3.1　习题课　弦长问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆弦长问题，通过对比圆的弦长求法导入，引导学生从代数法求交点坐标过渡到弦长公式推导，构建“问题—推导—应用”的学习支架，衔接直线与椭圆位置关系的前置知识。 其亮点在于以问题链驱动公式推导，如通过问题1-3逐步引导学生抽象出弦长公式，培养数学思维的推理能力。例题采用多解法（如例1三种方法），结合跟踪训练和分层练习，帮助学生用数学语言表达和解决问题，提升逻辑推理与应用意识，也为教师提供系统的教学资源和反馈工具。

弦长问题 第三章　§3.1　习题课 学习目标 1.能解直线与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长. 2.理解椭圆弦长公式的推导过程，会利用弦长公式求椭圆的弦长.(重点) 3.掌握有关弦长的最值问题.(难点) 我们知道，当直线被圆所截时，求弦长有两种方法：一是代数法求弦长，二是几何法求弦长，当直线被椭圆所截时，弦长如何求呢？ 导语 3 内容索引 01 02 03 与弦长有关的最值、范围问题 随堂演练 弦长问题 04 课时对点练 01 弦长问题 问题 1 提示　由方程 消去y，得x2-9=0， 所以A，B， 故|AB|==. 已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：+=1，当m=0时，l与椭圆C相交于A，B两点，如何求线段AB的长？ 问题 2 能否不解方程求问题1中的线段AB的长？ 提示　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1=x1，y2=x2， |AB|== ==， 由问题1可知，x1+x2=0，x1x2=-9， 故|AB|==. 问题 3 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？ 提示　当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(k≠0)，椭圆方程为+ =1(a>b>0)或+=1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则|AB|=， 所以|AB|= = =， 或|AB|= = =. 其中，x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2的值可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 当直线斜率不存在时，可代入直接求得. 弦长公式：当直线y=kx+b(k≠0)与椭圆+=1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|= = 或|AB|= . 知识梳理 (1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. (2)不确定直线斜率是否存在时，要分类讨论. 注意点 13 　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 例1 因为直线l过椭圆+=1的右焦点F1(1，0)， 又直线斜率为2，所以直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0. 方法一　解方程组 得交点A(0，-2)，B， 所以|AB|= 解： 14 　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 例1 = ==. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2-5x=0，因为Δ=(-5)2=25>0， 解： 15 　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 例1 则x1+x2=，x1x2=0. 所以|AB|= = = ==. 解： 16 　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 例1 方法三　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组 消去x得3y2+2y-8=0， 因为Δ=22-4×3×(-8)=100>0， 则y1+y2=-，y1y2=-， 所以|AB|= 解： 17 　已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 例1 = = = =. 解： 18 求解弦长时，如果交点坐标易求，可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；如果交点坐标不易求解，则可以直接利用弦长公式求解. 反思感悟 19 　已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|=2，离心率为. (1)求椭圆C的方程； 跟踪训练1 由题意得|F1F2|=2c=2，=， 解得c=1，a=2， 故b2=a2-c2=4-1=3， 故椭圆C的方程为+=1. 解： 20 　已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|=2，离心率为. (2)若椭圆C与直线y=x+m交于M，N两点，且|MN|=，求实数m的值. 跟踪训练1 联立y=x+m与+=1得， 7x2+8mx+4m2-12=0， Δ=64m2-28(4m2-12)>0， 解得-<m<， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 解： 21 　已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|=2，离心率为. (2)若椭圆C与直线y=x+m交于M，N两点，且|MN|=，求实数m的值. 跟踪训练1 则x1+x2=-，x1x2=， 故|MN|==· =·=·， 又|MN|=， 解： 22 　已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|=2，离心率为. (2)若椭圆C与直线y=x+m交于M，N两点，且|MN|=，求实数m的值. 跟踪训练1 所以·=， 解得m=±2，满足-<m<， 故实数m的值为±2. 解： 23 02 与弦长有关的最值、范围问题 　在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； 例2 解： 由题意得∴ ∴椭圆C的方程为+=1. 25 　在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且点P(2，1)在椭圆C上. (2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 例2 解： 设直线AB的方程为y=-x+m， 联立 得3x2-4mx+2m2-6=0， 由Δ=(-4m)2-4×3(2m2-6)>0，得-3<m<3， x1+x2=，x1x2=， 26 　在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率e=，且点P(2，1)在椭圆C上. (2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 例2 解： ∴|AB|=|x1-x2|=， 原点到直线AB的距离d=. ∴S△AOB=××=≤·=. 当且仅当m=±时，等号成立， ∴△AOB面积的最大值为. 27 求与弦长有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围. 反思感悟 28 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、 右顶点分别为A，B，过F2的动直线l1交椭圆于P，Q两点，其中|PF1|的最大值为2+，最小值为2-. (1)求椭圆C的标准方程； 跟踪训练2 解： 由题意，|PF1|max=a+c，|PF1|min=a-c， ∴解得 又b==1， ∴椭圆C的标准方程为+y2=1. 29 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、 右顶点分别为A，B，过F2的动直线l1交椭圆于P，Q两点，其中|PF1|的最大值为2+，最小值为2-. (2)过F1且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求|PQ|+|MN|的取值范围. 跟踪训练2 解： 由(1)可知，F1(-，0)，F2(，0)，当直线PQ与x轴既不垂直也不平行时， 不妨设直线PQ的方程为x=my+(m≠0)， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立椭圆和直线PQ的方程，可得(m2+4)y2+2my-1=0， 由Δ=(2m)2+4(m2+4)>0， 30 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、 右顶点分别为A，B，过F2的动直线l1交椭圆于P，Q两点，其中|PF1|的最大值为2+，最小值为2-. (2)过F1且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求|PQ|+|MN|的取值范围. 跟踪训练2 解： 则y1+y2=-， y1y2=-， ∴|PQ|=·=， 设直线MN的方程为x=ny-(n≠0)， M(x3，y3)，N(x4，y4)， 31 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、 右顶点分别为A，B，过F2的动直线l1交椭圆于P，Q两点，其中|PF1|的最大值为2+，最小值为2-. (2)过F1且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求|PQ|+|MN|的取值范围. 跟踪训练2 解： 联立椭圆和直线MN的方程， 可得(n2+4)y2-2ny-1=0， 由Δ=(2n)2+4(n2+4)>0， 则y3+y4=，y3y4=-， ∴|MN|=·=， 32 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、 右顶点分别为A，B，过F2的动直线l1交椭圆于P，Q两点，其中|PF1|的最大值为2+，最小值为2-. (2)过F1且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求|PQ|+|MN|的取值范围. 跟踪训练2 解： 又∵PQ⊥MN，∴n=-， ∴|MN|=， ∴|PQ|+|MN|= =5-， 33 　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、 右顶点分别为A，B，过F2的动直线l1交椭圆于P，Q两点，其中|PF1|的最大值为2+，最小值为2-. (2)过F1且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求|PQ|+|MN|的取值范围. 跟踪训练2 解： ∵4m2++17≥2+17=25， 当且仅当m2=1时，等号成立， ∴≤|PQ|+|MN|<5； 当直线PQ与x轴垂直或平行时，此时|PQ|+|MN|=1+4=5， 综上所述，|PQ|+|MN|的取值范围是. 34 课堂小结 1.知识清单： (1)弦长问题. (2)与弦长有关的最值、范围问题. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况. 35 03 随堂演练 1 2 3 4 1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是 A. B. C. D. √ 解析： 最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦. 将x=c代入+=1，得y=±， 故最短弦长是. 2.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 1 2 3 4 解析： 将直线y=x+1代入x2+4y2=8， 可得x2+4(x+1)2=8， 即5x2+8x-4=0， ∴x1=-2，x2=， ∴y1=-1，y2=， ∴直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长为=. 1 2 3 4 3.已知椭圆C：+=1，对于任意实数k，下列直线中被椭圆C截得的弦长与直线l：y=kx+2被椭圆C截得的弦长一定相等的是 A.kx-y+1=0 B.kx+y-1=0 C.kx+y-2=0 D.kx-y-3=0 √ 1 2 3 4 解析： 当k=0时，直线y=2和y=1被椭圆C截得的弦长不同，直线y=-3与椭圆相离，所以A，B，D错误； 直线kx+y-2=0和直线y=kx+2关于y轴对称，而椭圆也关于y轴对称，因此这两条直线被椭圆C截得的弦长相等，故C正确. 1 2 3 4 4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，|FA|=3，|FB|=1，则直线y=x+被椭圆C截得的弦长为　　 . 1 2 3 4 解析： 设椭圆的半焦距为c， 由|FA|=3，|FB|=1， 可得a+c=3，a-c=1， 解得a=2，c=1， 则b===， 则椭圆的方程为+=1， 联立直线方程y=x+和椭圆方程3x2+4y2=12， 可得7x2+4x-11=0， 1 2 3 4 解析： 设截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2， 则x1+x2=-，x1x2=-， 可得弦长为· =×=. 04 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C C A A BCD 题号 9 10 答案 BC x+y-2=0 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由题意可得 解得a2=4，b2=1. 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 联立 整理得(m2+4)y2+2my-3=0， Δ=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0， 则y1+y2=-，y1y2=-，故|y1-y2|== =， 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为△ABO的面积为，所以|OP||y1-y2|=×1×==， 设t=，t≥，则=，整理得(3t-1)(t-3)=0，解得t=3或t=(舍去)，即=3，m=±. 故直线l的方程为x=±y+1，即x±y-1=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由两圆的方程知，曲线C2，C3的圆心分别为F1(-1，0)，F2(1，0)， ∴b2+1=4，解得b2=3，∴C1的方程为+=1(y≤0). (2)由题意知|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2. ∵l1∥l2，∴由对称性可知，|MF1|+|PF2|为椭圆+=1截直线l2的弦长， 设l2：x=my+1，其与椭圆+=1交于点(x1，y1)和(x2，y2)， 由得(3m2+4)y2+6my-9=0， 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则Δ=144(m2+1)>0， ∴y1+y2=-，y1y2=-， ∴|MF1|+|PF2|=·==4-， 故当m=0时，|MF1|+|PF2|取得最小值4-1=3， ∴|MN|+|PQ|的最小值为3+2=5. 12. 一、单项选择题 1.一条过原点的直线与椭圆+=1(a>b>0)的一个交点为(，)，则它被椭圆截得的弦长等于 A.3 B.6 C.2 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设直线与椭圆相交的两点为A，B， 根据对称性可知A，B两点关于原点O对称， 即|OA|=|OB|， 不妨令|OA|==3， 所以|AB|=|OA|+|OB|=3+3=6. 2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 易求直线AB的方程为y=(x+). 由 消去y并整理，得7x2+12x+8=0. Δ=-4×7×8=64>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由弦长公式，得|AB|=·|x1-x2| =2×=. 3.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由题意知直线AB的方程为y=x-1， 联立椭圆方程+=1， 整理可得7x2-8x-8=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=-. 故|AB|=·=. 又点F1(-1，0)， 点F1到直线AB的距离d=， 故=×|AB|×d=. 4.已知直线y=2x与椭圆C：+=1(a>b>0)交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若||+||=2，|+|=2，则|AB|等于 A.2 B. C. D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由对称性可得||+||=2a=2， 所以a=， 又|+|=2c=2， 所以c=1，所以b2=1， 即椭圆C的方程为+y2=1， 将y=2x与+y2=1联立，消去y得x2=， 所以|AB|=×2×|x|=2×=. 5.已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB 面积的2倍，则m等于 A. B. C.- D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 联立 消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0， 因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0， 解得-2<m<2， 设点F1到直线AB的距离为d1，点F2到直线AB的距离为d2， 易知F1(-，0)，F2(，0)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 则d1=，d2=， ===2， 解得m=-或m=-3，又-2<m<2，故m=-. 6.已知F1，F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|=2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若=4，则|AB|等于 A.8 B.6 C.5 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： ∵=4，c=1， ∴×2c×|yA-yB|=4， ∴|yA-yB|=4. ∵直线过椭圆左焦点且斜率为， ∴|AB|=|yA-yB|=8. 7.已知直线y=2x+m与椭圆C：+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，|AB|等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由得21x2+20mx+5m2-5=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-，x1x2=，|AB|=· ==. 又O到直线AB的距离d=， 则△AOB的面积S=d·|AB|=≤=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 当且仅当m2=21-m2， 即m2=时， △AOB的面积取得最大值， 此时|AB|==. 二、多项选择题 8.已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，则下列说法正确的是 A.|PF1|+|PF2|=16 B.椭圆的离心率为 C.直线x=-2被椭圆截得的弦长为2 D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 在椭圆+=1中，a=4，b=2，则c==2. 对于A选项，|PF1|+|PF2|=2a=8，A错误； 对于B选项，椭圆的离心率为e==，B正确； 对于C选项，联立可得y=±， 所以直线x=-2被椭圆截得的弦长为2，C正确； 对于D选项，若PF1⊥PF2，则+==4c2=48， 又因为|PF1|+|PF2|=8，则|PF1|·|PF2|===8， 因此=|PF1|·|PF2|=×8=4，D正确. 9.已知过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(0，)，且垂直于长轴的弦长为1，则 A.椭圆的方程为+=1 B.椭圆的方程为x2+=1 C.过焦点F且长度为3的弦有2条 D.过焦点F且长度为的弦只有一条 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 因为过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(0，)，且垂直于长轴的弦长为1， 所以+=1，得x=±， 则 解得 因此椭圆的方程为x2+=1，因此A错误，B正确； 因为过焦点F且长度为3的弦所在直线l的斜率显然存在，且不为0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 所以设直线l的方程为y=kx+，直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|=3. 由 得(4+k2)x2+2kx-1=0， 则Δ=+4(4+k2)>0，x1+x2=，x1x2=， 则|AB|=|x1-x2|= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： ==， 由=3，得k2=8，即k=±2， 即直线l的方程为y=±2x+，因此C正确； 因为椭圆x2+=1的长轴长为4，而>4， 所以过焦点且长度为的弦不存在，因此D错误. 三、填空题 10.已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2，则l的方程为　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x+y-2=0 解析： 方法一　(点差法) 取线段AB的中点为E，因为|MA|=|NB|，所以|ME|=|NE|，点E也是线段MN的中点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E，又A，B两点在椭圆上，则+=1，+=1， 所以+=0， 所以=-， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 因为kOE=，kAB=， 则kOE·kAB=-， 设直线AB：y=kx+m，k<0，m>0， 令x=0，得y=m，令y=0，得x=-， 即M，N(0，m)， 所以E，kOE==-k，又kAB=k， 则(-k)×k=-， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 解得k=-或k=(舍去)，故M(m，0)， 又|MN|=2， 即|MN|==2，解得m=2或m=-2(舍去)， 所以直线AB：y=-x+2， 即x+y-2=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 方法二　(直线与椭圆相交的常规方法) 由题意知，线段AB的中点也是线段MN的中点，设该中点为E， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB：y=kx+m，k<0，m>0， 则M，N(0，m)，E， 因为|MN|=2，所以|OE|=， 联立 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0， 其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0，即m2<3+6k2，x1+x2=-， 所以E的横坐标xE=-， 又E，所以xE=-=-， 因为k<0，m>0，所以k=-， 又|OE|==，解得m=2， 则m2=4<3+6k2=6，即Δ>0成立，所以直线AB：y=-x+2，即x+y-2=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 四、解答题 11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可得 解得a2=4，b2=1. 故椭圆C的标准方程为+y2=1. 解： 11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为 坐标原点)，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 整理得(m2+4)y2+2my-3=0，Δ=(2m)2-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0， 解： 11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为 坐标原点)，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则y1+y2=-，y1y2=-，故|y1-y2|== =， 因为△ABO的面积为，所以|OP||y1-y2|=×1×==， 设t=，t≥，则=， 解： 11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2. (2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为 坐标原点)，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 整理得(3t-1)(t-3)=0，解得t=3或t=(舍去)，即=3，m=±. 故直线l的方程为x=±y+1，即x±y-1=0. 解： 12.如图所示，由半椭圆C1：+=1(0<b<2，y≤0)和两个半圆C2：(x+1)2 +y2=1(y≥0)，C3：(x-1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C，其中点A1，A2分别为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1，F2分别为 C1的左、右焦点.若F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心. (1)求C1的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由两圆的方程知，曲线C2，C3的圆心分别为F1(-1，0)，F2(1，0)， ∴b2+1=4，解得b2=3，∴C1的方程为+=1(y≤0). 解： 12.如图所示，由半椭圆C1：+=1(0<b<2，y≤0)和两个半圆C2：(x+1)2 +y2=1(y≥0)，C3：(x-1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C，其中点A1，A2分别为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1，F2分别为C1的左、右焦点.若F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心. (2)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2，分别与C1，C2和 C1，C3交于点M，N和P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2. ∵l1∥l2，∴由对称性可知，|MF1|+|PF2|为椭圆+=1截直线l2的弦长， 设l2：x=my+1，其与椭圆+=1交于点(x1，y1)和(x2，y2)， 解： 12.如图所示，由半椭圆C1：+=1(0<b<2，y≤0)和两个半圆C2：(x+1)2 +y2=1(y≥0)，C3：(x-1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C，其中点A1，A2分别为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1，F2分别为C1的左、右焦点.若F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心. (2)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2，分别与C1，C2和 C1，C3交于点M，N和P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由得(3m2+4)y2+6my-9=0，则Δ=144(m2+1)>0， ∴y1+y2=-，y1y2=-， 解： 12.如图所示，由半椭圆C1：+=1(0<b<2，y≤0)和两个半圆C2：(x+1)2 +y2=1(y≥0)，C3：(x-1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C，其中点A1，A2分别为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1，F2分别为C1的左、右焦点.若F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心. (2)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2，分别与C1，C2和 C1，C3交于点M，N和P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴|MF1|+|PF2|=·==4-， 故当m=0时，|MF1|+|PF2|取得最小值4-1=3， ∴|MN|+|PQ|的最小值为3+2=5. 解： THANKS 本课结束 $