第3章 周末练6 范围：§3.1（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 高中数学周测专项训练，范围§3.1，聚焦函数概念与性质，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（定义域、同一函数等）|定义域：不等式组求解法；同一函数：三要素（定义域、对应关系、值域）对比法|从函数定义出发，通过限制条件（定义域）和本质特征（对应关系）构建概念体系| |性质应用|5题（奇偶性、单调性等）|奇偶性：定义域对称性+定义验证；单调性：定义法证明（作差变形定号）|以奇偶性、单调性为桥梁，连接函数概念与实际应用，体现性质的工具性| |综合拓展|4题（分段函数、抽象函数等）|分段函数：分类讨论求最值；抽象函数：赋值法探究性质|整合概念与性质，通过复合、抽象问题提升综合应用能力，培养数学运算素养|

周末练6范围：§3.1 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使f(x)有意义，只需满足 即x≤且x≠0. 2.和函数f(x)=x2是同一个函数的是(　　) A.f(x)=(x+1)2 B.f(x)=x· C.f(x)= D.f(x)= 答案　D 解析　f(x)=x2的定义域为R，值域为[0，+∞)， 对于A，f(x)=(x+1)2与f(x)=x2的对应关系不同，故不是同一个函数； 对于B，f(x)=x·的值域为R，故不是同一个函数； 对于C，f(x)=的定义域为{x|x≠0}，故不是同一个函数； 对于D，f(x)=即f(x)=所以f(x)=x2，故与f(x)=x2是同一个函数. 3.若函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=的定义域为(　　) A.∪ B. C. D.(1，9] 答案　A 解析　因为函数y=f(x)的定义域为[0，4]， 所以解得-≤x<1或1<x≤ 故函数y=的定义域为∪. 4.若函数f(x)=(m+1)x2+(m-1)x+7是定义在(-2n，3n-3)上的偶函数，则f(n)+f(m)等于(　　) A.34 B.25 C.16 D.9 答案　A 解析　因为f(x)=(m+1)x2+(m-1)x+7是定义在(-2n，3n-3)上的偶函数， 所以-2n+3n-3=0，即n=3， 显然m≠-1，由y=f(x)的图象关于y轴对称，得到m-1=0，解得m=1， 所以f(x)=2x2+7，满足要求， 得到f(n)+f(m)=f(3)+f(1)=25+9=34. 5.函数f(x)=的最小值为(　　) A.-1 B.0 C. D.1 答案　A 解析　当x<0时，函数f(x)=|x+1|在x=-1处取得最小值，最小值为f(-1)=0； 当x≥0时，函数f(x)=x2-2x在x=1处取得最小值，最小值为f(1)=-1. 综上可得，f(x)的最小值为-1. 6.已知函数f(x)=则不等式f(2x-1)<f(x-1)的解集为(　　) A.(-∞，0) B. C. D.(-∞，0)∪ 答案　D 解析　由f(x)=可得x∈R且f(-x)===f(x)，则f(x)为偶函数， f(x)===-1+ 因为y=x2+1在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，y=x2+1>0恒成立， 则f(x)在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增， 因为f(2x-1)<f(x-1)， 所以|2x-1|>|x-1|，解得x<0或x>. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x-3，则下列说法中正确的有(　　) A.当x<0时，f(x)=x2+2x+3 B.f(0)=-3 C.当x<0时，f(x)=-x2-2x+3 D.f(-2)=3 答案　CD 解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0， 设x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)2-2×(-x)-3=x2+2x-3， 所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3，f(-2)=3. 8.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-1.6]=-2，定义函数：f(x)=x-[x]，则下列结论正确的是(　　) A.f(-0.8)=0.2 B.当1≤x<2时，f(x)=x-1 C.函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1) D.函数f(x)是增函数 答案　ABC 解析　对于A项，f(-0.8)=-0.8-[-0.8]=-0.8-(-1)=0.2，故A正确； 对于B项，当1≤x<2时，[x]=1，则f(x)=x-1，故B正确； 对于C项，函数f(x)的定义域为R，因为[x]表示不超过x的最大整数，所以0≤x-[x]<1，故C正确； 对于D项，f(-1)=-1-[-1]=-1-(-1)=0，f(-1.5)=-1.5-[-1.5]=-1.5-(-2)=0.5，f(1.5)=1.5-[1.5]=1.5-1=0.5，因为f(-1.5)>f(-1)，f(-1.5)=f(1.5)=0.5， 所以函数f(x)不是增函数，故D错误. 9.★★已知定义在R上的连续函数f(x)满足∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=0，当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f = D.f(x)的图象关于直线x=2对称 答案　BCD 解析　因为∀x，y∈R，f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)， 令x=y=0可得2f(0)=[f(0)]2，解得f(0)=0或f(0)=2， 又当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立，所以f(0)=2，故A错误； 令x=0，∀y∈R， 则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，即f(-y)=f(y)， 所以f(x)为偶函数，故B正确； 令x=y= 则f(1)+f =f f 因为当x∈[0，1)时，f(x)>0恒成立， 所以f >0， 又f(1)=0，所以f =1， 令x=y= 则f+f(0)= 所以f =故C正确； 令x=1可得f(1+y)+f(1-y)=f(1)f(y)=0， 令1-y=x，可得f(2-x)+f(x)=0， 又f(-x)=f(x)， 所以f(2-x)+f(-x)=0，即f(2+x)+f(x)=0， 所以f(2-x)=f(2+x)， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数y=f(x)是定义在[-2，2]上的增函数，则f(x2)>f(-x)的解集是　　　　　.  答案　[--1)∪(0] 解析　由函数y=f(x)在[-2，2]上单调递增，且f(x2)>f(-x)，得 解得-≤x<-1或0<x≤. 11.已知函数f(x)=设a=f(f(-1))，b=f(f(1))，则a与b的大小关系是 　　　.  答案　a>b 解析　因为f(x)= 所以a=f(f(-1))=f(0)=π，b=f(f(1))=f(3×12-4)=f(-1)=0，所以a>b. 12.若函数f(x)=(k>0)在[4，5]上的最大值为1，则k的值为　　　　.  答案　3 解析　因为f(x)=(k>0)的图象是由y=(k>0)的图象向右平移1个单位长度得到，即f(x)=(k>0)在(1，+∞)上单调递减，所以f(x)=(k>0)在[4，5]上单调递减，所以f(x)max=f(4)==1，解得k=3. 四、解答题(共27分) 13.(13分)如图，定义在[-1，+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成. (1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；(6分) (2)若f(x)=求实数x的值.(7分) 解　(1)根据图象可知f(4)=0，f(0)=1， 所以f(f(4))=f(0)=1， 当-1≤x≤0时，设y=kx+b， 因为过点(0，1)和点(-1，0)，代入可得b=1，k=1，即y=x+1. 当x>0时，设y=ax2+bx+c(a≠0)， 将点(0，0)，(2，-1)，(4，0)， 代入可得y=x2-x. 所以y= (2)因为f(x)= 所以或解得x=-或x=2+. 14.★★(14分)从以下三个条件中任意选择一个条件，“①设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=x2+x+(x≠0)；②已知2f(x)+f =6x+(x≠0)；③若f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x<0时，f(x)=-x-”，并解答问题.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)判断并用定义证明函数f(x)在(2，+∞)上的单调性；(4分) (3)当x∈(2，+∞)时，函数f(x)满足f(2m-1)≥f(3m-4)，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)若选①，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=(-x)2+(-x)+=x2-x- 所以 解得 所以f(x)=x+(x≠0). 若选②，因为2f(x)+f=6x+则2f +f(x)=+9x， 联立方程组解得f(x)=x+(x≠0). 若选③，因为f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数， 当x<0时，f(x)=-x- 当x>0时，-x<0，则f(-x)=-(-x)-=x+ 因为函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数， 当x>0时，f(x)=f(-x)=x+ 综上所述，f(x)= (2)由(1)可知，当x>2时，f(x)=x+则函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈(2，+∞)且x1>x2，即x1>x2>2，则x1-x2>0，x1x2>4， 则f(x1)-f(x2)=x1+-=(x1-x2)+=(x1-x2)- =>0， 所以f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(2，+∞)上单调递增. (3)由(2)可知，函数f(x)在(2，+∞)上单调递增， 当x∈(2，+∞)时，函数f(x)满足f(2m-1)≥f(3m-4)， 则解得2<m≤3， 所以实数m的取值范围是(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $