第27章 反比例函数 单元卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 这份反比例函数单元卷通过基础、中档、拔高三层设计，覆盖从概念到综合应用的知识路径，培养抽象能力、几何直观与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、图象点特征、k范围|单选题1-3考查概念辨析，解答题17直接应用定义求解析式| |中档|k几何意义、几何图形综合|填空题13结合三角形面积求k，解答题21矩形与反比例函数面积计算| |拔高|复杂图形、实际应用|单选题10正方形与双反比例函数综合，解答题24对称图形与反比例函数存在性问题|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第27章 反比例函数 单元卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 4．（本题3分）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 5．（本题3分）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 12．（本题3分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 13．（本题3分）如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 14．（本题3分）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 15．（本题3分）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 16．（本题3分）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 20．（本题8分）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，其一边长为4，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数（，k为常数，）的图象与交于点F，与矩形的对角线交于点D，与交于点E，连接，已知点D的坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 22．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)当时，的值是 ； (3)在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 23．（本题10分）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 24．（本题12分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D D C C B D D 1．D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 2．A 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于），逐一验证选项即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数图象上的点满足， A选项，，满足条件，该点在此函数图象上； B选项，，不满足条件； C选项，，不满足条件； D选项，，不满足条件． 3．C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 4．D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 5．D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 6．C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 7．C 【分析】由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 8．B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 9．D 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 10．D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 11． 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 12． 【分析】先利用已知点的坐标求出正比例函数解析式，再联立两个函数解析式求解，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把点代入，得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立两函数解析式，得， 解得或， ∴点的坐标为． 13． 【分析】过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，这一点与原点所连线段，原点与垂足的连线段，这三条线段围成的直角三角形面积是一个定值，即． 【详解】解： 的面积为， ． ． 图象在第二象限， ． ． 14． 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 15． 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 16．6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 17．(1) (2)是 【分析】（1）把点代入已知函数解析式，通过解方程即可求得k的值； （2）只要把点的横坐标代入函数解析式，判断的值是否为，若是，即该点在函数图象上． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 所以，反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，点在该函数图象上． 18．(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 19．(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 20．(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，再求出点，，的坐标，进而可得，的长，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将点代入函数得：， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：由题意得：点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 将代入函数得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴的面积为． 22．(1) (2)12 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可. 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由图象可知，时，的取值范围为. 23．(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 24．(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $