2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第三章 3.1 3.1.1　椭圆及其标准方程

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及轨迹问题，从实际背景抽象椭圆模型，通过定义推导方程，结合定义条件辨析（如2a与|F1F2|关系）和例题构建知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于通过分层训练（小试身手、探究例题）和方法总结（待定系数法、定义法），培养数学抽象、数学运算和数学建模素养。例如用定义法求动圆轨迹，帮助学生形成逻辑思维，教师可通过结构化内容提升教学效率。

3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第三章　圆锥曲线的方程 [目标导航] 课标要求 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程 2.理解并掌握椭圆的定义 3.掌握椭圆的标准方程及其推导过程 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 , 叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点 两焦点间的距离 2.椭圆的标准方程 若|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a(a>c),则椭圆的标准方程、焦点坐标及a,b,c的关系见下表: 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 c2= (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a2-b2 (1)椭圆定义的理解 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则: ①当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2; ②当2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. (2)椭圆的标准方程特征 ①标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴. ②标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等. ③a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆. 小试身手 1.到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是　　　 . 线段 解析:|MF1|+|MF2|=|F1F2|=4, 所以点M的轨迹为线段F1F2. 5 解析:由椭圆的定义知a=5,点P到两个焦点的距离之和为2a=10.因为点P到一个焦点的距离为5,所以到另一个焦点的距离为10-5=5. (0,4) 课堂探究·素养培育 椭圆的标准方程 解:(1)由题意得m-2>10-m>0, 解得6<m<10. 又a2=m-2,b2=10-m, 则c2=a2-b2=2m-12=4, 解得m=8. (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程: ①两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); ②焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); D (1)根据椭圆标准方程的两种形式可知,焦点在哪一坐标轴上,哪一变量对应的分母大,即x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y 轴上. (2)利用待定系数法求椭圆的标准方程: ①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程. (3)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算. 椭圆的定义 变式训练2-1: 在本例中,若把∠F1PF2=60°,改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积. 变式训练2-2:本例中,若过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长. (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a; (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 与椭圆有关的轨迹问题 [例3] 已知动圆M过定点A(-3,0),并且内切于定圆B:(x-3)2+y2=64,求动圆圆心M的轨迹方程. 即时训练3-1:已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2: x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程. 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两点的距离,若符合,则动点的轨迹为椭圆,然后确定椭圆的方程.这就是用定义法求椭圆标准方程的方法,要注意检验. 当堂即练·素养达成 C 1.下列说法中,正确的是(　 　) A.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B.与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆 当堂即练 解析:A中没强调常数大于|F1F2|;B中没强调平面内;D中也可能表示圆.故选C. 2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是(　 　) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) D 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　 　) A 4.点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为(　 　) C A 1.椭圆的定义中不要忽略“大于|F1F2|”这一条件,通过对椭圆定义的学习培养数学抽象素养. 2.求椭圆的标准方程常用待定系数法.首先,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,可用另一种方法来解决问题.通过求椭圆的标准方程,培养数学运算核心素养. 3.求轨迹方程的常用方法: (1)直接法 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为(x,y)后,可根据几何条件转换成x,y间的关系式,从而得到轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为直接法. 课堂小结 (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法称为定义法. (3)相关点法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.通过求轨迹方程培养数学直观、数学运算核心素养. 感谢观看 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 2.若椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为　　　　　.  3.在椭圆的标准方程中,a=6,b=,则椭圆的标准方程是　　　　　　　　. +=1或+=1 解析:当焦点在x轴上时, 椭圆的标准方程为+=1; 当焦点在y轴上时, 椭圆的标准方程为+=1. 4.方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的范围是　　　　　　　.  解析:因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆, 所以0<m<4. [例1] (1)已知椭圆+=1的焦点在y轴上,若焦距为4,求m的值. 解:(2)①由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为2a=+=10,所以a=5. 又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为+=1. 解:②由于椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以⇒ 故所求椭圆的标准方程为+x2=1. 解:③a.当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意有解得故所求椭圆的标准方程为+=1. b.当焦点在y轴上时, 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).依题意有解得 因为a>b>0,所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为+=1. ③经过点A(,-2)和点B(-2,1). 即时训练1-1:(1)若曲线+=1表示椭圆,则k的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1) (1)解析:因为曲线+=1表示椭圆,所以解得-1<k<1,且k≠0.故选D. (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程: ①经过两点(2,-), (-1,); (2)解:①法一　若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得即a2=4,b2=8,则a2<b2,与题设中a>b>0矛盾,舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为+=1. 法二　设椭圆的一般方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).将两点(2,-),(-1,)代入, 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. ②过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点. 解:②因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25- 9=16. 设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.(ⅰ) 又点(,-)在椭圆上,所以+=1,即+=1.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1. [例2] 已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 解:由椭圆方程+=1,知a=2,c=3, 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,且|F1F2|=6,在△PF1F2中,∠PF1F2=90°. 所以|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2. 从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+36,则|PF1|=, 因此=·|F1F2|·|PF1|=.故所求△PF1F2的面积为. 解:因为|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 则△ABF2的周长为 |AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8, 所以△ABF2的周长为8 解:设动圆M的半径为r,则|MA|=r,|MB|=8-r, 所以|MA|+|MB|=8,且8>|AB|=6,所以动点M的轨迹是椭圆, 设其方程为+=1(a>b>0),且焦点分别是A(-3,0),B(3,0),且2a=8, 所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7. 所以所求动圆圆心M的轨迹方程是+=1. 解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径 r1=8,r2=2. 则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2. 故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10. 又|C1C2|=6,则动圆圆心M的轨迹是椭圆,设其方程为+=1(a>b>0), 且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16. 所以动圆圆心M的轨迹方程是+=1. C.方程+=1(a>c>0)表示焦点在x轴上的椭圆 D.方程+=1(a>0,b>0)表示焦点在y轴上的椭圆 解析:因为方程x2+ky2=2,即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以>2,故0<k<1.故选D. A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 解析:设点M(x,y),则P′(x,0), 因为M为PP′的中点,所以P(x,2y), 又P在圆x2+y2=16(y>0)上, 所以x2+4y2=16(y>0),即+=1(y>0), 即点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A. A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:由题意,2c=8,即c=4, 因为△PF1F2面积的最大值为16, 所以·2c·b=16,即4b=16,b=4, 所以a2=b2+c2=16+16=32, 则椭圆的标准方程为+=1. 故选C. 5.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作x轴的垂线与椭圆相交,一个交点为P,则△PF1F2的面积等于(　 　) A. B. C. D.4 解析:如图所示,由定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=4,c==, 又由PF1⊥F1F2,可设点P的坐标为(-,y0),代入+y2=1,得|y0|=,即|PF1|=, 所以=|PF1|·|F1F2|=. 故选A. $