第三章 函数全章高频重点题型突破（十二大高频+五大重难+二大易错题型，专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦函数全章高频重点，分层覆盖基础概念、性质应用及综合提升，通过典型题例构建从概念到综合问题的递进训练体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|12题型|函数概念、定义域、单调性等基础核心题型|从概念生成到性质应用，构建函数基础认知体系| |核心提升|5题型|参数求解、分段函数、抽象函数等综合题型|深化性质综合应用，培养逻辑推理与数学抽象能力| |易错归纳|2易错点|抽象函数定义域、单调性忽略定义域等典型误区|针对认知薄弱点，强化数学严谨性与批判性思维|

第三章 函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 函数概念的辨析 题型7 判断函数的奇偶性 题型2 判断是否为同一个函数 题型8 利用奇偶性求值或求参 题型3 求函数的定义域 题型9 利用函数奇偶性求解析式 题型4 求函数的解析式 题型10 判断函数零点的个数 题型5 判断函数的单调性 题型11 判断函数零点所在的区间 题型6 求函数的最值值域 题型12 简单函数模型的实际应用 核心提升·重难题型归纳 题型1 根据函数的单调性求参数 题型2 利用单调性和奇偶性解不等式 题型3 根据函数零点求参数范围 题型4 分段函数问题 题型5 抽象函数问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 求抽象函数的定义域出错 易错归纳2 函数单调性问题忽略定义域 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 函数概念的辨析 1．（25-26高一上·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 2．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高三上·广东东莞·期末）定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 4．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 6．（25-26高一上·四川遂宁·期中）下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 1 ◆题型2 判断是否为同一个函数 1．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·江苏淮安·期末）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， ◆题型3 求函数的定义域 1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）若 ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 6．已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． ◆题型4 求函数的解析式 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 6．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． ◆题型5 判断函数的单调性 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数在区间上为______（填“严格增函数”或“严格减函数”） 6．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； ◆题型6 求函数的值域 1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．函数的值域（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． ◆题型7 判断函数的奇偶性 1．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． ◆题型8 利用奇偶性求值或求参 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高一上·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 6．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．（2026·江西·三模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 ◆题型9 利用函数奇偶性求解析式 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 8．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． ◆题型10 判断函数零点的个数 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 3．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 5．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 7．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数若关于的方程恰有3个实数解，则实数的取值范围为______. ◆题型11 判断函数零点所在的区间 1．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． ◆题型12 简单函数模型的实际应用 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 4．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 ◆题型1 根据函数的单调性求参数 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数a的可能的取值有（    ） A．0 B． C．1 D．2 7．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． ◆题型2 利用单调性和奇偶性解不等式 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 6．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． ◆题型3 根据函数零点求参数范围 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数，且函数恰有两个零点，则整数的取值的种数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 5．若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______. 6．若关于的方程有两解，则的取值范围是______． ◆题型4 分段函数问题 1．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 4．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． ◆题型5 抽象函数问题 1．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 2．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 4．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 5．若的定义域为，值域，则的定义域为________，值域为________． 6．（25-26高一上·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 7．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. ◆易错归纳1 求抽象函数的定义域出错 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． ◆易错归纳2 函数单调性问题忽略定义域 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 3．已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 4．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 5．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 1．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·湖北·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若为上的减函数，则实数的取值范围是 C．若的值域为，则实数的取值范围是 D．函数在上恰有一个零点的充要条件是 6．（多选）（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 7．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 8．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 9．（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 函数概念的辨析 题型7 判断函数的奇偶性 题型2 判断是否为同一个函数 题型8 利用奇偶性求值或求参 题型3 求函数的定义域 题型9 利用函数奇偶性求解析式 题型4 求函数的解析式 题型10 判断函数零点的个数 题型5 判断函数的单调性 题型11 判断函数零点所在的区间 题型6 求函数的最值值域 题型12 简单函数模型的实际应用 核心提升·重难题型归纳 题型1 根据函数的单调性求参数 题型2 利用单调性和奇偶性解不等式 题型3 根据函数零点求参数范围 题型4 分段函数问题 题型5 抽象函数问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 求抽象函数的定义域出错 易错归纳2 函数单调性问题忽略定义域 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 函数概念的辨析 1．（25-26高一上·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【答案】C 【分析】根据相关关系和函数关系的定义判断各项，即可得. 【详解】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本， 其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素， 所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系， 对于正方形的面积与周长，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的，，即具有函数关系. 故选：C 2．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 3．（25-26高三上·广东东莞·期末）定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数， 所以该函数的图象与轴的交点个数为1个. 故选：B 4．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 5．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 6．（25-26高一上·四川遂宁·期中）下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1 2 3 4 0 0 1 【答案】D 【分析】利用函数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，不等式的解集为，所以不是的函数，故A错误； 对于B，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故B错误； 对于C，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故C错误； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，故D正确. 故选：D. ◆题型2 判断是否为同一个函数 1．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，，定义域为，值域为， 即与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，，值域为，值域不同，故B错误； 对于C，，定义域为，定义域不同，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不同，故D错误． 故选：A． 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏淮安·期末）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【详解】的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误， 的定义域为，的定义域为， 根据对数运算法则得，故B正确， 对于函数，由，得， 所以的定义域为， 对于函数，由得或， 所以函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故C错误， 的定义域为，对于,由得， 所以的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故D错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 5．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ， 定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为， 定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确； 对于D：的定义域为， 的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误； 故选：C. ◆题型3 求函数的定义域 1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）若 ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故B正确. 2．（2026·湖北·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求得，求定义域得，再求集合并集即可. 【详解】，解得， 所以， 函数的定义域为， 所以， 所以 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 4．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域结合分式和根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【分析】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【详解】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 6．已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. ◆题型4 求函数的解析式 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则， 则有， 故. 故选：B. 3．（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 5．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 6．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． ◆题型5 判断函数的单调性 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 3．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数在区间上为______（填“严格增函数”或“严格减函数”） 【答案】严格增函数 【分析】利用定义法证明单调性即可. 【详解】任取，则, 因为，所以，所以, 故在区间上为严格增函数. 故答案为：严格增函数 6．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. ◆题型6 求函数的值域 1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】因为函数为单调递增函数， 所以时，， 则函数的值域为， 故选： 2．已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 4．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 5．函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数转化为反比例型函数求解即可. 【详解】由题意，， 设， 则原问题转化为求函数的值域， 因为函数在为减函数， 由，得， 即值域为， 故选：C. 6．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 7．（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，令，再利用二次函数及幂函数的性质，即可求解. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 令，当时，，所以， 则的值域是， 故选：B. ◆题型7 判断函数的奇偶性 1．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 2．（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质判断A、C，根据奇偶性的定义判断B，举反例说明D. 【详解】对于A：函数为奇函数，在，上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且， 所以为偶函数，故B错误； 对于C：为奇函数且在定义域上单调递增，故C正确； 对于D：定义域为，且， 所以为奇函数，但是， 所以在定义域上必不单调递增，故D错误. 故选：C ◆题型8 利用奇偶性求值或求参 1．（25-26高一下·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 4．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据的奇偶性，由建立关于的方程求解并验证即可. 【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 5．（25-26高一上·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】方法一：根据偶函数的定义求解即可；方法二：根据多项式的奇次项系数为0即可求解. 【详解】方法一：因为为偶函数，所以恒成立， 即恒成立， 则恒成立，所以恒成立， 故，解得． 方法二：，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即，即． 故选：D. 6．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 7．（2026·江西·三模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】由奇函数性质得，令，求得，最后结合奇函数性质求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 令，得．令，得． 所以． ◆题型9 利用函数奇偶性求解析式 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义得与的方程组，可解出，即得答案. 【详解】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 5．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则， 所以. 故选：C. 6．（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 7．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 8．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. ◆题型10 判断函数零点的个数 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【答案】D 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断即可. 【详解】二次函数在区间上连续，且满足， 所以由零点存在性定理可知，在区间上至少存在一个零点， 又因为在区间上是严格增函数， 所以在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内必有唯一一个实根. 3．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 4．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 5．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】代入抽象函数解析式，求出零点可得. 【详解】， 令，可得或. 故选：C 6．（25-26高一上·湖南长沙·期末）定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】D 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 7．（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数若关于的方程恰有3个实数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由已知可求得当时，有两个实数解，将问题转化为当时，有唯一实数解，进而求解. 【详解】当时，， 令，解得：，. 当时，， 方程恰好有一个实数解，即方程在上恰有一个实数解， 解得：，. 因为方程只有一个解，所以需满足：, 所以. ◆题型11 判断函数零点所在的区间 1．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与均在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 3．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用函数零点存在原理进行判断即可. 【详解】因为， 所以有，且该函数是一条连续不断的曲线， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：C 4．（25-26高一上·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理求解. 【详解】显然为增函数， ， ， ， ， ， ， 零点所在区间为. 故选：C. 5．（25-26高一上·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B ◆题型12 简单函数模型的实际应用 1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出分段函数解析式，从而可选出符合函数的图象. 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 4．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B ◆题型1 根据函数的单调性求参数 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可. 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 3．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 4．（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【详解】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 5．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 6．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数a的可能的取值有（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】CD 【详解】由 ， 当时，， 由反比例函数在上单调递增的充要条件是，即： ， 所以实数a的可能的取值有或. 7．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. ◆题型2 利用单调性和奇偶性解不等式 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 6．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． ◆题型3 根据函数零点求参数范围 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数，且函数恰有两个零点，则整数的取值的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，由可得或，则直线、与函数的图象的公共点的个数为，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由可得， 当时，可得，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，所以， 所以，可得或， 所以直线、与函数的图象的公共点的个数为，如下图所示： 由图可知，解得，故整数的可能取值有、、、，共个， 故选：D. 4．（25-26高一上·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】将问题转化为与有两个交点，结合分析即可求解. 【详解】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根， 则函数与有两个交点， 作出函数的图像如下： 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，无意义， 综上，实数的取值范围是，且； 故选：D 5．若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】或 【分析】原问题可转化为在区间有且仅有一个零点，所以在区间没有解或恰有一解，按的取值范围分类讨论即可. 【详解】因为函数在区间有且仅有一个零点，即在区间有且仅有一个零点， 所以在区间没有解或恰有一解， ①时，在区间无解，合题意； ②且时，需满足，即； ③时，在区间恰有一解，满足题意. 综上可知，实数的取值范围是或， 故答案为：或 6．若关于的方程有两解，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或.    ◆题型4 分段函数问题 1．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 4．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 5．（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 7．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 8．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D ◆题型5 抽象函数问题 1．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 2．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 3．（多选）（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 4．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【分析】令可得出，再令结合函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用赋值法可判断C选项；由题意得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 5．若的定义域为，值域，则的定义域为________，值域为________． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 6．（25-26高一上·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【分析】设，根据条件探究满足的条件即可. 【详解】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 7．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. ◆易错归纳1 求抽象函数的定义域出错 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 3．（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，结合抽象函数定义域列出不等式组求解. 【详解】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A 5．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. ◆易错归纳2 函数单调性问题忽略定义域 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 3．已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【详解】函数，则，解得或， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 4．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，根据复合函数单调性求解. 【详解】，解得， 函数的定义域为， 令， 当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减， 函数的单调递减区间为． 5．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性，结合函数的定义域即可求解. 【详解】由题意可得解得． 故答案为： 1．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 3．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 4．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得为偶函数，然后化简函数并画出图象，记方程的两根分别为，数形结合得，，进而利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由题意得，的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， ，作出函数的图象如下： 由题意关于的方程恰有6个不同的解， 令，由的图象得当时，方程有四个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程无解． 设方程的两根分别为，则，， 令，则，解得，即， 因此实数的取值范围是． 5．（多选）（25-26高一上·湖北·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若为上的减函数，则实数的取值范围是 C．若的值域为，则实数的取值范围是 D．函数在上恰有一个零点的充要条件是 【答案】AB 【分析】令，解不等式即可判断A；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断B；根据一次、二次函数的值域可得，解之即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，解得； 当时，，解得， 故不等式的解集为，故A正确， 若为上的减函数，需满足，解得，故B正确， 在上的值域为， 在上的值域： 当时，值域为；当时，值域为， 若的值域为，则当时，，解得，即； 当时，，解得，即， 综上，实数的取值范围为.故C错误. 当时，，解得； 当时，，解得， 当时，方程有两个解； 当时，则方程有一个解为； 当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解为， 综上，函数在上恰有一个零点的充要条件是或.故D错误. 故选：AB. 6．（多选）（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 7．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 8．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【分析】根据二次函数的零点与系数的关系得到和的表达式，再将进行变形，最后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 9．（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $