3.3　习题课　抛物线焦点弦性质的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线焦点弦性质的应用，系统梳理了焦点弦的8个核心性质，从抛物线定义与标准方程切入，通过性质归纳搭建学习支架，衔接前期抛物线基础与后续解题应用。 其亮点在于以性质为核心，例题对比通法与性质应用，培养学生数学思维中的推理与运算能力，跟踪训练与随堂演练引导学生用数学语言规范表达。例如例1结合向量数量积与焦点弦性质快速求解，帮助学生提升解题效率，教师可借助系统资源实现分层教学。

抛物线焦点弦性质的应用 第三章　§3.3　习题课 如图，AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条弦.设A(x1， y1)，B(x2，y2)，点A在x轴上方，AB的中点为M(x0，y0)，相 应的准线为直线l. (1)x1x2=，y1y2=-p2(一般地，若直线AB与x轴的交点坐标为 (a，0)，则x1x2=，y1y2=-2pa). (2)弦长|AB|=x1+x2+p=，其中α为弦AB所在直线的倾斜角；当α=90°时，线段AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的. (3)+=，|AF|=x1+=，|BF|=x2+=(α为弦AB所在直线的倾斜角). (4)以AB为直径的圆必与准线l相切(过点A作抛物线的切线 l1，过点B作抛物线的切线l2，则l1与l2的交点在准线上； 或者，设以AB为直径的圆与准线l相切的切点为C，则直 线AC和BC分别与抛物线相切)，以AF或BF为直径的圆与 y轴相切. (5)S△AOB=(α为弦AB所在直线的倾斜角，O为坐标原点). (6)过点A，B分别作AA'⊥l，BB'⊥l，垂足分别为A'，B'，则∠A'FB'=90°. (7)若=λ(λ>0)，则|cos α|=(α为弦AB所在直线的倾斜角). (8)抛物线在点A处的切线方程为y1y=p(x+x1)，设抛物线外 一点P(x0，y0)，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为 C，D，则直线CD的方程为y0y=p(x+x0). 运用这些性质可以减少运算，解决问题变得更加快捷. 内容索引 01 02 05 03 |AB|=x1+x2+p=的应用 +=的应用 x1·x2=，y1·y2=-p2的应用 04 06 课时对点练 随堂演练 以弦AB为直径的圆与准线相切及过抛物线上的点的切线问题 01 x1·x2=，y1·y2=-p2的应用 　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·=-12，则抛物线C的方程为 A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x √ 例1 7 解析： 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 方法一　设直线AB的方程为x=my+， 联立消去x，得y2-2pmy-p2=0， 则y1y2=-p2，x1x2==， 得·=x1x2+y1y2=-p2 =-p2=-12，解得p=4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2=8x. 8 解析： 方法二　直接运用x1·x2=，y1·y2=-p2， 得·=x1x2+y1y2=-p2 =-p2=-12，解得p=4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2=8x. 9 在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果. 反思感悟 10 　已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是 A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 跟踪训练1 √ 11 解析： 方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y=kx+1，与抛物线C：x2=4y联立， 得x2-4kx-4=0，所以x1x2=-4，所以·=x1x2+y1y2=x1x2+·=-4+1=-3<0， 所以∠AOB为钝角. 方法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2=-p2=-4，y1y2==1，则·=x1x2 +y1y2=-4+1=-3<0，故∠AOB为钝角. 12 02 |AB|=x1+x2+p=的应用 　设F为抛物线C：y2=6x的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于 A. B.8 C.12 D.7 例2 √ 14 解析： 方法一　依题意可知抛物线C：y2=6x的焦点F的坐标为，则直线AB的方程为y=，代入抛物线方程得4x2-20x+9=0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA+xB=5，根据抛物线的定义可知，|AB|=xA+xB+p=5+3=8. 方法二　由题意知p=3，直线AB的倾斜角α=60°，则|AB|===8. 15 利用|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解抛物线焦点弦的长度问题. 反思感悟 16 　经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，则p=　　. 跟踪训练2 2 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1+x2=14， ∴14+p=，∴p=2. 17 03 +=的应用 　　　 过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|= 2|BF|，则|AB|等于 A.4 B. C.5 D.6 例3 √ 解析： 因为|AF|=2|BF|，+ =+===1， 解得|BF|=，|AF|=3， 故|AB|=|AF|+|BF|=. 19 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题. 反思感悟 20 　过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|·|BF|=2|AB|，则抛物线C的标准方程是　　　　. 跟踪训练3 y2=8x 21 解析： 方法一　抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F， 因为|AF|·|BF|=2|AB|，且直线AB经过焦点F， 故|AB|=|AF|+|BF|， 代入得|AF|·|BF|=2(|AF|+|BF|)， 化简得+=， 设直线AB的倾斜角为θ(θ≠0°)，则过点B作BN⊥x轴于点N，x轴与准线l交于点N'，作BB1⊥l于点B1，AA1⊥l于点A1，所以|BF|=|BB1|=p-|BF|cos θ⇒ |BF|=， 22 解析： 同理可得，|AF|=， 故+=+==， 解得p=4，故抛物线C的标准方程是y2=8x. 方法二　因为|AF|·|BF|=2|AB|，且直线AB经过焦点F， 故|AB|=|AF|+|BF|， 代入得|AF|·|BF|=2(|AF|+|BF|)， 化简得+=， 又+=，所以p=4，故抛物线C的标准方程是y2=8x. 23 04 以弦AB为直径的圆与准线相切及过抛物线上的点的切线问题 求证：(1)以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切； 例4 证明： 设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA'⊥l于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点M'， 则由抛物线定义可知|AA'|=|AF|，|BB'|=|BF|，在直角梯形BB'A'A中， |MM'|=(|AA'|+|BB'|) =(|AF|+|BF|)=|AB|， 即|MM'|等于以AB为直径的圆的半径. 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 25 (2)若点A(x1，y1)在抛物线y2=2px(p>0)上，则抛物线在点A处的切线方程为y1y=p(x+x1). 例4 证明： 易知切线的斜率不为0，可设切线方程为m(y-y1)=x-x1， 由得y2-2pmy-+2pmy1=0， 由Δ=4p2m2-4(-+2pmy1)=0得 -2pmy1+p2m2=0， ∴(y1-pm)2=0， ∴y1=pm，m=， 将m=代入切线方程得y1y=p(x+x1). 27 分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？ 延伸探究 解： 它们都与y轴相切， 证明如下： 设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，交y轴于 点E， 取AF的中点M， 作MM'⊥y轴于点M'， 则由抛物线的性质可知|AA'|=|AF|，|OF|=|A'E|， 在直角梯形OFAE中， 28 分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？ 延伸探究 解： |MM'|=(|OF|+|AE|)=(|A'E|+|AE|) =|AA'|=|AF|， 即|MM'|等于以AF为直径的圆的半径， 故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理可得以BF为直径的圆与y轴相切. 29 解析几何中的选择题和填空题都很小巧灵活，既考查运算功底(通法)，也考查思维的灵活性(小题小做).为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要. 反思感悟 30 　(1)过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF=60°，则∠MFO的大小为 A.15° B.30° C.45° D.不确定 跟踪训练4 √ 31 解析： 如图，取AB的中点G，连接MG，则以线段AB为直径的圆与准线l相切于 点M，MG∥x轴，由题意知F，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k， 联立得y2-y-=0， 由根与系数的关系得y1+y2=， ∴点M，∴kMF==-， 32 解析： ∴kAB·kMF=-1， ∴MF⊥AB，∵∠AMF=60°， ∴∠GAM=∠GMA=30°， ∴∠MFO=∠GMF=30°. 33 (2)设点P(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)外，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为　　　　　　. y0y=p(x+x0) 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线在点A处的切线方程为y1y=p(x+x1)，在点B处的切线方程为y2y=p(x+x2). 因为点P(x0，y0)在两条切线上，所以 上述两式说明点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线y0y=p(x+x0)上，故切点弦AB所在直线的方程为y0y=p(x+x0). 34 课堂小结 1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错. 35 05 随堂演练 1 2 3 4 1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是 A.y轴 B.x=-1 C.x=-2 D.不存在 √ 解析： 抛物线焦点为F(1，0)，即=1，p=2，故抛物线C：y2=4x，准线方程为x=-1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B. 2.过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|等于 A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 解析： 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0， 由题意可得p=4，|AF|=x1+2=6， 则x1=4，又x1x2==4，所以x2=1，所以|BF|=x2+2=3. 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得， +==， 所以=-=，可得|BF|=3. 1 2 3 4 3.已知抛物线y=2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于 A.- B.- C.-1 D.-2 √ 1 2 3 4 解析： 方法一　依题意，直线MN斜率存在， 设其方程为y=kx+， 由消去y整理得x2-kx-=0， ∴x1x2=-. 方法二　y=2x2即x2=y， 由抛物线焦点弦的性质知，x1x2=-p2=-. 1 2 3 4 4.AB是过抛物线x2=4y的焦点且斜率为1的弦，直线l1，l2是抛物线的两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点坐标为 A.(2，-1) B.(1，-1) C.(3，-1) D.(4，1) √ 1 2 3 4 解析： 设交点坐标为(x0，y0)， 则直线AB的方程为x0x=2(y+y0)，即x0x-2y-2y0=0， 又直线AB的斜率为1，∴x0=2， 又直线AB过焦点(0，1)，∴y0=-1， ∴交点坐标为(2，-1). 06 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C A D AC ABD 题号 9 10 11 答案 ABD 3+2 2p 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)解　由题意知F， 设直线l的方程为y=，G(x1，y1)，H(x2，y2)， 由抛物线的焦半径公式可知|FG|+|FH|=x1+x2+p=， ∴x1+x2=-p. 联立 消去y得8x2-17px+2p2=0. 13 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴x1+x2==-p，解得p=2， ∴抛物线C的标准方程为y2=4x，焦点F的坐标为(1，0). (2)证明　设A(x3，y3)，N(x4，y4)，P(m，0)(m>0)， 则M(-m，0)，设直线AM的方程为x=ty-m. 联立 消去x得y2-2pty+2pm=0， ∴y3+y4=2pt，y3y4=2pm， 13 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而kAP+kNP=+=， 又x3y4+x4y3-m(y3+y4) =(ty3-m)y4+(ty4-m)y3-m(y3+y4) =2ty3y4-2m(y3+y4)=4ptm-4ptm=0， ∴kAP+kNP=0， ∴MP为∠APE的平分线. 13 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由抛物线方程y2=4x， 可知焦点为F(1，0)，直线AB过点F， 所以yA·yB=-p2=-4， xA·xB==1. (2)设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 直线MN过焦点F，则yM·yN=-4， ∴=4xM，=4xN， 13. 13 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1， ∴=， 即=， 整理得3(yM+yB)=yN+yA， ∴3=yN+yA， 即yN·yA=-12， 13. 13 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设直线AN的方程为y-yA=(x-xA)， ∴y-yA=(x-xA)， 即y-yA=(x-xA)， ∴4x-(yN+yA)y+yN·yA=0， ∴4x-(yN+yA)y-12=0， 令y=0，得x=3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3，0). 13. 13 一、单项选择题 1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 A. B.p C.2p D.无法确定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p. 2.已知抛物线y2=2px(p>0)，过点(2，0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值为 A.-4 B.4 C.p D.-p √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： x1x2=4，y1y2=-4p，所以=-p. 3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若|AB|=4，则AB中点的纵坐标是 A.1 B.2 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4， |PQ|==2. 又|PQ|=y0+， ∴y0+=2，∴y0=. 4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于A，B两点，则-的最小值为 A.- B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： ∵焦点为F(4，0)，∴=4，得p=8，即抛物线的方程为y2=16x， 由抛物线焦点弦的性质可得，+==，则=-， ∴-=-4=+-1≥2-1=， 当且仅当=，即|BF|=6时取等号. 故-的最小值为. 5.