培优课　圆锥曲线中的综合问题 课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的综合问题，涵盖求值、最值、定点、定值及探索性问题。通过回顾圆锥曲线定义与方程等基础，以典型例题（如椭圆离心率计算）为支架，衔接前后知识，引导学生从基础应用过渡到复杂综合问题。 其亮点在于结合高考真题，通过例题变式训练与规律方法总结，培养学生用数学思维（推理、运算）分析问题，用数学语言（方程、韦达定理）表达过程，如例3定点问题推导定值。助力学生提升综合解题能力，为教师提供系统教学思路与优质例题资源。

第三章　圆锥曲线的方程 培优课　圆锥曲线中的综合问题 探究点一　圆锥曲线中的求值及最值(范围)问题 角度1 圆锥曲线中的求值问题 【例1】 (2024新高考Ⅰ)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:=1(a>b>0)上两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程. 解 (1)将点A(0,3),P(3,)的坐标分别代入椭圆C:=1(a>b>0)的方程,得得a2=12,b2=9,所以a=2,c2=a2-b2=12-9=3, 所以c=,所以离心率e=. (2)由(1)知椭圆C的方程为=1. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,B(3,-),|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-3), 联立直线l与椭圆C的方程,得 消去y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0. 设点B(x0,y0),则 所以|PB|=|x0-3|=, 又点A到直线l的距离d=, 所以△ABP的面积S==9.解得k=或k=. 所以直线l的方程为y=x或y=x-3. 角度2 圆锥曲线中的最值问题 【例2】 (2021全国乙)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值. 解 (1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x. (2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2). 又F(1,0),则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2). 因为=9,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2. 又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9), 则点Q的轨迹方程为y2=x-. 易知直线OQ的斜率存在. 设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最大值、最小值. 由得k2x2=x-, 即k2x2-x+=0,(*) 当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-4k2·=0,解得k=±,所以直线OQ斜率的最大值为. 变式训练1　(2023全国甲)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值. 解 (1)联立整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0, 又p>0,∴p>. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p. |AB|=|y1-y2|==4, 解得p=-(舍)或p=2.∴p=2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0). 设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n, 由得y2-4my-4n=0, 则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n. =(x3-1)(x4-1)+y3y4 =(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4 =(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2 =-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0, ∴4m2=n2-6n+1≥0, 又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0, ∴n≠1,∴n≥3+2,或n≤3-2. ∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1) =(my3+n+1)(my4+n+1) = =n2-2n+1=(n-1)2, ∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值. ∴△MNF面积的最小值为12-8. 探究点二　圆锥曲线中的定点、定值问题 【例3】 已知椭圆E:=1(a>b>0)过点(0,),A,B分别是椭圆E的左顶点和下顶点,F是椭圆E的右焦点,∠AFB=. (1)求椭圆E的方程; (2)过点F的直线与椭圆E交于点P,Q,直线AP,AQ分别与直线x=4交于不同的两点M,N.设直线FM,FN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值. (1)解 由椭圆E:=1(a>b>0)过点(0,),得b=.由∠AFB=,得椭圆的半焦距c=1.则长半轴长a==2,所以椭圆E的方程为=1. (2)证明 显然直线PQ不垂直于y轴, 设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0, 显然Δ>0,y1+y2=,y1y2=.直线AP的方程为y=(x+2),令x=4,得点M的纵坐标yM=,同理点N的纵坐标yN=.因此k1k2==-1,为定值,所以k1k2为定值. 变式训练2 在平面直角坐标系中,动点P与定点F(5,0)之间的距离和它到定直线l:x=的距离之比是常数,记点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)设过点A(3,0)且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M,N(异于点A),求证:直线MN过定点. (1)解 设点P(x,y),因为点P与定点F(5,0)之间的距离和它到定直线l:x=的距离之比是常数,所以,化简得=1, 故曲线E的方程为=1. (2)证明 (方法1)设M(x1,y1),N(x2,y2), 当直线MN的斜率不存在时,直线AM,AN的方程为y=x-3,y=-x+3,分别与=1联立,有=1,可得x=-或x=3(点A的横坐标,舍去), 不妨令M(-,-),N(-),此时直线MN的方程为x=-,过点(-,0). 当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=kx+m(k≠±), 由消去y得(16-9k2)x2-18kmx-9m2-144=0,所以Δ=(-18km)2-4(16-9k2)(-9m2-144)>0,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=.因为AM⊥AN,所以kAM·kAN==-1,即y1y2=-(x1-3)(x2-3),即(kx1+m)(kx2+m)=-(x1-3)(x2-3),即k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-x1x2+3(x1+x2)-9,将x1+x2=,x1x2=代入化简得7m2-54km-225k2=0,所以m=-3k或m=k.当m=-3k时,直线MN方程为y=k(x-3)(不合题意,舍去); 当m=k时,直线MN方程为y=k(x+),MN恒过定点(-,0). 综上所述,直线MN过定点(-,0). (方法2)设不过点A的直线MN的方程为m(x-3)+ny=1,将双曲线E的方程变形为=1,即16(x-3)2+96(x-3)-9y2=0,将直线MN的方程代入, 得16(x-3)2+96(x-3)[m(x-3)+ny]-9y2=0, 整理,得(16+96m)(x-3)2+96n(x-3)y-9y2=0, 变形得-96n-(16+96m)=0. 由题意,直线AM,AN的斜率存在,且kAM·kAN=-1, 设M(x1,y1),N(x2,y2),k1=kAM=,k2=kAN=, 则k1,k2是方程9-96n-(16+96m)=0的两个实数根, 所以k1·k2==-1,解得m=-,则直线MN的方程为-(x-3)+ny=1, 整理得7x-96ny+75=0,令y=0,得x=-,所以直线MN恒过定点(-,0). 探究点三　圆锥曲线中的探索性问题 【例4】 已知椭圆E:=1的右焦点为F(c,0),且a>b>c>0.设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点,且||+||=4. (1)求椭圆E的方程. (2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B,且使得=4成立?若存在,试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)设椭圆E的左焦点为F',根据椭圆的对称性, 可知|CF|+|CF'|=||+||=4=2a,∴a=2. ∵原点O到直线DF的距离为, 不妨令直线DF的方程为=1, ∴,∴bc=. ∵a>b>c>0,a2=b2+c2,∴b=,c=1. ∴椭圆E的方程为=1. (2)存在.若存在直线l满足条件,由题意可设直线l的方程为y=k(x-2)+1, 与=1联立,得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0. ∵直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B, 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), ∴Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)>0,整理得32(6k+3)>0,解得k>-. x1+x2=,x1x2=. ∵=4,即4[(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)]=5,∴(x1-2)(x2-2)(4+4k2)=5, 即x1x2-2(x1+x2)+4=,∴-2×+4=,解得k=±.又k>-,∴k=.于是存在直线l满足条件,其方程为y=x. 变式训练3 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,点P(2,1)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程. (2)过点M(-1,0)的直线l交双曲线C的左支于A,B两点,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1+k2=λk1k2恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知得解得 所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)存在. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-1, 联立消去x得(m2-2)y2-2my-1=0, 解得1<m2<2. 假设存在实数λ,使得k1+k2=λk1k2恒成立,当k1=0或k2=0时,直线与双曲线C有一个交点为(-2,1),此时m=-1,不满足条件,故k1k2≠0, 因此λ=.易得y1+y2=, 则 = = ====4, 故存在实数λ=4满足条件. 本 课 结 束 $