第3章 培优课 一元二次方程根的分布（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学一元二次方程根的分布这一核心知识点，系统梳理从初中判别式、韦达定理基础，到结合二次函数图象性质的充要条件，涵盖零分布（根与零的关系）和k分布（根与常数k的位置关系），并延伸至实际应用的学习支架。 资料以数形结合为核心方法，通过函数图象分析根的位置条件，培养学生几何直观与推理能力，如例2借助图象确定根在区间内的参数范围。设置跟踪训练与应用实例，强化模型意识，课中助力教师系统授课，课后通过练习与小结帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

培优课　一元二次方程根的分布 二次函数根的分布是二次函数中的重要内容.这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用.下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用. 知识梳理 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布问题： (1)两零点都大于m⇔ (2)两零点在(m，n)内⇔ (3)一零点比m大，另一零点比m小⇔f(m)<0； (4)一零点比m小，另一零点比n大(m≤n)⇔f(m)<0且f(n)<0； (5)一零点在(m，n)内，另一零点在(p，q)内(m<n≤p<q)⇔ 一、一元二次方程根的基本分布——零分布 例1　关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(　　) A.(-∞，-2)∪(-2，0) B.(-∞，2) C.(0，2)∪(2，+∞) D.(-2，+∞) 答案　A 解析　因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根，所以 解得m<0且m≠-2. 反思感悟　所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧，这种分布一般利用判别式和根与系数的关系即可解决. 跟踪训练1　(1)若一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为(　　) A.a>0 B.a>2 C.a>1 D.a>-1 答案　A 解析　因为一元二次方程ax2-2x-4=0有一个正根和一个负根，设两根为x1，x2， 则解得a>0. (2)关于x的方程x2-4mx+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是(　　) A.m≥ B.m≤-1 C.m≥或m≤-1 D.m≤-3 答案　B 解析　当方程没有根时，Δ=16m2-8m-24<0，即2m2-m-3<0，解得-1<m<； 当方程有根，且根x1，x2都不为负根时，可得解得m≥ 综上可知m>-1， 即关于x的方程x2-4mx+2m+6=0没有负根时，m>-1，所以x2-4mx+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是m≤-1. 二、一元二次方程根的非零分布——k分布 例2　已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围. 解　令f(x)=x2+2mx+2m+1，依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出图象如图所示. 由图象得即 所以-<m<-即m的取值范围是. 延伸探究　若将问题改为“若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0，1)内，求m的取值范围”. 解　令f(x)=x2+2mx+2m+1，根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图象如图所示. 由图象得 即 所以-<m<1- 即m的取值范围是. 反思感悟　设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根分别为x1，x2，且x1≤x2，一元二次方程根的k分布，即x1，x2相对于常数k的位置，解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线的开口方向；②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.此类问题有时也可转化为根与系数的关系来解决.另外，零分布可以理解成k分布的特殊形式. 跟踪训练2　已知一元二次方程x2-2ax+4=0. (1)若两根均大于1，求实数a的取值范围； (2)若两根一者大于1，一者小于1，求实数a的取值范围； (3)若两根一者在(0，1)内，一者在(6，8)内，求实数a的取值范围. 解　令f(x)=x2-2ax+4，画出函数图象(图略)， (1)由 得2≤a<. (2)由f(1)<0得a>. (3)由得<a<. 三、一元二次方程根的分布的应用 例3　已知二次函数y=-x2+mx-1，点A(0，3)，B(3，0)，试确定m的取值范围，使二次函数的图象恒与线段AB有两个交点. 解　设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)， ∵A(0，3)，B(3，0)， ∴解得 ∴线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)， ∵二次函数的图象和线段AB有两个不同的交点， ∴方程组有两个不同的实数根.消元得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)， 设f(x)=x2-(m+1)x+4， 则 解得3<m≤. 所以m的取值范围为. 反思感悟　一元二次方程根的分布的应用问题，大多是一元二次方程根的分布与其他知识相结合问题，或能转化为一元二次方程根的分布问题，需注意恰当的转化时机. 跟踪训练3　已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x>0}=∅，求实数p的取值范围. 解　∵A∩{x∈R|x>0}=∅， ∴若A=∅，则Δ=4-4p<0，解得p>1； 若A≠∅，则A={x|x≤0}， 即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0. 设两根分别为x1，x2，则 ∴0≤p≤1.综上所述，p≥0. ∴实数p的取值范围为[0，+∞). 1.知识清单： (1)一元二次方程根的分布. (2)一元二次方程根的分布的应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：对根的分布各种情况考虑不全. 1.关于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0，那么根的情况是(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 答案　B 解析　∵ax2-2x+1=0中，a<0， ∴Δ=(-2)2-4a=4-4a>0， ∴有两个不相等的实数根. 2.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m的值应为(　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.1 答案　B 解析　∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一根为0， ∴m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2. 3.已知关于x的方程x2+x+m=0在区间(1，2)内有实根，则实数m的取值范围是(　　) A.[-6，-2] B.(-6，-2) C.(-∞，-6]∪[-2，+∞) D.(-∞，-6)∪(-2，+∞) 答案　B 解析　方法一　由题意可得 解得-6<m<-2， 故实数m的取值范围是(-6，-2). 方法二　因为关于x的方程x2+x+m=0在区间内有实根， 所以m=-x2-x在区间内有实根， 令f(x)=-x2-x，x∈所以f(x)在上单调递减， 所以f(2)<f(x)<f(1)，即f(x)∈ 依题意y=m与y=f(x)在内有交点， 所以实数m的取值范围是. 4.关于x的方程3x2-5x+a=0的两根分别满足-2<x1<0，1<x2<3，则a的取值范围为　　　.  答案　(-12，0) 解析　设f(x)=3x2-5x+a，由题意，得⇒-12<a<0. 课时对点练 [分值：65分] 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是(　　) A.-<a<-1 B.-2<a<2 C.-1<a<1 D.1<a< 答案　C 解析　由题意可得Δ=a2-4(a2-1)>0， 且两根之积a2-1<0，解得-1<a<1. 2.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A.(-5，-4)∪(4，+∞) B.(-5，+∞) C.(-5，-4) D.(-4，-2)∪(4，+∞) 答案　C 解析　令f(x)=x2+(m-2)x+5-m， 由题可知 ⇒ ⇒则-5<m<-4， 即m的取值范围是(-5，-4). 3.已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　B 解析　设f(x)=x2-mx+1，由题意可得解得2≤m<. 因此实数m的取值范围是. 4.已知集合A={x|x2-2tx+t+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B≠∅，则实数t的取值范围是(　　) A.(-6，-2) B.[-6，-2] C.(-∞，-2] D.(-∞，-6] 答案　C 解析　由题意，得方程x2-2tx+t+6=0有负数根，若方程有根，则Δ=4t2-4(t+6)≥0，解得t∈(-∞，-2]∪[3，+∞). 当对称轴x=t≤0时，小根一定为负根，符合题意，故t∈(-∞，-2]成立； 当对称轴x=t>0时，令f(x)=x2-2tx+t+6，需f(0)<0，即t+6<0，得t<-6，此时t∈∅. 综上，实数t的取值范围是(-∞，-2]. 二、多项选择题(共6分) 5.关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　BC 解析　设f(x)=x2-2x-a，其图象为开口向上，对称轴是x=1的抛物线，如图所示. 若关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数，因为对称轴为x=1，则即解得3≤a<8，故选BC. 三、填空题(每小题5分，共15分) 6.已知关于x的方程x2-(m+1)x+4m2=0的两根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则实数m的取值范围为　　　　　　　　　.  答案　 解析　令f(x)=x2-x+4m2， 根据题意得⇒ 解得0<m<故m的取值范围为. 7.已知当m∈R时，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[-1，1] 解析　①当m=0时，由f(x)=x-a=0，得x=a，此时a∈R. ②当m≠0时，mx2+x-m-a=0恒有解， Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立， 即4m2+4am+1≥0恒成立， 则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0， 即-1≤a≤1. 所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，有a∈[-1，1]. 8.关于x的方程(1-a)x2+2ax+2-3a=0至少有一个正根，则a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　①当二次项的系数1-a=0，即a=1时，方程即2x-1=0，解得x=故满足条件. ②当二次项的系数1-a≠0，即a≠1时，由判别式Δ=4a2-4(1-a)(2-3a)=-4(a-2)(2a-1)≥0，解得≤a<1或1<a≤2. 若两个根一个为正数另一个是非负数，则两根之和>0且两根之积≥0，解得a<0或a>1. 综合可得，1<a≤2. 若方程有一正、一负根，则两根之积<0，解得<a<1. 综合可得<a<1. 综合①②可得，a的取值范围为. 四、解答题(共24分) 9.(11分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+2m-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围；(5分) (2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.(6分) 解　(1)依题意，得Δ=16-4(2m-1)>0， ∴m<.即m的取值范围为. (2)∵m为正整数，∴m=1或2. 当m=1时，方程x2-4x+1=0的根为x=2±不是整数； 当m=2时，方程x2-4x+3=0的根为x1=1，x2=3，都是整数.综上所述，m=2. 10.(13分)已知函数f(x)=ax2+3x+b(a<0)，设关于x的方程f(x)=0有两个实数根分别为α，β. (1)若|α-β|=1，求a，b的关系式；(4分) (2)若a，b均为负整数，且|α-β|=1，求f(x)的解析式；(4分) (3)在(2)的条件下，若方程f(x)=(2m+1)x+2m+4至少有一个正根，求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)由题意可得α，β是ax2+3x+b=0的两个根，∴ ∵|α-β|=1，∴|α-β|2=|α+β|2-4αβ=1， 即a2+4ab=9(a<0). (2)由(1)知a(a+4b)=9且a，b均为负整数，故或(舍) 或(舍)， 解得a=-1，b=-2，∴f(x)=-x2+3x-2. (3)方程f(x)=(2m+1)x+2m+4，即x2+(2m-2)x+2m+6=0，方程至少有一个正根，有三种可能： ①有两个正根， 此时可得即 ∴-3<m≤-1； ②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<-3； ③有一个正根，另一根为零， 此时可得即∴m=-3， 综合上述三种情况得实数m的取值范围为(-∞，-1]. 学科网（北京）股份有限公司 $