已知过点M(2，1)的直线交抛物线C：y2=4x于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P，则|PM|的最小值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 设P(x0，y0)，则直线AB的方程为y0y=2(x+x0)，又直线AB过点M(2，1)，所以y0=2(2+x0)，整理得2x0-y0+4=0，所以点P的轨迹方程为2x-y+4=0，所以|PM|的最小值为点M到直线2x-y+4=0的距离， 即为=. 6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M.若直线l与C交于D，E两点，且=-4，|DE|=，则△DEM的面积为 A.5 B.10 C.15 D.20 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 由=-4得直线l过焦点F，且=4. 由对称性可设点D在第一象限，l的倾斜角为θ(0°<θ<90°). 如图，过点D，E作准线的垂线，垂足分别为H，I，过点 D，E作x轴的垂线，垂足分别为G，K，O为坐标原点， 则|GF|=|DF|cos θ=|DH|-p=|DF|-p，解得|DF|=；|KF|=|EF|cos θ=p-|EI|=p-|EF|，解得|EF|=. 故由=4得=4，解得cos θ=，所以sin θ==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 又|DE|=|DF|+|EF|==，解得p=4， 所以S△DEM=2S△DOE=2×=20. 二、多项选择题 7.(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y=-(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： A项，直线y=-(x-1)过点(1，0)， 所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)， 所以=1，p=2，故A正确； B项，由题意知直线y=-(x-1)的倾斜角为α=120°，所以|MN|== =，故B错误； C项，由抛物线焦点弦的性质知C正确； D项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1>x2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0， 解得x1=3，x2=， 则y1=-×(3-1)=-2，y2=-×=， 所以|OM|==，|ON|==， 且|MN|=， 所以△OMN不是等腰三角形，故D错误. 8.已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是 A.抛物线的准线方程为x=-1 B.若++=0，则2||=||+|| C.若A，F，C三点共线，则y1y2=-1 D.若|AC|=6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 把点B(1，2)代入抛物线y2=2px，得p=2，所以抛物线的准线方程为x=-1，故A正确； 因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)， 所以=(x1-1，y1)，=(0，2)，=(x2-1，y2)， 又由++=0，得x1+x2=2， 所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以线段AC是焦点弦，所以y1y2=-p2=-4，故C不正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为|AF|+|CF|≥|AC|， |AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2， 所以2x0+2≥6，得x0≥2， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 9.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则 A.过点P(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B.若AB的中点M的横坐标为3，则|AB|的最大值为8 C.若直线AB过点F，且倾斜角为60°(点A在第一象限)，则|AF|=2|BF| D.若直线AB过点F，则x轴上存在一点N，使kAN+kBN为定值 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 对于A，当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1， 与抛物线C：y2=4x联立，消去y并整理得k2x2+(2k-4)x+1=0， 当k=0时，方程有一解，满足题意； 当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4k2=0，解得k=1，方程有一解，满足题意， 所以过点P(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条，故A正确； 对于B，由于A，B为两动点，所以|AB|≤|AF|+|BF|=xA+xB+p=2×3+2=8， 当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 对于C，方法一　因为直线AB过焦点F(1，0)且倾斜角为60°，则直线AB的方程为y=(x-1)， 将y=(x-1)代入y2=4x，得3x2-10x+3=0，解得xA=3，xB=， 所以|AF|=xA+=4，|BF|=xB+=，所以|AF|=3|BF|，故C错误； 方法二　由题意知直线AB的倾斜角为α=60°，所以|AF|===4， |BF|===， 所以|AF|=3|BF|，故C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 对于D，由题意可设直线AB的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB与抛物线C：y2=4x联立，消去x并整理得y2-4my-4=0， 所以y1+y2=4m，y1y2=-4， 设N(t，0)，则kAN+kBN=+=+ ====， 所以当t=-1，即N的坐标为(-1，0)时，kAN+kBN为定值0，故D正确. 三、填空题 10.若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+ 2|BF|的最小值为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3+2 解析： 由题意知p=2，所以+==1， |AF|+2|BF|=(|AF|+2|BF|)=3++≥3+2， 当且仅当=时，等号成立. 11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，圆x2+y2-px=0.如图，过点F的直线l与抛物线和圆的交点依次为A，B，C，D，则4|AB|+|CD|的最小值为　　(请 用p表示). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2p 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 根据题意，圆x2+y2-px=0，可得+y2=， 所以该圆的圆心为F，半径为，所以|AB|=|AF|-，|CD|=|DF|-， 所以4|AB|+|CD|=4+|DF|-=4|AF|+|DF|-， 设点A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2=-p2，x1x2=， 所以4|AB|+|CD|=4|AF|+|DF|-=4+x2+-=4x1+x2， 因为4x1+x2≥2=2p，当且仅当4x1=x2， 即x1=，x2=p时，等号成立，所以4|AB|+|CD|的最小值为2p. 四、解答题 12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛 物线C的交点为G，H. (1)若|FG|+|FH|=，求抛物线C的标准方程及焦点F的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知F， 设直线l的方程为y=，G(x1，y1)，H(x2，y2)， 由抛物线的焦半径公式可知|FG|+|FH|=x1+x2+p=， ∴x1+x2=-p. 解： 12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛 物线C的交点为G，H. (1)若|FG|+|FH|=，求抛物线C的标准方程及焦点F的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 联立 消去y得8x2-17px+2p2=0. ∴x1+x2==-p，解得p=2， ∴抛物线C的标准方程为y2=4x，焦点F的坐标为(1，0). 解： 12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线C的交点为G，H. (2)如图，点P为x轴正半轴上的任意一点，过点P的直线交抛物线C于A， B两点，点P关于原点的对称点为M，连接MA，直线MA交抛物线于点 N，连接NP，直线NP交抛物线于点E，求证：MP为∠APE的平分线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A(x3，y3)，N(x4，y4)，P(m，0)(m>0)， 则M(-m，0)，设直线AM的方程为x=ty-m. 联立 消去x得y2-2pty+2pm=0， ∴y3+y4=2pt，y3y4=2pm， 证明： 12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线C的交点为G，H. (2)如图，点P为x轴正半轴上的任意一点，过点P的直线交抛物线C于A， B两点，点P关于原点的对称点为M，连接MA，直线MA交抛物线于点 N，连接NP，直线NP交抛物线于点E，求证：MP为∠APE的平分线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 而kAP+kNP=+=， 又x3y4+x4y3-m(y3+y4)=(ty3-m)y4+(ty4-m)y3-m(y3+y4) =2ty3y4-2m(y3+y4)=4ptm-4ptm=0， ∴kAP+kNP=0， ∴MP为∠APE的平分线. 证明： 13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，横坐标分别为xA，xB，求yA·yB，xA·xB的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由抛物线方程y2=4x， 可知焦点为F(1，0)，直线AB过点F， 所以yA·yB=-p2=-4， xA·xB==1. 解： 13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 直线MN过焦点F，则yM·yN=-4， ∴=4xM，=4xN， ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1， ∴=， 解： 13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即=， 整理得3(yM+yB)=yN+yA， ∴3=yN+yA， 即yN·yA=-12， 设直线AN的方程为y-yA=(x-xA)， 解： 13.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴y-yA=(x-xA)， 即y-yA=(x-xA)， ∴4x-(yN+yA)y+yN·yA=0， ∴4x-(yN+yA)y-12=0， 令y=0，得x=3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3，0). 解： THANKS 本课结束 $