第3章 培优课 函数性质的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦函数性质综合问题，核心知识点包括函数图象的对称轴与对称中心条件，以及奇偶性、单调性的综合应用。通过从函数基本性质延伸到对称性探究，再结合例题构建知识支架，帮助学生形成完整知识脉络。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察对称现象，通过性质推导和例题解析培养逻辑推理的数学思维，借助表格梳理与规范步骤强化数学语言表达。课中辅助教师清晰授课，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

培优课　函数性质的综合问题 学习目标　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题. 一、函数图象的对称性 问题1　当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a-x)=f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 问题2　当函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x=a两边取对称的两个自变量的值，如a-x，a+x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a-x)=-f(a+x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a-x)=-f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称. 知识梳理 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图 象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a，0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c 例1　定义在R上的偶函数y=f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f(x)=-x+则f 等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 答案　B 解析　∵y=f(x)的图象关于点对称， ∴f +f =0， 即f(1+x)+f(-x)=0. 又∵y=f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)， ∴f(1+x)+f(x)=0，即f(1+x)=-f(x)， ∴f =-f =0. 反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法： (1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论. (2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题. 注意：使用性质要规范，切不可自创性质！ 跟踪训练1　若函数y=f(x)在(0，2)上单调递增，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<f <f B.f <f(1)<f C.f <f <f(1) D.f <f(1)<f 答案　B 解析　∵y=f(x+2)是偶函数， ∴f(2-x)=f(2+x). 故y=f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f =f f =f 又f(x)在(0，2)上单调递增<1< ∴f <f(1)<f 即f <f(1)<f . 二、函数性质的综合应用 例2　已知函数f(x)=是定义在(-1，1)上的奇函数，且f =. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义法证明f(x)在(-1，1)上是增函数； (3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0. (1)解　根据题意得即 解得∴f(x)=. (2)证明　任取x1，x2∈(-1，1)，且令x1<x2， f(x1)-f(x2)=-=. ∵-1<x1<x2<1， ∴x1-x2<0，1+>0，1+>0，1-x1x2>0， ∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(-1，1)上是增函数. (3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1，1)上是增函数， ∴解得0<t<. ∴该不等式的解集为. 反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域. 跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集. 解　(1)由题意可知 所以解得<x< 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0， 所以f(x-1)≤-f(3-2x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x-1)≤f(2x-3). 而f(x)在(-2，2)上是减函数， 所以解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 1.知识清单： (1)函数的对称轴和对称中心. (2)函数奇偶性的综合应用. 2.方法归纳：数形结合、等价转化. 3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0. 1.已知f(x)是R上的奇函数，则函数y=f(2x-1)+1的图象恒过点(　　) A.(0，0) B. C. D.(1，0) 答案　C 解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0， 令2x-1=0，解得x=此时y=1，故函数y=f(2x-1)+1的图象恒过点. 2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则(　　) A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定 答案　A 3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是(　　) A.(-∞，1) B.(-1，+∞) C.[-1，+∞) D.(-∞，1] 答案　C 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1). 又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以2x+1≥-1，解得x≥-1. 4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x+2)<5的解集是 　　　　.  答案　(-7，3) 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2)的值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　A 解析　由题意得f(2)=f(0+2)=f(0)=0. 2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4-x)，当-2≤x<0时，f(x)=则f 等于(　　) A.-2 B.- C. D.2 答案　D 解析　∵f(x)=f(4-x)， ∴f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f =f . 又∵函数f(x)为奇函数， ∴f =-f =-(-2)=2，即f =2. 3.已知函数f(x)在区间(0，2)上是减函数，函数y=f(x+2)是偶函数，那么f(x)(　　) A.在区间(2，4)上是减函数 B.在区间(2，4)上是增函数 C.在区间(-2，0)上是减函数 D.在区间(-2，0)上是增函数 答案　B 解析　∵函数y=f(x+2)是偶函数， ∴函数y=f(x+2)关于y轴对称， 即函数y=f(x)关于x=2对称， ∵函数f(x)在(0，2)上是减函数， ∴函数f(x)在(2，4)上是增函数. 4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-1，1] C.(-∞，2] D.[-2，2] 答案　B 解析　由题意，知f(x)在(0，+∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意的x∈[1，2]恒成立， 即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意的x∈[1，2]恒成立， ∴|a|≤|x|对任意的x∈[1，2]恒成立， ∴|a|≤1，即-1≤a≤1. 5.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 答案　C 解析　∵对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1， 令x1=x2=0，得f(0)=-1. 令x1=x，x2=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1. ∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]， ∴f(x)+1为奇函数. 6.已知函数f(x)在[-5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(-4)<f(-2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) 答案　D 解析　函数f(x)在上是偶函数，且在上是单调函数， 所以函数f(x)在[-5，0]上也是单调函数， 根据f(-4)<f(-2)，可得函数f(x)在[-5，0]上单调递增， 故函数f(x)在[0，5]上单调递减， 故f(-1)=f(1)>f(3)，f(2)>f(3)，f(-3)=f(3)>f(5)，f(0)>f(1). 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知奇函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[-3，4]，则在区间[-b，-a]上(　　) A.f(x)有最大值4 B.f(x)有最小值-4 C.f(x)有最大值3 D.f(x)有最小值-3 答案　BC 解析　f(x)是奇函数，因此f(x)在[-b，-a]上仍然是减函数，且值域为[-4，3]，所以f(x)在区间[-b，-a]上的最小值是-4，最大值是3. 8.已知定义域为R的函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，且f(x-1)为偶函数，则(　　) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)在(-1，+∞)上单调递增 C.f(1)=f(-2) D.f(-3)<f(0)<f 答案　AD 解析　因为f(x-1)为偶函数，且函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(x)的图象关于直线x=-1对称，且f(x)在(-1，+∞)上单调递减，所以A正确，B不正确； 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，所以f(1)=f(-3)≠f(-2)，所以C不正确； 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称， 所以f(0)=f(-2)，f =f 又f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(-3)<f(-2)<f 即f(-3)<f(0)<f 所以D正确. 9.函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数，下列函数有对称中心的是(　　) A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2 C.f(x)=x4+x2 D.f(x)= 答案　ABD 解析　∵函数y=f(x+a)-b为奇函数， ∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b， 即f(x+a)+f(-x+a)=2b. 对于A，由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b， ∴对于任意的a=b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意； 对于B，f(x)=x3-3x2=x2(x-3)， ∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4， ∴当a=1，b=-2时，P(1，-2)即为其对称中心，故B满足题意； 对于C，∵f(x)=x4+x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，+∞)单调递增，在(-∞，0)单调递减，其图象大致为. 故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f(x)=的图象如图所示.其图象关于(1，0)对称. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.若函数f(2x+1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为　　　　.  答案　(1，0) 解析　方法一　∵f(2x+1)是奇函数，∴f(2×0+1)=f(1)=0， ∴函数f(x)的对称中心为(1，0). 方法二　若f(2x+1)是奇函数，则f(-2x+1)=-f(2x+1)， 可得f(x)=-f(2-x)，即函数f(x)的对称中心为(1，0). 11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　.  答案　0 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)=0. 又f(x)关于直线x=对称， ∴f =f .① 在①式中，当x=时，f(0)=f(1)=0. 在①式中，以+x代替x，得 f =f 即f(-x)=f(1+x). ∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0， f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0， 同理，f(4)=f(5)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 12.奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式>0的解集为　　　　　　　　.  答案　或 解析　因为f(x)为奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，f(1)=0， 所以f=-f(1)=0，且在上也是增函数， 因为==>0， 即或 ∴或 即x>1或x<-1， 所以原不等式的解集为{x|x<-1或x>1}. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=1+. (1)求f(2)的值；(4分) (2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞，0)上的单调性；(5分) (3)求当x>0时，f(x)的解析式.(4分) 解　(1)根据题意，得函数f(x)为奇函数， 当x<0时，f(x)=1+ 则f(2)=-f(-2)=-=-. (2)根据题意得，当x<0时，f(x)=1+. 在(-∞，0)上任取x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=- =-=. 又由x1-1<0，x2-1<0，x2-x1>0， 可得f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 由定义可知，函数y=f(x)在区间(-∞，0)上单调递减. (3)当x>0时，-x<0，则f(-x)=1- 由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)， 所以f(x)=-1+=-. 14.(14分)定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)-f 且函数f(x)在(-∞，0)上单调递减. (1)求f(-1)，并证明函数y=f(x)是偶函数；(7分) (2)若f(2)=1，解不等式f -f ≤1.(7分) 解　(1)令y=≠0， 则f =f(x)-f 得f(1)=f(x)-f(x)=0， 再令x=1，y=-1，可得f(-1)=f(1)-f(-1)， 得2f(-1)=f(1)=0， 所以f(-1)=0， 令y=-1，可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x)， 又该函数的定义域关于原点对称， 所以f(x)是偶函数. (2)因为f(2)=1，又该函数为偶函数，所以f(-2)=1. 因为函数f(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.又f -f =f=f(2x-4)， 所以f(|2x-4|)≤f(2)，即 解得1≤x<2或2<x≤3. 所以不等式f -f ≤1的解集为[1，2)∪(2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $