第3章 3.1.1 第3课时 分段函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学分段函数核心知识点，从概念理解（定义域不同区间对应不同解析式）出发，系统梳理定义域与值域求法（各段并集）、求值问题（分类代入及嵌套求值），再到图象绘制及实际应用（如计费问题），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料以生活实例（电费、出租车计费等）引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过例题中分类讨论、数形结合（如分段函数图象绘制），发展数学思维，结合实际应用问题（如电力公司收费标准）提升数学语言表达能力。课中反思感悟与跟踪训练助学生掌握方法，课后课时对点练助力查漏补缺，强化知识应用。

第3课时　分段函数 学习目标　1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.2.能画出分段函数的图象，并会应用解决问题. 导语 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴. 一、分段函数的定义域、值域 问题　函数y=是两个函数吗？ 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 知识梳理 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 注意点： (1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系. (2)分段函数是一个函数，而不是几个函数. 例1　函数f(x)=的定义域为　　　　，值域为　　　　.  答案　(-1，1)　(-1，1) 解析　由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}={x|-1<x<1}，即(-1，1).又当0<x<1时，0<-x2+1<1，当-1<x<0时，-1<x2-1<0，当x=0时，f(x)=0，故值域为(-1，0)∪{0}∪(0，1)=(-1，1). 反思感悟　 (1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. ②分段函数的值域是各段函数值域的并集. (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决. 跟踪训练1　若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是　　　　.  答案　(-∞，1] 解析　由题意得 f(x)= 画函数f(x)的图象如图所示，得值域是(-∞，1]. 二、分段函数的求值问题 例2　已知函数f(x)=试求f(-5)，f(-)，f 的值. 解　由-5∈(-∞，-2]，-∈(-2，2)， -∈(-∞，-2]，知f(-5)=-5+1=-4， f(-)=(-)2+2×(-)=3-2. 因为f =-+1=- -2<-<2， 所以f =f =+2× =-3=-. 延伸探究1　本例条件不变，若f(a)=3，求实数a的值. 解　①当a≤-2时，f(a)=a+1，所以a+1=3， 所以a=2>-2不合题意，舍去. ②当-2<a<2时，a2+2a=3， 即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0， 所以a=1或a=-3. 因为1∈(-2，2)，-3∉(-2，2)， 所以a=1符合题意. ③当a≥2时，2a-1=3，所以a=2符合题意. 综合①②③，当f(a)=3时，a=1或a=2. 延伸探究2　本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围. 解　①当x≤-2时，x+1>3，解得x>2， 又x≤-2，所以x∈∅. ②当-2<x<2时，x2+2x>3， 解得x>1或x<-3， 所以1<x<2. ③当x≥2时，2x-1>3，解得x>2， 又x≥2，所以x>2， 综上，若f(x)>3， 则x的取值范围是(1，2)∪(2，+∞). 反思感悟　(1)求分段函数的函数值的方法 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间. ②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法 先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内. 三、分段函数的图象及应用 角度1　分段函数的图象的画法 例3　已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(4分) (2)画出函数f(x)的图象；(3分) (3)写出函数f(x)的值域.(3分) 解　(1)当0≤x≤2时，f(x)=1+=1； 当-2<x<0时，f(x)=1+=1-x. 所以f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知，f(x)在(-2，2]上的值域为[1，3). 反思感悟　分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 跟踪训练2　已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域. 解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令-x2+2=x，得x=-2或x=1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)= (2)由图②知，φ(x)的定义域为R， 因为φ(1)=1， 所以φ(x)的值域为(-∞，1]. 角度2　分段函数的图象的应用 例4　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解决下列问题. (1)求y关于x的函数关系式； (2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准； (3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？ 解　(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y=kx(k≠0). 将x=100，y=65代入， 得k=0.65，所以y=0.65x. 当x>100时，设函数解析式为y=ax+b(a≠0). 将x=100，y=65和x=130，y=89代入， 得解得 所以y=0.8x-15. 综上可得，y= (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元. (3)当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)； 当y=105时， 因为0.65×100=65<105，故x>100， 所以105=0.8x-15，解得x=150. 即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电. 反思感悟　由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型. (2)设函数式：设出函数的解析式. (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 跟踪训练3　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算). 如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 解　设票价为y元，里程为x公里. 由题意可知，自变量x的取值范围是(0，20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式. y= 函数图象如图所示. 1.知识清单： (1)分段函数的定义域和值域. (2)分段函数的求值问题. (3)分段函数的图象及应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集. (2)分段函数的端点是否包含. 1.若函数f(x)=则f(f(-1))等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　A 解析　f(-1)=(-1)+2=1，则f(f(-1))=f(1)=1. 2.设x∈R，定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是(　　) 答案　C 解析　由题意知f(x)==x， 则f(x)的图象为C中图象所示. 3.(多选)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=-|x|+1 D.f(x)=|x+1| 答案　AC 4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))=　　　　，f(x)的值域是　　　　　　.  答案　2　[0，4] 解析　∵f(2)=0，∴f(f(2))=f(0)=4，∴f(f(f(2)))=f(4)=2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4]. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.f(x)=则f(5)的值是(　　) A.24 B.21 C.18 D.16 答案　A 解析　f(5)=f(f(10))，f(10)=f(f(15))=f(18)=21，∴f(5)=f(21)=24. 2.函数f(x)=的值域是(　　) A.R B.[0，2]∪{3} C.[0，+∞) D.[0，3] 答案　B 解析　当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)=2；当x≥2时，f(x)=3.综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}. 3.函数f(x)=x2-2|x|的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由题意可得f(x)=分段画出图象可知，应选C. 4.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 (　　) A.[-4，2) B.[-4，2] C.(0，2] D.(-4，2] 答案　B 解析　当x≤0时，f(x)≥-1即x+1≥-1，解得x≥-4，故-4≤x≤0； 当x>0时，f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1， 解得0≤x≤2，故0<x≤2， 综上，x的取值范围是[-4，2]. 5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 答案　A 解析　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为 y= 由y=16m，可知x>10. 令2mx-10m=16m，解得x=13. 6.(多选)已知狄利克雷函数D(x)=则下列结论正确的是(　　) A.D(x)的值域为[0，1] B.D(x)的定义域为R C.D(x+1)=D(x) D.D(x)的图象经过点 答案　BC 解析　对于A，D(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，D(x)的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x+1也是有理数，当x是无理数时，x+1也是无理数，故D(x+1)=D(x)成立，故C正确；对于D，因为D=1， 所以D(x)的图象不经过点故D错误. 7.(5分)函数y=的定义域为　　　　　　　　　，值域为　　　　　　　　　.  答案　(-∞，0)∪(0，+∞)　{-2}∪(0，+∞) 解析　定义域为各段的并集，即(-∞，0)∪(0，+∞).因为当x>0时，y=x2>0；当x<0时，y=-2，所以函数的值域为{-2}∪(0，+∞). 8.(5分)已知a∈R，f(x)=若f(f(2))=5，则a=　　　　.  答案　4 解析　∵a∈R，f(x)=∴f(2)=(2)2-9=3，∴f(f(2))=f(3)=|3-2|+a=5，解得a=4. 9.(10分)记min{p，q}=若函数f(x)=min{x2+1，3x-1}， (1)用分段函数的形式写出函数f(x)的解析式；(4分) (2)求f(x)<2的解集.(6分) 解　(1)由x2+1≤3x-1得，1≤x≤2， 故f(x)= (2)当x∈时，由f(x)=x2+1<2，解得-1<x<1，此时无解； 当x∈∪时，由f(x)=3x-1<2，解得x<1，故解集是 综上，f(x)<2的解集是. 10.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？(5分) (2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式.(7分) 解　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个， 则x0=100+=650. (2)当0<x≤100时，P=52；当100<x<650时，P=52-0.02(x-100)=54-； 当x≥650时，P=41. ∴P=f(x)=x∈N. 11.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是(　　) A.{x|x≤1} B.{x|x≤2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0} 答案　A 解析　因为当x≥0时，f(x)=1， 所以xf(x)+x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1； 因为当x<0时，f(x)=0， 所以xf(x)+x≤2⇔x≤2，所以x<0. 综上，x≤1. 12.定义运算a*b=则函数f(x)=x2*|x|的图象是(　　) 答案　B 解析　由给出的运算定义知 f(x)=x2*|x|= 即f(x)= 所以B符合题意. 13.设f(x)=若f(a)=f(a+1)，则f 等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　当0<a<1时，a+1>1，则f(a)=f(a+1)=2(a+1-1)=2a， ∵f(a)=f(a+1)，∴=2a， 解得a=或a=0(舍去). ∴f =f(4)=2×(4-1)=6. 当a≥1时，a+1≥2， ∴f(a)=2(a-1)，f(a+1)=2(a+1-1)=2a， ∴2(a-1)=2a，无解.综上，f =6. 14.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)= 解析　当-3≤x<-1时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将点(-3，1)，(-1，-2)代入，可得f(x)=-x-； 当-1≤x<1时，同理，可设f(x)=cx+d(c≠0)，将点(-1，-2)，(1，1)代入，可得f(x)=x-； 当1≤x<2时，f(x)=1. 所以f(x)= 15.(5分)设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为　　　　　　　　.  答案　(-∞，2] 解析　当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2； 当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2； 当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2. 故y= 根据函数解析式作出函数图象，如图所示. 由图象可以看出，函数的值域为(-∞，2]. 16.(12分)已知函数f(x)=x-[x]，x∈[-1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.05]=-4，[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(5分) (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(4分) (3)根据图象写出函数f(x)的值域.(3分) 解　(1)当-1≤x<0时，[x]=-1， 所以f(x)=x+1； 当0≤x<1时，[x]=0，所以f(x)=x； 当1≤x<2时，[x]=1，所以f(x)=x-1. 综上，f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $