程求出a，c的值，利用公式e＝eq \f(c,a)直接求解 方程法 若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程，解方程求得e 【解析】　由△ABF2是正三角形，得△AF1F2是∠AF2F1为30°的直角三角形，设|AF1|＝m，则|AF2|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m，由椭圆定义知|AF1|＋|AF2|＝3m＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(3)m,3m)＝eq \f(\r(3),3).故选A. 思考题3　(1)已知F1，F2是椭圆的两焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则椭圆的离心率是(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　B.eq \f(\r(2),3) 　　　　C.eq \f(\r(2),2) 　　　　D.eq \f(\r(3),2) 【解析】　由题意知直线l经过一个焦点和一个短轴端点．不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c，0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2).故选B. (2)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心(坐标原点)到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(1,3)　　　 B.eq \f(1,2)　　　 C.eq \f(2,3)　　　 D.eq \f(3,4) 1．【多选题】已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为eq \f(1,2)　　　　 　 B．焦距为eq \f(\r(3),4) C．焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),4))) D．离心率为eq \f(\r(3),2) 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知椭圆9x2＋4y2＝36的焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，故可设所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5)，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,6)＋x2＝1. 2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(y2,6)＋x2＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1 解析　由椭圆eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，得a2＝m－2，b2＝8－m，c2＝a2－b2＝2m－10，m－2>8－m>0，解得5<m<8.由焦距为4，即2c＝4，得c＝2，即有2m－10＝4，解得m＝7. 3．已知椭圆eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则实数m的值是(　　) A．3 B．5 C．7 D．13 解析　由已知得2a＝18，2c＝6，∴b2＝72.∴椭圆方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1. eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 －eq \f(9,4)或3 5．若椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m＋9)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值等于____________． 解析　∵eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2c，b＝eq \r(3)c. 当焦点在x轴上时，a2＝9，b2＝m＋9，则－9<m<0，∴c2＝eq \f(9,4). ∴b2＝eq \f(27,4)＝m＋9.∴m＝－eq \f(9,4). 当焦点在y轴上时，a2＝m＋9，b2＝9，则m>0. ∴4c2＝m＋9，3c2＝9，∴m＝3. 【解析】　设P为椭圆上一点，坐标为(x0，y0)． 连接PF2， ∴|PF2|2＝(x0－1)2＋yeq \o\al(2,0). ∵P为椭圆上一点，∴2,0)eq \f(x,4) ＋2,0)eq \f(y,3) ＝1， 已知椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，右焦点为F2(1，0)，求椭圆上的点到F2距离的最值． 即yeq \o\al(2,0)＝32,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4))) ，－2≤x0≤2. ∴|PF2|2＝(x0－1)2＋3－eq \f(3,4)xeq \o\al(2,0)＝2,0)eq \f(x,4) －2x0＋4＝eq \f(1,4)(x0－4)2. ∴|PF2|＝eq \f(1,2)|x0－4|. ∴当x0＝－2时，|PF2|取得最大值，为3； 当x0＝2时，|PF2|取得最小值，为1. 【解析】　易知a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)， 所以F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)． 设P(x，y)，则eq \o(PF1,\s\up18(→))·eq \o(PF2,\s\up18(→))＝(－eq \r(3)－x，－y)·(eq \r(3)－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－eq \f(x2,4)－3＝eq \f(1,4)(3x2－8)． 因为x∈[－2，2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，eq \o(PF1,\s\up18(→))·eq \o(PF2,\s\up18(→))有最小值－2； 当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，eq \o(PF1,\s\up18(→))·eq \o(PF2,\s\up18(→))有最大值1. 所以eq \o(PF1,\s\up18(→))·eq \o(PF2,\s\up18(→))的取值范围为[－2，1]． 思考题　设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求eq \o(PF1,\s\up18(→))·eq \o(PF2,\s\up18(→))的取值范围． $