3.3.1　抛物线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过篮球弧线、彩虹等生活实例导入，结合椭圆、双曲线离心率旧知，以问题链引导学生抽象抛物线定义，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活现象，用数学思维推导方程，通过卫星接收天线、抛物线形拱桥等实例培养应用意识。采用信息技术动态演示、待定系数法步骤总结等教学方法，帮助学生深化理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

抛物线及其标准方程 第三章　§3.3　3.3.1 学习目标 1.理解抛物线的定义以及焦点、准线方程的定义.(重点) 2.了解抛物线的标准方程的推导过程及四种不同标准方程形式的特点.(难点) 3.会利用抛物线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，比如篮球投篮时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃的运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生 一道与众不同的弧线，所以我们说 生活中充满了数学，数学就在我们 周围. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 抛物线定义的应用 抛物线在生活中的应用 随堂演练 抛物线的定义及其标准方程 04 课时对点练 01 抛物线的定义及其标准方程 问题 1 提示　椭圆；双曲线. 如果动点M与定点F的距离和它到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹是什么？当k>1时，点M的轨迹是什么？ 问题 2 提示　抛物线. 当动点M与定点F的距离和它到定直线l(不过点F)的距离相等时，点M的轨迹会是什么呢？ 问题 3 提示　在点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|=|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似. 利用信息技术作图，如图所示，F是定 点，l是不经过点F的定直线，H是直线 \l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段 FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的　　　，直线l叫做抛物线的　　　. 知识梳理 相等 焦点 准线 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 注意点 11 问题 4 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？ 12 提示　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy. 设|KF|=p(p>0)， 那么焦点F的坐标为， 准线l的方程为x=-. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M||MF|=d}. 因为|MF|=，d=， 所以=， 将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0). 13 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   ___________ ______ ______   _____________ ________ _____ y2=2px(p>0) x=- y2=-2px(p>0) x= 14 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   ____________ ______ ______   ____________ ________ _____ x2=2py(p>0) y=- x2=-2py(p>0) y= 15 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负. (4)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离 为x0+(焦半径公式). 注意点 16 问题 5 提示　由y=ax2(a≠0)，得x2=y， 当a>0时，表示开口向上的抛物线，2p=，p=，则焦点坐标为，准线方程为y=-； 当a<0时，表示开口向下的抛物线，-2p=，p=-，则焦点坐标为，准线方程为y=-. 你能说明二次函数y=ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 17 　(1)(课本例1)①已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； 例1 因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是， 准线方程是x=-. 解： 18 　②已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程. 例1 因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y. 解： 19 　(2)(课本例2)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已 知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m. 试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和 焦点坐标. 例1 解： 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上. 设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)， 20 　(2)(课本例2)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已 知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m. 试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和 焦点坐标. 例1 解： 由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程， 得2.42=2p×1，即p=2.88. 所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x， 焦点坐标是(1.44，0). 21 　(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. ①经过点(-3，-1)； 例1 因为点(-3，-1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)， 则由(-1)2=-2p×(-3)，解得p=； 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)， 则由(-3)2=-2p×(-1)，解得p=. 故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y. 解： 22 　(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. ②焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 例1 对于直线方程3x-4y-12=0， 令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4，0). 当焦点为(0，-3)时，=3，所以p=6， 此时抛物线的标准方程为x2=-12y； 当焦点为(4，0)时，=4，所以p=8， 此时抛物线的标准方程为y2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 解： 23 　(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ①y2=x； 例1 对于y2=x，焦点在x轴正半轴上， 焦点坐标为，准线方程为x=-. 解： 24 　(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ②x2=-y； 例1 对于x2=-y，焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为，准线方程为y=. 解： 25 　(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ③x2+12y=0. 例1 对于x2+12y=0，即x2=-12y， 焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3. 解： 26 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 反思感悟 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 27 　(1)焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是 A.x2=4y B.y2=8x C.x2=8y D.y2=4x 跟踪训练1 √ 解析： 由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，且p=2，则抛物线的标准方程为x2=4y. 28 (2)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p=　　，准线方程为 　　　　. 2 x=-1 解析： 因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以=1，解得p=2， 则准线方程为x=-=-1. 29 02 抛物线定义的应用 　(1)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x=-6的距离小2，则动点P的轨迹方程为　　　　　. 例2 y2=16x 31 解析： 由题意知，点P不可能在y轴左侧. 设直线l1：x=-4， 则在原点或y轴右侧的点P到直线l1的距离比它到直线l：x=-6的距离小2， 等价于动点P到点F(4，0)的距离等于它到直线l1：x=-4的距离， 根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以F(4，0)为焦点，直线x=-4为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则=4，p=8， 所以动点P的轨迹方程为y2=16x. 32 (2)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 例2 解： 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等 于它到焦点的距离. 由图可知，当点P，点(0，2)和抛物线的焦点F 三点共线且P在点(0，2)和F之间时，距离之和最小， 所以距离之和的最小值为d==. 33 若将本例中的点(0，2)改为点A(3，2)，求点P到A与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值. 延伸探究1 解： 将x=3代入y2=2x， 得y=±. 所以点A在抛物线内部. 设点P到准线(设为l)x=-的距离为d， 则|PA|+|PF|=|PA|+d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是，即所求距离之和的最小值是. 34 若将本例中的点(0，2)换为直线l1：3x-4y+=0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 延伸探究2 解： 如图，作PQ垂直准线l于点Q，作PA1⊥l1于点A1， |PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|. |A1F|的最小值为点F到直线l1：3x-4y+=0的距离 d==1， 即所求距离之和的最小值为1. 36 抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义求轨迹方程：通过题目条件分析出动点到定点的距离与到定直线的距离相等即可. (2)根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 反思感悟 38 　(1)已知抛物线y=x2的焦点为F，A(1，1)，设B为该抛物线上一点，则△ABF周长的最小值为　　　. 跟踪训练2 3 解析： 抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，其焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1. 由题意点B的纵坐标不为1，过B作直线BD垂直于准线，垂足为D(图略)， 设|AM|为点A到准线的距离(M为垂足)，由抛物线的定义得|AB|+|BF|+|AF|= |AB|+|BD|+|AF|≥|AM|+|AF|=2+1=3(当且仅当B，A，M三点共线时，取等号)，故△ABF周长的最小值为3. 39 (2)已知点F(0，1)，动点M在直线l：y=-1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为　　　　. x2=4y 40 解析： 方法一　(轨迹方程法) 设点P(x，y)，则点M(x，-1). 连接PF，如图，由题意知|PF|=|PM|， 即=|y+1|，整理得x2=4y，则曲线C的方程为x2=4y. 方法二　(几何定义法) 由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y=-1的距离， 则点P的轨迹为以点F(0，1)为焦点，直线y=-1为准线的抛物线， 设抛物线的方程为x2=2py(p>0)，则=1，p=2， 则曲线C的方程为x2=4y. 41 03 抛物线在生活中的应用 　　　某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) 例3 解： 如图，在车灯的一个轴截面上，以反光曲面的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为x轴建立平面直角坐标系Oxy. 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，灯泡应安装在其焦 点处. 在x轴上取一点C，使|OC|=69. 43 　　　某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) 例3 解： 过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是 灯口的直径，即|AB|=197，不妨设点A的坐标为. 将点A的坐标代入方程y2=2px，解得p≈70， 所以抛物线的焦点坐标约为(35，0)， 所以灯泡应该安装在抛物线的对称轴上，且距离顶点约35 mm处. 44 涉及拱桥、隧道等问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解. 反思感悟 45 　如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 A. B. C. D. 跟踪训练3 √ 46 解析： 如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立 平面直角坐标系Oxy. 设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，结合题意可知，该 抛物线经过点，则=2ph，解得p=， 故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=. 47 课堂小结 1.知识清单： (1)抛物线的定义及其标准方程. (2)抛物线定义的应用. (3)抛物线在生活中的应用. 2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归. 3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 48 04 随堂演练 1 2 3 4 1.已知抛物线y=2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为 A.(1，0) B. C. D.(0，1) √ 解析： 由抛物线y=2px2过点(1，4)，可得p=2， ∴抛物线的标准方程为x2=y， 则焦点坐标为. 2.已知抛物线C：y=2x2，则抛物线C的焦点到准线的距离是 A.1 B. C.2 D. √ 解析： 由抛物线C：y=2x2可得x2=y， 所以2p=，p=， 故抛物线C的焦点到准线的距离是p=. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. D. √ 1 2 3 4 解析： 易知直线l2：x=-1恰为抛物线y2=4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x=-1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1，0)为抛物线y2=4x的焦点. 由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离 d==2. 1 2 3 4 4.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽　　　　米. 2 1 2 3 4 解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p>0)，则点(2，-2)在抛物线上，代入可得p=1，所 以抛物线的方程为x2=-2y，水位下降1米后，y=-3，代入得 x2=6，所以此时水面宽2 米. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C BD C B C 8 题号 9 11 12 13 答案 C ABC 12 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)双曲线方程可化为-=1， 左顶点为(-3，0)， 由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3，∴p=6， ∴抛物线的标准方程为y2=-12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0)，A(m，-3)， 由抛物线定义得5=|AF|=. 又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9， ∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)设M(x，y)，圆M的半径为r. 由题意知，|MF|=r+1，M到直线l的距离为r. 方法一　易得点M到点F(2，0)的距离等于点M到定直线x=-2的距离， 根据抛物线的定义知，曲线C是以F(2，0)为焦点，x=-2为准线的抛物线. 故曲线C的方程为y2=8x. 方法二　因为|MF|==r+1，|x+1|=r，x>-1， 所以=x+2，化简得y2=8x， 故曲线C的方程为y2=8x. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)方法一　设P(x0，y0)，由|PA|=|PF|， 得+=2， 又=8x0，解得x0=2，故P(2，±4)， 所以kPA=±1，从而∠PAF=. 方法二　过点P向直线x=-2作垂线，垂足为Q(图略). 由抛物线定义知，|PQ|=|PF|，又|PA|=|PF|，所以|PA|=|PQ|， 易知点A为准线与x轴的交点，则∠PQA=，故在△APQ中， sin∠QAP==，从而∠QAP=，故∠PAF=. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立 如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2=my(m<0)，根据题意知点B(5， -4)在抛物线上， ∴25=-4m，∴m=-，∴x2=-y， 可设C(3，-4)，过点C作AB的垂线，交抛物线于点D(3，y0)， 则9=-y0，∴y0=-， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵=--(-4)=>，∴船只能顺利通过该桥. (2)由(1)知，拱桥超出高度为×100=106(cm)， 每增加一层， 则船体连货物高度整体上升3-1=2(cm)， ∵货物上方与桥壁需留下2 cm间隙， ∴需要增加的层数为=52. 即船只需增加52层货箱恰好能从桥下中央通过. 15. 13 14 15 1.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义. 2.抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于 A. B.3 C.6 D.8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意得，抛物线x2=6y，所以2p=6，p=3，所以抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于3. √ 3.若P为抛物线y2=4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为 A.7 B.10 C.8 D.9 √ 解析： 根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离，所以P到y轴的距离为9-1=8. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是 A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 抛物线y2=10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误； 设M(1，y0)是y2=10x上一点，F为焦点，则|MF|=1+=1+=≠6，所以C错误； 由于抛物线y2=10x的焦点为， 由题意知过原点的直线方程为y=x， 设过焦点的直线的斜率存在， 方程为y=k，直线过点(2，1)， 则k=-2，因为×(-2)=-1，所以D正确. 5.已知P为抛物线y=x2上的动点，A，B(1，2)，则|PA|+|PB|的最小值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意知，A为抛物线的焦点. 设点P到准线y=-的距离为d， 则|PA|+|PB|=d+|PB|， d+|PB|的最小值为B到准线的距离， 所以当PB垂直于准线时取最小值. 故最小值为2+=. 6.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点 A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系， 设抛物线方程为x2=2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)， 代入抛物线方程可得2×0.25p=1，解得p=2， 所以抛物线方程为x2=4y，故焦点坐标是F(0，1). 所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 7.已知椭圆+=1的一个焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，则p等于 A.2 B.3 C.4 D.6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点在x轴的正半轴上， 所以抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 又椭圆方程为+=1， 所以a2=6，b2=2，则c===2， 所以椭圆的右焦点的坐标为(2，0)，所以抛物线的焦点坐标也是(2，0)， 即=2，p=4. 8.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图，设准线l与x轴交于点E，则∠AFE=60°，E(-2，0)， 因为F(2，0)， 则=tan 60°， 即|AE|=4，则点P的纵坐标yP=4，代入y2=8x得xP=6， 所以点P的坐标为(6，4)， 故|PF|=|PA|=6+2=8. 9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2- =1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数 a=　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵抛物线的方程为y2=2px(p>0)， ∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为x=-. ∵抛物线上一点M(1，m)到其焦点的距离为5， ∴根据抛物线的定义可得1+=5，即p=8. ∴y2=16x，代入点M(1，m)得m2=16， ∴m=±4， 由对称性，不妨取M(1，4). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵双曲线x2-=1(a>0)的左顶点为A， ∴A(-1，0)，则直线AM的斜率为=2. ∵双曲线的一条渐近线与直线AM垂直， ∴-×2=-1，∴a=. 10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 双曲线方程可化为-=1， 左顶点为(-3，0)， 由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3，∴p=6， ∴抛物线的标准方程为y2=-12x. 解： 13 14 15 10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为 y2=2px(p≠0)，A(m，-3)， 由抛物线定义得5=|AF|=. 又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9， ∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x. 解： 13 14 15 11.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=，若以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，则抛物线C的方程为 A.x2=4y或x2=8y B.x2=2y或x2=4y C.x2=2y或x2=8y D.x2=4y或x2=16y 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设P(x，y)，F， 由条件可知y+=， 即y=-， 并且线段PF的中点纵坐标是=， 因为以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)， 所以x=-2，即P， 代入抛物线方程得4=2p， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 整理得p2-5p+4=0， 解得p=1或p=4， 即抛物线C的方程是x2=2y或x2=8y. 12.(多选)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，若∠PFx=60°，则 A.△PQF为等边三角形 B.|PQ|=4 C.S△PQF=4 D.点P的横坐标为4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 如图，因为PQ⊥l，即PQ∥x轴，所以∠QPF=∠PFx= 60°， 由抛物线的定义知|PQ|=|PF|，所以△PQF为等边三角 形，故A正确； 因为F(1，0)，在等边△PQF中，过F作FM⊥PQ，垂足 为M，所以xM=1，则|MQ|=2，所以|PQ|=4，故B正确； 在等边△PQF中，|MF|=2，则S△PQF=|PQ||MF|=×4×2=4，故C正确； 因为|PQ|=4，所以xP-(-1)=4，所以xP=3，故D错误. 13.设点A(0，8)，抛物线y2=2px(p>0)上的点P到y轴的距离为d，若|PA|+d的最小值为4，则p=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由抛物线y2=2px(p>0)，可得焦点F，准线方程为x=-， 点P到y轴的距离d=|PF|-， 所以|PA|+d=|PA|+|PF|-≥|FA|-=4，当且仅当点P为线段AF与抛物线的交 点时，等号成立， 又|FA|==， 所以-=4，解得p=12. 13 14 15 14.在平面直角坐标系中，已知圆F：(x-2)2+y2=1，动圆M与直线l：x=-1相切且与圆F外切. (1)记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设M(x，y)，圆M的半径为r. 由题意知，|MF|=r+1，M到直线l的距离为r. 方法一　易得点M到点F(2，0)的距离等于点M到定直线x=-2的距离， 根据抛物线的定义知，曲线C是以F(2，0)为焦点，x=-2为准线的抛物线. 故曲线C的方程为y2=8x. 解： 14.在平面直角坐标系中，已知圆F：(x-2)2+y2=1，动圆M与直线l：x=-1相切且与圆F外切. (1)记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二　因为|MF|==r+1，|x+1|=r，x>-1， 所以=x+2，化简得y2=8x， 故曲线C的方程为y2=8x. 解： 14.在平面直角坐标系中，已知圆F：(x-2)2+y2=1，动圆M与直线l：x=-1相切且与圆F外切. (2)已知A(-2，0)，曲线C上一点P满足|PA|=|PF|，求∠PAF的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一　设P(x0，y0)，由|PA|=|PF|， 得+=2， 又=8x0，解得x0=2，故P(2，±4)， 所以kPA=±1，从而∠PAF=. 解： 14.在平面直角坐标系中，已知圆F：(x-2)2+y2=1，动圆M与直线l：x=-1相切且与圆F外切. (2)已知A(-2，0)，曲线C上一点P满足|PA|=|PF|，求∠PAF的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二　过点P向直线x=-2作垂线，垂足为Q(图略). 由抛物线定义知，|PQ|=|PF|，又|PA|=|PF|，所以|PA|=|PQ|， 易知点A为准线与x轴的交点，则∠PQA=，故在△APQ中， sin∠QAP==， 从而∠QAP=，故∠PAF=. 解： 15.如图，一抛物线形拱桥的拱顶O距离水面4 m，水面宽度|AB|=10 m.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6 m，高 m，货箱最底面与水面持平. (1)船只能否顺利通过该桥？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 解： 以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2=my(m<0)，根据题意知点B(5，-4)在抛物线上， 15.如图，一抛物线形拱桥的拱顶O距离水面4 m，水面宽度|AB|=10 m.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6 m，高 m，货箱最底面与水面持平. (1)船只能否顺利通过该桥？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 解： ∴25=-4m，∴m=-，∴x2=-y， 可设C(3，-4)，过点C作AB的垂线，交抛物线于点D(3，y0)， 15.如图，一抛物线形拱桥的拱顶O距离水面4 m，水面宽度|AB|=10 m.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6 m，高 m，货箱最底面与水面持平. (1)船只能否顺利通过该桥？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 解： 则9=-y0，∴y0=-， ∵=--(-4)=>， ∴船只能顺利通过该桥. 15.如图，一抛物线形拱桥的拱顶O距离水面4 m，水面宽度|AB|=10 m.现有一船只运送一堆由 小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6 m，高 m， 货箱最底面与水面持平. (2)若每加一层货箱，船只吃水深度增加1 cm；每减一层货箱， 船只吃水深度减少1 cm.若每层小货箱高3 cm，且货物上方与桥 壁需留2 cm间隙才可通过，问船只需增加或减少几层货箱恰好 能从桥下中央通过？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 由(1)知，拱桥超出高度为×100=106(cm)， 每增加一层，则船体连货物高度整体上升3-1=2(cm)， ∵货物上方与桥壁需留下2 cm间隙， ∴需要增加的层数为=52. 即船只需增加52层货箱恰好能从桥下中央通过. THANKS 本课结束 $