第2章 周末练3 范围：§2.1～2.2.3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质、一元二次方程及含参问题，通过分层题型系统提炼作差法、分类讨论等解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等式与不等式性质|单选1、7|等式性质条件分析、不等式传递性应用|从等式基本性质到不等式变形规则，形成代数变形基础逻辑| |一元二次方程与不等式|单选3、6、填空11|根的判别式应用、解集与方程根关系转化|以一元二次方程为核心，关联不等式解集、根与系数关系，构建方程与不等式统一体系| |含参问题|解答14|参数分类讨论（a>0/a=0/a<0）|结合参数取值范围，深化不等式求解的严谨性，培养分类推理能力| |比较与证明|单选5、解答13(2)|作差法比较大小、作差法证明不等式|通过代数变形将比较与证明转化为代数式符号判断，强化数学思维的逻辑性|

周末练3范围：§2.1~2.2.3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　) A.如果a=b，那么a+c=b-c B.如果a2=6a，那么a=6 C.如果a=b，那么= D.如果=那么a=b 答案　D 解析　选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2=6a，那么a=6或a=0，显然不成立； 选项C，当c=0时=无意义，不成立； 选项D，如果=则c≠0，故×c=×c，即a=b，成立. 2.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A.60+30n≥300 B.60+30n≤300 C.60+30(n-1)≤300 D.60+30(n-1)≥300 答案　D 解析　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万， ∴60+30(n-1)≥300. 3.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有实数根，则m的取值范围是(　　) A.m≤3且m≠2 B.m<3 C.m≤3 D.m<3且m≠2 答案　A 解析　∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1，即(m-2)x2+2x+1=0有实数根， ∴m-2≠0且Δ≥0，即22-4×(m-2)×1≥0， 解得m≤3， ∴m的取值范围是m≤3且m≠2. 4.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2-2x-3<0}，则A∩B等于(　　) A.{x|0<x<3} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x≥4} 答案　A 解析　因为A={x|x>0}，B={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}， 所以A∩B={x|0<x<3}. 5.设M=2a(a-1)+9，N=(a-2)(a-3)，则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 答案　A 解析　∵M=2a(a-1)+9，N=(a-2)(a-3)， ∴M-N=2a2-2a+9-(a2-5a+6) =2a2-2a+9-a2+5a-6 =a2+3a+3=+ ∵∀a∈R+>0恒成立， ∴M-N>0，∴M>N. 6.已知关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列说法错误的是(　　) A.a+5b+c=0 B.c>0 C.bx2-ax+c>0的解集是(-3，2) D.cx2+ax-b<0的解集为∅ 答案　C 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}， 所以a<0，且关于x的方程ax2-bx+c=0的解为x=-2或x=3，则=1=-6，即b=a，c=-6a， 所以a+5b+c=a+5a-6a=0，故A正确； c=-6a>0，故B正确；由bx2-ax+c>0，即ax2-ax-6a>0， 即x2-x-6<0，解得-2<x<3， 即bx2-ax+c>0的解集是(-2，3)，故C错误； 由cx2+ax-b<0，得-6ax2+ax-a<0， 即6x2-x+1<0，则Δ=-23<0，不等式无解，故D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab2>cb2 D.ac(a-c)<0 答案　ABD 解析　∵c<b<a且ac<0，∴c<0，a>0，由b>c两边同时乘以a得ab>ac，即A一定成立； ∵b-a<0，∴c(b-a)>0，即B一定成立； b2是非负的，虽然a>c，但当b2=0时， ab2=cb2，即C不一定成立； ∵a-c>0，∴ac(a-c)<0，即D一定成立. 8.若“>0”是“k<x<k+2”的必要不充分条件，则实数k可以是(　　) A.-8 B.-4 C.0 D.4 答案　AD 解析　由不等式>0，可得x<-4或x>1， 因为>0是k<x<k+2的必要不充分条件，可得k+2≤-4或k≥1， 解得k≤-6或k≥1，即实数k的取值范围为{k|k≤-6或k≥1}， 结合选项，可得A，D符合题意. 9.下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2-5x+1>0的解集是 B.不等式2x2-x-6≤0的解集是 C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅ D.若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是{x|q<x<1}，则p+q的值为- 答案　CD 解析　对于A，4x2-5x+1>0⇔(x-1)(4x-1)>0⇔x<或x>1，故A错误； 对于B，2x2-x-6≤0⇔(x-2)(2x+3)≤0⇔-≤x≤2，故B错误； 若不等式ax2+8ax+21<0恒成立， 当a=0时，21<0是不可能成立的， 所以只能而该不等式组无解，故C正确； 对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2+px-3=0的两个根， 从而解得 而当p=1，q=-时，一元二次不等式 2x2+x-3<0⇔(x-1)(2x+3)<0⇔-<x<1，满足题意， 所以p+q的值为-故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.方程组的解集是　　　　　　.  答案　{(-2，-2)，(1，1)} 解析　 ②+①，得x2+x=2，解得x1=-2，x2=1， 把x1=-2代入①，得y1=-2， 把x2=1代入①，得y2=1， 所以原方程组的解集为{(-2，-2)，(1，1)}. 11.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2，当-=0时，m的值为　　　　.  答案　 解析　由题意得Δ=(2m-1)2-4m2≥0，解得m≤. 由根与系数的关系，得x1+x2=-(2m-1)，x1x2=m2. 由-=0，得(x1+x2)(x1-x2)=0. 若x1+x2=0，即-(2m-1)=0，解得m=.因为>可知m=不符合题意，舍去； 若x1-x2=0，即x1=x2，由Δ=0，得m=. 故当-=0时，m=. 12.某景区旅馆共有200张床位，每床每晚的定价为10的整数倍，当每床每晚的定价为50元时，所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为　　　　元.  答案　120或130 解析　设每个床位的定价应为x元，则每晚有200-(x-50)=250-x(张)床位有人入住， 则旅馆每晚的收入为(250-x)x=-x2+250x(元)，令-x2+250x>15 400，即x2-250x+15 400<0，解得110<x<140，因为x是10的整数倍，所以每个床位的定价应为120或130元. 四、解答题(共27分) 13.(13分)(1)已知-1<x<1，0<y<2，求2x-3y的取值范围；(6分) (2)设x，y∈R，证明：(x2-y2)2≥xy(x-y)2.(7分) (1)解　因为-1<x<1，0<y<2， 所以-2<2x<2，-6<-3y<0， 两不等式相加，得-8<2x-3y<2， 所以2x-3y的取值范围为(-8，2). (2)证明　(x2-y2)2-xy(x-y)2 =(x+y)2(x-y)2-xy(x-y)2 =(x-y)2[(x+y)2-xy] =(x-y)2(x2+y2+xy) =(x-y)2 因为(x-y)2≥0≥0y2≥0， 所以-xy(x-y)2≥0， 所以≥xy(x-y)2. 14.★★(14分)设关于x的不等式(ax-a2-9)(x-b)≥0的解集为A，其中a，b∈R. (1)当b=6，且A=R时，求实数a的值；(5分) (2)当b=2a-8，且-1<a<9时，求集合A.(9分) 解　(1)当b=6时，关于x的不等式(ax-a2-9)(x-b)≥0的解集为R， 若a=0，则-9(x-6)≥0，解得x≤6，不符合题意，舍去； 若a≠0，则满足 解得a=3，此时不等式的解集为R. (2)①当a=0时，b=-8，原不等式可化为x≤-8，此时A=(-∞，-8]. ②当0<a<9时，原不等式可化为≥0， 因为-=+8-a =-=->0， 即a+>2a-8， 解不等式≥0可得x≤2a-8或x≥a+ 此时A=∪. ③当-1<a<0时，原不等式可化为≤0， 此时a+<2a-8，解原不等式可得a+≤x≤2a-8， 此时A=. 综上所述，当-1<a<0时，A=； 当a=0时，A=； 当0<a<9时，A=∪. 学科网（北京）股份有限公司 $