第1章 周末练2 章末检测试卷(一) 集合与常用逻辑用语（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 聚焦集合与简易逻辑，通过基础题型与综合应用结合，以题载法渗透逻辑推理与数学抽象，构建从概念到应用的知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合运算|8题（含全国甲卷真题）|列举法、数轴法、补集思想|从集合概念（子集、真子集）到运算（交并补），结合整数集深化应用| |命题与量词|5题|量词转换、命题否定、真假判断|从全称/特称命题定义到否定形式，通过不等式性质强化逻辑推理| |充要条件|4题|定义法、等价转化、判别式法|结合方程根分布、集合关系，构建条件判断的严密逻辑链条| |综合应用|3题|参数讨论、集合新定义|融合集合运算与逻辑推理，培养数学抽象与创新意识|

章末检测试卷(一) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设集合A={1，2，3}，B={x|-1<x<2，x∈Z}，则A∪B等于(　　) A.{1} B.{1，2} C.{0，1，2，3} D.{-1，0，1，2，3} 答案　C 解析　集合A={1，2，3}，B={x|-1<x<2，x∈Z}={0，1}，所以A∪B={0，1，2，3}. 2.设集合A={x∈N|0≤x<3}的真子集个数为(　　) A.3 B.8 C.7 D.4 答案　C 解析　A=所以集合A的真子集个数是23-1=7. 3.将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题，下列说法正确的是(　　) A.∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B.∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C.∃x>0，y>0，都有x2+y2≥2xy D.∃x>0，y>0，都有x2+y2≤2xy 答案　A 解析　将x2+y2≥2xy2改写成全称量词命题为∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy. 4.设集合A={1，a2，-2}，B={2，4}，则“A∩B={4}”是“a=2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　A∩B={4}，则4∈A，a2=4，a=2或a=-2，充分性不满足；当a=2时，A={1，4，-2}，因此有A∩B={4}，必要性满足，因此是必要不充分条件. 5.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x=3k，k∈Z} B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} D.∅ 答案　A 解析　方法一　M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}， 所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}， 所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数， 即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}. 方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 6.设m∈R，则“m<-1”是“关于x的方程x2+mx+1=0有两个不同的负实根”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　方程x2+mx+1=0的判别式Δ=m2-4，当m<-1时，Δ=m2-4的符号可正可负，即由m<-1推不出方程x2+mx+1=0有两个不同的负实根. 反之，若方程x2+mx+1=0有两个不同的负实根，则Δ=m2-4>0，且-m<0，因此m>2.由m>2不能推出m<-1. 所以“m<-1”是“关于x的方程x2+mx+1=0有两个不同的负实根”的既不充分也不必要条件. 7.已知集合A={x|x>5}，B={x|5a-1<x<a+11}，且A∪B=A，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，-6] B. C. D.[3，+∞) 答案　B 解析　因为A∪B=A，所以B⊆A. 若B=∅，则5a-1≥a+11，即a≥3； 若B≠∅，则解得≤a<3. 综上所述，实数a的取值范围是. 8.已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　若a=0，则不等式等价为2x+3>0， 对于∀x∈R不恒成立， 若a≠0，则解得a> ∴当命题p为真命题时，a的取值范围为 ∴若使命题p为假命题，则a的取值范围是. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中的假命题是(　　) A.∀x∈R，x2+|x|≥0 B.∀x∈N+，(x-1)2>0 C.∃x∈R，x2+x+1=0 D.∃x∈R，x+=-2 答案　BC 解析　对于A，因为x2≥0，|x|≥0，所以x2+|x|≥0成立，故A为真命题；对于B，当x=1时，(x-1)2=0，故B是假命题；对于C，显然对于二次方程x2+x+1=0，Δ=1-4<0，所以没有实根，故C是假命题；对于D，当x=-1时，x+=-2成立，故D为真命题. 10.对任意实数a，b，c，则下列命题是真命题的有(　　) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a+b，b∈Z是无理数”是“a是无理数”的充要条件 答案　CD 解析　A项，a=b⇒ac=bc，但当c=0时，ac=bca=b.故A错误； B项，当a=-1，b=-2时，a>b，但是a2<b2，故B错误； C项，a<3⇒a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确；D项正确. 11.已知全集U=R，集合A={x|x<3或x≥7}，B={x|x<a}.则下列说法正确的是(　　) A.若A∪B≠U，则a<7 B.若(∁UA)∩B≠∅，则a≥3 C.若A∪(∁UB)≠U，则a>3 D.若A∪(∁UB)≠∅，则a∈R 答案　ACD 解析　因为全集U=R，集合A={x|x<3或x≥7}，B={x|x<a}，所以∁UA={x|3≤x<7}，∁UB={x|x≥a}.因为A∪B≠U，所以a<7，故A正确；因为(∁UA)∩B≠∅，所以a>3，故B错误；因为A∪(∁UB)≠U，所以a>3，故C正确；因为A∪(∁UB)≠∅，所以a∈R，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设集合A={2，1-a，5}，B={0，2，5}，若A=B，则a=　　　　.  答案　1 解析　由题意得1-a=0，解得a=1. 13.已知集合A={1，2，3，5}，当x∈A时，若x-1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为　　　　.  答案　1 解析　当x=1时，x-1=0∉A，x+1=2∈A；当x=2时，x-1=1∈A，x+1=3∈A；当x=3时，x-1=2∈A，x+1=4∉A；当x=5时，x-1=4∉A，x+1=6∉A.综上可知，A中只有1个孤立元素5. 14.已知命题p：∃x≥3，2x-1<a.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，5] 解析　因为命题p为假命题，所以命题“∀x≥3，2x-1≥a”是真命题，又当x≥3时，2x-1≥5，所以a≤5. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，判断真假，并写出命题的否定. (1)不论m取何实数，关于x的方程x2+x-m=0必有实数根；(6分) (2)存在实数x，使得=2.(7分) 解　(1)∀m∈R，关于x的方程x2+x-m=0有实数根. 因为该方程的判别式Δ=12-4×1×(-m)=1+4m，当Δ<0，即m<-时，关于x的方程x2+x-m=0没有实数根，所以该命题是假命题.其否定是“∃m∈R，使得关于x的方程x2+x-m=0没有实数根”. (2)∃x∈R，使得=2. 因为|x+1|+1≥1，∴0<≤1. 所以不存在x∈R，使得=2，所以该命题是假命题.其否定为∀x∈R≠2. 16.(15分)已知全集U=R，集合A={x|0<x≤2}，B={x|x<-3或x>1}.求： (1)A∩B；(5分) (2)(∁UA)∩(∁UB)；(5分) (3)∁U(A∪B).(5分) 解　(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B={x|1<x≤2}. (2)∁UA={x|x≤0或x>2}，∁UB={x|-3≤x≤1}. 在数轴上画出集合∁UA和∁UB，可知(∁UA)∩(∁UB)={x|-3≤x≤0}. (3)由(1)中数轴可知，A∪B={x|x<-3或x>0}， 所以∁U(A∪B)={x|-3≤x≤0}. 17.(15分)设集合U=R，A={x|0≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤2m}. (1)若m=3，求A∩B，A∪(∁UB)；(7分) (2)若B⊆A，求实数m的取值集合.(8分) 解　(1)当m=3时，A=B=所以A∩B= 又∁UB= 所以A∪=. (2)因为B⊆A， 当B=∅时，m-2>2m，解得m<-2. 当B≠∅时，则⇒无解， 综上，实数m的取值集合为{m|m<-2}. 18.(17分)设集合A={x|-1≤x≤2}，集合B={x|2m<x<1}. (1)若B≠∅，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(8分) (2)若B∩(∁RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围.(9分) 解　(1)∵B≠∅，∴2m<1，解得m< 又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， ∴BA，则需满足2m≥-1，即m≥- 综上所述，m的取值范围是. (2)∵A={x|-1≤x≤2}， ∴∁RA={x|x<-1或x>2}. ①当B≠∅时，此时m< 若B∩(∁RA)中只有一个整数，则-3≤2m<-2， 解得-≤m<-1； ②当B=∅时，此时m≥不符合题意. 综上所述，m的取值范围是. 19.(17分)已知集合A={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}， (1)求A∩B；(5分) (2)若定义集合A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，求A⊕B中元素的个数.(12分) 解　(1)由题意可知，A={(-1，0)，(1，0)，(0，0)，(0，1)，(0，-1)}， B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={(x，y)|x=-2，-1，0，1，2；y=-2，-1，0，1，2}， 所以A∩B={(-1，0)，(1，0)，(0，0)，(0，1)，(0，-1)}. (2)由x1=-1，0，1，x2=-2，-1，0，1，2，可得x1+x2=-3，-2，-1，0，1，2，3，共7种结果， 由y1=-1，0，1，y2=-2，-1，0，1，2，可得y1+y2=-3，-2，-1，0，1，2，3，共7种结果， 当x1+x2=-3或3时， 此时 或 所以y1+y2可以为-2，-1，0，1，2中的一个值，共可以构成2×5=10(个)不同的元素； 当x1+x2=-2，-1，0，1，2时，对于x1+x2∈{-2，-1，0，1，2}中的任意一个值， (x1，y1)都可以选择(0，0)，(0，1)，(0，-1)，此时x2取与x1对应的值，y2可取-2，-1，0，1，2中的一个值， 所以y1+y2可以为-3，-2，-1，0，1，2，3中的一个值，共可以构成5×7=35(个)不同的元素， 所以A⊕B中一共有45个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $