第3章 §3.2 第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本高中数学讲义聚焦函数零点及其与方程、不等式解集的关系，从方程根与函数零点的关联切入，系统讲解零点概念及求法，再通过二次函数图象建立零点与方程根、不等式解集的联系，最后延伸至高次不等式的数轴穿根法，构建从基础到综合的学习支架。 资料以数学史导语激发兴趣，通过问题驱动和数形结合引导探究，如对比二次方程与函数图象引出零点概念，用数轴穿根法解析高次不等式，培养学生数学眼光和推理能力。课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 学习目标　1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法. 导语 同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50~100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧. 一、函数的零点及求法 问题1　观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 y=x2-2x+1 x2-2x+3=0 y=x2-2x+3 利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系. 提示　方程x2-2x-3=0的根为-1，3，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1，0)，(3，0)； x2-2x+1=0有两个相等的实数根，为1，函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1，0)； x2-2x+3=0没有实根，函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点. 知识梳理　函数零点的概念 一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)=0，则称α为函数y=f(x)的零点. α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图象与x轴的公共点. 注意点： (1)函数的零点是一个实数，不是点，即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标. (2)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点. (3)不能用公式求解的方程，可利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解；或将方程转化为两个函数，利用这两个函数图象来解决问题. 角度1　求函数的零点 例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)=；(2)f(x)=x2+2x+4. 解　(1)解方程=0，得x=-6，所以函数的零点为-6. (2)令x2+2x+4=0， 由于Δ=22-4×1×4=-12<0， 所以方程x2+2x+4=0无实数解， 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. 反思感悟　求函数y=f(x)的零点的方法 (1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解，求解时注意函数的定义域. (2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)=0. 角度2　函数的零点个数问题 例2　函数f(x)=的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　方法一　因为方程x+2=0(x<0)的根为x=-2，方程x2-1=0(x>0)的根为x=1，所以函数f(x)有2个零点：-2与1. 方法二　画出函数f(x)=的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点. 反思感悟　判断函数零点个数的方法 (1)直接求出函数的零点进行判断. (2)结合函数图象进行判断. 跟踪训练1　设函数f(x)=若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则函数g(x)=f(x)-x的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，得 ∴ ∴f(x)= 函数g(x)=f(x)-x的零点个数即方程f(x)=x的解的个数，当x≤0时，f(x)=x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2； 当x>0时，f(x)=2=x，解得x=2. ∴方程f(x)=x的解有3个， 即函数g(x)=f(x)-x的零点个数为3. 二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 问题2　画出二次函数y=x2-12x+20的图象，图象与x轴有两个交点，这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？ 提示　函数图象与x轴交点的横坐标恰好是方程的根. 问题3　你能根据二次函数y=x2-12x+20的图象，写出x2-12x+20<0的解集吗？ 提示　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}. 知识梳理 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有 实数根 不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R 不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)二次函数的零点，即对应方程的根，即对应不等式解集的端点. (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则解集为空集. 例3　(课本例2)利用函数求下列不等式的解集： (1)x2-x-6<0；　　(2)x2-x-6≥0. 解　设f(x)=x2-x-6， 令f(x)=0，得x2-x-6=0， 即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2. 因此，3和-2都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图象与x轴相交于(3，0)和(-2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知： (1)所求解集为(-2，3)； (2)所求解集为(-∞，-2]∪[3，+∞). 例3　利用函数解下列不等式： (1)2x2+5x-3<0； (2)-3x2+6x≤2. 解　(1)不等式的对应方程为2x2+5x-3=0， 因为Δ=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3，x2= 所以作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示. 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，其对应方程为3x2-6x+2=0， 因为Δ=12>0，方程3x2-6x+2=0的两根为 x1=x2= 所以作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. 反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤 (1)求函数的零点. (2)作出函数的图象. (3)求对应不等式的解集. 三、简单高次不等式的解法 例4　(课本例5)求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集. 解　函数零点为-2，-1，1. 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示. x (-∞，-2) (-2，-1) (-1，1) (1，+∞) f(x) - + - + 由此可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知f(x)>0的解集为(-2，-1)∪(1，+∞)； f(x)≤0的解集为(-∞，-2]∪[-1，1]. 例4　求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集. 解　函数零点依次为-1，3. 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每一个区间函数值的符号如表所示. x (1，3) (3，+∞) f(x) - + - + 由此可以画出函数图象的示意图如图所示. 由图可知f(x)>0的解集为∪(3，+∞)； f(x)≤0的解集为∪[1，3]. 反思感悟　数轴穿根法的步骤 (1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数). (2)将不等号换成等号解出所有根. (3)在数轴上从左到右依次标出各根. (4)画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后再穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透). (5)观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方穿根线以内的范围. 跟踪训练2　不等式≥0的解集为　　　　　.  答案　{x|x<-4或-1≤x≤2} 解析　原不等式等价于(x+1)(x-2)(x+4)≤0，且x≠-4. 分别令各个因式为0，可得根依次为-1，2，-4. 故不等式的解集为{x|x<-4或-1≤x≤2}. 1.知识清单： (1)函数的零点及求法. (2)二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系. (3)简单高次不等式的解法. 2.方法归纳：数形结合法、数轴穿根法. 3.常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论. 1.不等式6x2+x-2≤0的解集为(　　) A. B.∪ C. D.∅ 答案　A 解析　设f(x)=6x2+x-2，令6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0，从而x=或x=-.由函数f(x)的图象可知，所求不等式的解集为. 2.(多选)下列图象表示的函数中有零点的是(　　) 答案　BCD 解析　B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点. 3.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.  答案　-- 解析　由题意知，方程x2-ax-b=0的两根为2，3， ∴即 ∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-- 即为函数g(x)的零点. 4.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　　　　　.  答案　(-∞，-1)∪(2，3) 解析　函数f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)的零点为-1，2，3. 利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图(图略)， 由图可知不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为(-∞，-1)∪(2，3). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.函数y=4x-2的零点是(　　) A.2 B.(-2，0) C. D. 答案　D 解析　令4x-2=0，得x= ∴函数y=4x-2的零点为. 2.(多选)函数y=ax-2的零点的个数可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.无法判断 答案　AB 解析　令y=ax-2=0，若a=0，则函数没有零点；当a≠0时，得x=函数有一个零点.∴函数y=ax-2的零点有0个或者1个. 3.函数y=x2-bx+1有一个零点，则b的值为(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.3 答案　C 解析　因为函数有一个零点，令x2-bx+1=0， 所以Δ=b2-4=0，所以b=±2. 4.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为则ab的值为(　　) A.-6 B.-2 C.2 D.6 答案　C 解析　由题意知方程ax2+bx+1=0的实数根为-1和且a<0， 由根与系数的关系得 解得a=-2，b=-1，所以ab=2. 5.函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(|x|)的零点的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　D 解析　 ∵y=f(|x|)是偶函数， ∴其图象关于y轴对称. ∵当x>0时，函数有三个零点， ∴当x<0时，函数也有三个零点. 又∵0是y=f(|x|)的一个零点， 故共有7个零点. 6.(多选)下列各选项能使不等式<0成立的是(　　) A.{x|-1<x<2} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|3<x<4} 答案　AC 解析　原不等式可化为(x-2)2(x+1)(x-3)<0，所以-1<x<3且x≠2. 7.(5分)函数f(x)=的零点为　　　　　　　　.  答案　2，- 解析　当x≥0时，由2x-4=0，得x=2；当x<0时，由2x2-3x-2=0，得x=-或x=2(舍去).故函数f(x)的零点是2，-. 8.(5分)已知函数f(x)=ax2-5x+2a+3的一个零点为0，则a=　　　　，f(x)的另一个零点为　　　　.  答案　-　- 解析　由已知，得f(0)=2a+3=0， ∴a=-∴f(x)=-x2-5x， 由-x2-5x=-x=0， 得x=0或x=- ∴f(x)的另一个零点为-. 9.(10分)设函数f(x)=(m+1)x2-mx+m-1. (1)当m=1时，求不等式f(x)>0的解集；(4分) (2)若不等式f(x)+1>0的解集为求m的值.(6分) 解　(1)当m=1时，不等式f(x)>0为2x2-x>0， 可得x<0或x> 则不等式的解集为(-∞，0)∪. (2)不等式f(x)+1>0，即(m+1)x2-mx+m>0， 由题意知3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根， 因此解得m=-. 10.(10分)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(6分) (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.(4分) 解　(1)函数有两个零点，则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ>0， 即4+12(1-m)>0，解得m<； 函数有一个零点，即Δ=0，解得m=； 函数无零点，即Δ<0，解得m>. 故当m<时，函数有两个零点； 当m=时，函数有一个零点； 当m>时，函数无零点. (2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1-m=0， 解得m=1. 11.(多选)不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集不可能是(　　) A. B.R C. D.∅ 答案　BCD 解析　因为Δ=a2+4m>0， 所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点， 又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D. 12.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)=0的两根，则α，β，a，b的大小关系是(　　) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b 答案　A 解析　因为α，β为f(x)=0的两根， 所以α，β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x-a)(x-b)=0的两根， 令g(x)=(x-a)(x-b)， 所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A. 13.(多选)已知a为常数，则函数f(x)=|x2-9|-a-2的零点个数可能为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　BCD 解析　令g(x)=|x2-9|，h(x)=a+2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示. 由图可知，当a+2>9，即a>7时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点； 当a+2=9，即a=7时，两函数图象有3个交点，即函数f(x)有3个零点； 当0<a+2<9，即-2<a<7时，两函数图象有4个交点，即函数f(x)有4个零点； 当a+2=0，即a=-2时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点； 当a+2<0，即a<-2时，两函数图象没有交点，即函数f(x)没有零点. 综上可知，函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4. 14.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和为　　　　.  答案　3　0 解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0， 又∵f(x)在(0，+∞)上是增函数， ∴由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也是增函数， 又∵f(2)=-f(-2)=0， ∴f(x)在(0，+∞)上只有一个零点， 综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0. 15.(5分)已知函数f(x)=x|x-1|-a，x∈R有三个零点x1，x2，x3，则实数a的取值范围是　　　　；x1+x2+x3的取值范围是　　　　.  答案　　 解析　根据题意，设g(x)=x|x-1|=其图象如图所示. 若函数f(x)=x|x-1|-a有三个零点，则函数y=g(x)的图象与直线y=a有3个交点，必有0<a<即a的取值范围为； 设x1<x2<x3，则有x1<<x2<1<x3，且x1+x2=1，若x2-x=且x>1，解得x=则1<x3<又x1+x2+x3=1+x3，所以2<x1+x2+x3<1+ 即x1+x2+x3的取值范围是. 16.(11分)已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1有零点. (1)求m的取值范围；(5分) (2)若函数f(x)有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求m的值.(6分) 解　(1)当m+6=0，即m=-6时，函数f(x)=-14x-5，显然有零点； 当m+6≠0，即m≠-6时， 由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0， 得m≤- ∴m≤-且m≠-6. 综上，m≤- 故m的取值范围是. (2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点， 则x1+x2=-x1x2=. ∵+=-4，即=-4， ∴-=-4，解得m=-3. 又当m=-3时，m+6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m的值为-3. 学科网（北京）股份有限公司 $