3.2.1　双曲线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“双曲线及其标准方程”，系统梳理双曲线的定义、几何图形、标准方程及a,b,c关系，通过对比椭圆定义（距离和）引入双曲线（距离差的绝对值），以自主学习通道为支架，帮助学生构建圆锥曲线知识脉络。 其亮点在于“互动探究”环节结合“数学思维”，通过定义法、待定系数法解决轨迹与方程问题，如例2用正弦定理转化条件体现推理能力。“巩固提升”与“高效作业”分层设计，助力学生用数学语言精确表达，如练一练判断正误强化概念理解。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可获得系统教学资源以提高效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 差的绝对值 |F1F2| F1，F2 两焦点间 自主学习通道 自主学习通道 (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) a2＋b2 自主学习通道 自主学习通道 × √ √ × 自主学习通道 C 自主学习通道 D 自主学习通道 22或2 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 9 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 B 巩固提升通道 BCD 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AB 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 填一填 1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 eq \o(□,\s\up4(1)) 等于非零常数(小于 eq \o(□,\s\up4(2)) )的点的轨迹叫做双曲线． (2)焦点：两个定点 eq \o(□,\s\up4(3)) ． (3)焦距： eq \o(□,\s\up4(4)) 的距离，表示为|F1F2|. (4)双曲线就是下列点的集合： P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}． 【提醒】　设平面内点M到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数2a，即||MF1|－|MF2||＝2a. 当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是双曲线； 当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1 (a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点 F1 eq \o(□,\s\up4(5)) ，F2 eq \o(□,\s\up4(6)) F1 eq \o(□,\s\up4(7)) ，F2 eq \o(□,\s\up4(8)) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝ eq \o(□,\s\up4(9))________ 【提醒】　双曲线的标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定． 练一练 1．判断正误 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(　　) (3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(　　) (4)双曲线的标准方程中a，b，c之间的关系与椭圆的标准方程中a，b，c之间的关系相同．(　　) 2．已知双曲线的标准方程中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　) A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,24)＝1 B． eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,24)＝1 C． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,24)＝1或 eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,24)＝1 D． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,24)＝0或 eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,24)＝0 解析　b2＝c2－a2＝72－52＝24，根据题意，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，故选C. 3．双曲线 eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(± eq \r(2)，0) B．(0，±2) C．(0，± eq \r(2)) D．(±2，0) 解析　由双曲线的标准方程 eq \f(x2,3)－y2＝1知，a2＝3，b2＝1，故c2＝3＋1＝4，则c＝2. 因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±2，0). 4．已知双曲线 eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,9)＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为 ． 解析　设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.故点P到点F2的距离为22或2. 类型一　求双曲线的标准方程 【例1】　求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)； (2)经过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5)). 解　(1)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5，6)在双曲线上，所以 | eq \r((－5－0)2＋(6＋6)2)－ eq \r((－5－0)2＋(6－6)2)| ＝|13－5|＝8＝2a，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以双曲线的标准方程是 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,20)＝1. (2)设双曲线的方程为 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1(mn<0). 因为P，Q两点在双曲线上， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1，,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－16，,n＝9.)) 所以双曲线的标准方程为 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,16)＝1. 求双曲线的标准方程的两种常用方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足双曲线的定义． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1或 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数再代入方程即可，若焦点的位置不明确，应注意分类讨论．也可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1或 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1的形式，注意标明条件mn<0. [跟踪训练1]　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M(0，12)； (2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4 eq \r(2))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5)). 解　(1)因为双曲线经过点M(0，12)， 所以焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).将M(0，12)代入得 eq \f(122,a2)＝1，则a＝12. 又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25. 所以双曲线的标准方程为 eq \f(y2,144)－ eq \f(x2,25)＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9m＋32n＝1，,\f(81,16)m＋25n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,16)，,m＝－\f(1,9)，)) 所以双曲线的标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1. 类型二　与双曲线有关的轨迹问题 【例2】　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 eq \r(2)，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求点C的轨迹方程，并指出表示什么曲线． 解　如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A(－2 eq \r(2)，0)，B(2 eq \r(2)，0). 由正弦定理得sin A＝ eq \f(|CB|,2R)，sin B＝ eq \f(|CA|,2R)，sin C＝ eq \f(|AB|,2R)，其中R为△ABC的外接圆半径． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|. 从而有|CA|－|CB|＝ eq \f(1,2)|AB|＝2 eq \r(2)<|AB|. ∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括在x轴上的点． ∵a＝ eq \r(2)，c＝2 eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6. ∴点C的轨迹方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,6)＝1(x> eq \r(2)). 故点C的轨迹为双曲线右支且除去点( eq \r(2)，0). 用定义法求轨迹方程的一般步骤 (1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的形状及位置(定形，定位). (2)根据已知条件确定参数的值(定参). (3)写出标准方程并下结论(定论). [跟踪训练2]　如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解　由题可知，圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， ∴圆心为F1(－5，0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42， ∴圆心为F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10， ∴动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝ eq \f(3,2)，c＝5，∴b2＝ eq \f(91,4)， ∴动圆圆心M的轨迹方程为 eq \f(4,9)x2－ eq \f(4,91)y2＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))). 类型三　双曲线的定义及其应用 【例3】　如图，F1，F2是双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解　双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1， 故a＝3，b＝4，c＝ eq \r(a2＋b2)＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方， 得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝ eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝ eq \f(1,2)×32＝16. 双曲线定义的两种应用 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a). (2)双曲线中的焦点三角形问题 在双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的焦点三角形PF1F2中，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有 ①定义：|r1－r2|＝2a； ②余弦公式：4c2＝r eq \o\al(2,1)＋r eq \o\al(2,2)－2r1r2cos θ； ③面积公式：S△PF1F2＝ eq \f(1,2)r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． [跟踪训练3]　(1)已知P是双曲线 eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1上一点，O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，若N为PF1的中点，则|ON|＝ ． (2)已知F是双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是 ． eq \f(33,2) 解析　(1)连接PF2，易得ON是△PF1F2的中位线，所以|ON|＝ eq \f(1,2)|PF2|.由双曲线方程 eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的几何图形可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.故|ON|＝ eq \f(33,2). (2)由题意得双曲线的右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.因为点A在双曲线的两支之间，故|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，所以|PF|＋|PA|≥9，当且仅当点P为线段AF′与双曲线右支的交点时，等号成立．故|PF|＋|PA|的最小值为9. 1．知识清单 (1)双曲线的标准方程． (2)与双曲线有关的轨迹问题． (3)双曲线的定义及其应用． 2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、转化与化归． 3．常见误区：双曲线焦点位置的判断易出错． 1．已知双曲线 eq \f(x2,18)－ eq \f(y2,7)＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　) A．(－ eq \r(7)，0)，( eq \r(7)，0) B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－ eq \r(7))，(0， eq \r(7)) 解析　由双曲线的标准方程可知a2＝18，b2＝7，则c2＝a2＋b2＝18＋7＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0). 2．(多选)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的是(　 　) A．x2－ eq \f(y2,2)＝1 B． eq \f(x2,a)＋ eq \f(y2,2)＝1(a<0) C．y2－3x2＝1 D．x2cos α＋y2sin α＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<α<π)) 解析　对于A，焦点显然在x轴上，故A不符合题意；对于B，∵a<0，∴ eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,－a)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故B符合题意；对于C，y2－ eq \f(x2,\f(1,3))＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故C符合题意；对于D，∵ eq \f(π,2)<α<π， ∴cos α<0，sin α>0， ∴ eq \f(y2,\f(1,sin α))－ eq \f(x2,－\f(1,cos α))＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故D符合题意．故选BCD. 3．(2024·承德一中月考)若方程E： eq \f(x2,1－m)－ eq \f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为(　　) A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析　由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m<0，,2－m<0，))解得m>2，所以实数m的取值范围为(2，＋∞).故选D. 4．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为 ． 2 eq \r(3) 解析　因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2 eq \r(2))2＝8，又||PF1|－|PF2||＝2， 所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4， 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2 eq \r(3). 基础巩固 1．动点P到点M(1，0)的距离比到点N(3，0)的距离多2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析　由已知得|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D. 2．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是(　　) A． eq \f(y2,36)－ eq \f(x2,64)＝1 B． eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1 C． eq \f(x2,36)－ eq \f(y2,64)＝1 D． eq \f(x2,36)－ eq \f(y2,64)＝1或 eq \f(y2,36)－ eq \f(x2,64)＝1 解析　应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求． 3．双曲线2x2－y2＝8的焦距是(　　) A．2　　 B．2 eq \r(2)　　 C．4 eq \r(3)　　 D．4 eq \r(2) 解析　因为双曲线方程可化为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,8)＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2 eq \r(3)，所以2c＝4 eq \r(3). 4．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3，0)，则k＝(　　) A．1 B．－1 C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) 解析　依题意，知双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，方程可化为 eq \f(x2,\f(1,k))－ eq \f(y2,\f(8,k))＝1，则k>0，且a2＝ eq \f(1,k)，b2＝ eq \f(8,k)，所以 eq \f(1,k)＋ eq \f(8,k)＝9，解得k＝1，故选A. 5．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，交点分别为A，B，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为 (　　) A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m 解析　由题意及双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C. 6．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝ eq \f(3,4)，则双曲线C的标准方程为(　　) A．x2－ eq \f(y2,24)＝1 B． eq \f(x2,24)－y2＝1 C． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1 解析　∵F1(－5，0)，F2(5，0)， ∴c＝5，|F1F2|＝10. ∵PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝ eq \f(3,4)， ∴cos ∠PF1F2＝ eq \f(4,5)＝ eq \f(|PF1|,|F1F2|)， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. 由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a， ∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24. ∴双曲线C的标准方程为x2－ eq \f(y2,24)＝1.故选A. 7．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过顶点C，D.若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为 . x2－ eq \f(y2,3)＝1 解析　设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0). 由题意得B(2，0)，C(2，3)， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，)) ∴双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1. 8．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝ ． 解析　由题意知|F1F2|＝2 eq \r(2)，设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|m－n|＝2，,(2\r(2))2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，)) ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2mn＋n2＝4，,m2－mn＋n2＝8，)) ∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝2 eq \r(5)，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆 eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解　(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0).由题设知，a＝2 eq \r(5)，且点A(2，－5)在双曲线上，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2\r(5)，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝16.))故所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,20)－ eq \f(x2,16)＝1. (2)易知椭圆 eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,36)＝1的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，将交点的纵坐标代入椭圆方程可得，双曲线与椭圆的交点为( eq \r(15)，4)或(－ eq \r(15)，4). 设双曲线的标准方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f((\r(15))2,b2)＝1，,a2＋b2＝32，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.)) 故所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,5)＝1. 10．在①m>0，且C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2 eq \r(3)；②C的焦距为4 eq \r(3)；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知双曲线C： eq \f(x2,3m)－ eq \f(y2,m)＝1， ，求C的方程． 解　选①：因为m>0，所以a2＝3m，b2＝m，c2＝a2＋b2＝4m，则a＝ eq \r(3m)，c＝2 eq \r(m)，因为C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2 eq \r(3)， 所以 eq \r(3m)＋2 eq \r(m)＝( eq \r(3)＋2) eq \r(m)＝3＋2 eq \r(3)，解得m＝3，所以C的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1. 选②：若m>0，则a2＝3m，b2＝m，c2＝a2＋b2＝4m，c＝2 eq \r(m)，因为C的焦距为4 eq \r(3)，所以2c＝4 eq \r(m)＝4 eq \r(3)，得m＝3，所以C的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1； 若m<0，则a2＝－m，b2＝－3m，c2＝a2＋b2＝－4m，c＝2 eq \r(－m)，因为C的焦距为4 eq \r(3)，所以2c＝4 eq \r(－m)＝4 eq \r(3)，得m＝－3，所以C的方程为 eq \f(y2,3)－ eq \f(x2,9)＝1. 综上所述，C的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(y2,3)－ eq \f(x2,9)＝1. 选③：若m>0，则a2＝3m，a＝ eq \r(3m)，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，所以2a＝2 eq \r(3m)＝6，得m＝3，所以C的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1； 若m<0，则a2＝－m，a＝ eq \r(－m)，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6， 所以2a＝2 eq \r(－m)＝6，得m＝－9，所以C的方程为 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,27)＝1. 综上所述，C的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,27)＝1. 能力提升 11．(多选)过点(1，1)，且 eq \f(b,a)＝ eq \r(2)的双曲线的标准方程可以是(　 　) A． eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B． eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1 C．x2－ eq \f(y2,\f(1,2))＝1 D．y2－ eq \f(x2,\f(1,2))＝1 解析　由于 eq \f(b,a)＝ eq \r(2)，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,2a2)＝1，代入点(1，1)，得a2＝ eq \f(1,2)，此时双曲线的标准方程为 eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1.同理求得当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1.故选AB. 12．若点P在曲线C1： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析　在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点．记点F1(－5，0)，F2(5，0)，当|PQ|－|PR|取最大值时，点P在双曲线C1的左支上，所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10.故选B. 13．已知双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0，2)，则△PFM的周长的最小值为 ． 2＋4 eq \r(2) 解析　设F1为双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1的左焦点，连接PF1，MF1，如图． 依题意，c＝2，a＝1，|MF|＝2 eq \r(2)， 由双曲线定义，得|PF|－|PF1|＝2a，即|PF|＝|PF1|＋2a，所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a， 当M，P，F1三点共线且P在线段MF1上时，|PM|＋|PF1|最 小，又|MF1|＝2 eq \r(2)，故周长的最小值为2 eq \r(2)＋2＋2 eq \r(2)＝2＋4 eq \r(2). 多元数学 14．(逻辑推理)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6 eq \r(3)，试判断△MF1F2的形状. 解　(1)椭圆方程可化为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1，焦点在x轴上，且c＝ eq \r(9－4)＝ eq \r(5)，故设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得a2＝3，b2＝2， 所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,2)＝1. (2)不妨设点M在双曲线右支上， 则有|MF1|－|MF2|＝2 eq \r(3)， 又|MF1|＋|MF2|＝6 eq \r(3)， 故|MF1|＝4 eq \r(3)，|MF2|＝2 eq \r(3)， 又|F1F2|＝2 eq \r(5)， 因此在△MF1F2中，MF1边最长，易知cos ∠MF2F1＝ eq \f(|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2,2|MF2||F1F2|)＜0，所以∠MF2F1为钝角．故△MF1F2为钝角三角形． $