3.1.3 函数的奇偶性（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦函数的奇偶性核心知识点，系统梳理奇函数（f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）、偶函数（f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）的定义与图象特征，构建从定义辨析、判断方法到与单调性结合、求解析式等综合应用的学习支架，衔接函数性质的前后知识脉络。 该资料以数学抽象、逻辑推理、直观想象为核心素养导向，通过课标要点明确目标，分题型设计解题贴士与变式训练，拓展函数对称性从特殊到一般的理解。课中助力教师突破定义域判断等难点，课后通过基础与提升练习帮助学生查漏补缺，培养严谨的数学思维与问题解决能力。

第三章 函数 3.1.3 函数的奇偶性 课标要点 1.理解奇函数、偶函数的定义（数学抽象、逻辑推理）. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征（直观想象、数学运算）. 3.掌握判断函数奇偶性的方法（逻辑推理、数学运算）. 4.会根据函数奇偶性求函数值或解析式（数学抽象、逻辑推理）. 5.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的实际问题（逻辑推理、数学运算）. 学习重难点 重点： 奇偶函数定义域需关于原点对称； 奇函数f（－x）＝－f（x），图象关于原点对称；偶函数f（－x）＝f（x），图象关于 y 轴对称； 会判断函数奇偶性，利用奇偶性简化求值、作图。 难点： 略定义域先判断奇偶，易错判不对称定义域函数； 分段、含参函数奇偶推导变形易出错； 综合奇偶、单调性解决抽象函数问题。 知识点一　函数的奇偶性 1.偶函数 （1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有　－x∈D　，且　f（－x）＝f（x）　，则称y＝f（x）为偶函数； （2）图象特征：图象关于　y轴　对称. 2.奇函数 （1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有　－x∈D　，且　f（－x）＝－f（x）　，则称y＝f（x）为奇函数； （2）图象特征：图象关于　原点　对称. 　　提醒：函数奇偶性的再理解：①函数y＝f（x）是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性；②若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则根据定义可得f（－0）＝－f（0），即f（0）＝0，即奇函数的图象过原点；③若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f（x）＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集. 【想一想】 如果定义域内存在x0，满足f（－x0）＝f（x0），函数f（x）是偶函数吗？ 随学随练 1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（1）＋f（－1）＝（　　） A.－1　　　　　　　 B.0 C.1　 D.2 2.函数f（x）＝的图象关于（　　） A.y轴对称　 B.x轴对称 C.原点对称　 D.直线y＝x对称 3.已知函数y＝x2＋ax＋1是偶函数，则实数a的值为　0　. 知识点二　函数奇偶性的综合应用 1.函数的奇偶性与单调性的性质 （1）若f（x）为奇函数且在区间[a，b]（a＜b）上为增函数（减函数），则f（x）在[－b，－a]上为　增函数　（减函数），即在关于原点对称的区间上单调性　相同　； （2）若f（x）为偶函数且在区间[a，b]（a＜b）上为增函数（减函数），则f（x）在[－b，－a]上为　减函数　（增函数），即在关于原点对称的区间上单调性　相反　. 2.函数的对称轴与对称中心 （1）若函数f（x）的定义域为D，对∀x∈D都有f（a＋x）＝f（a－x）（a为常数），则x＝　a　是f（x）的对称轴； （2）若函数f（x）的定义域为D，对∀x∈D都有f（a＋x）＋f（a－x）＝2b（a，b为常数），则　（a，b）　是f（x）的对称中心. 【想一想】 奇函数f（x）＝，当x＞0时的解析式与x＜0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也相同，这种说法正确吗？ 随学随练 1.（2025·呼和浩特期末）下列函数中，是偶函数且在（0，＋∞）上单调递减的是（　　） A.y＝x－1　　　　 B.y＝｜x｜ C.y＝－　 D.y＝1－x2 2.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2＋x，则f（－1）＝（　　） A.－2　 B.1 C.－1　 D.－3 3.偶函数f（x）在（0，＋∞）上的最小值为2 025，则f（x）在（－∞，0）上的最小值为　2 025　. 拓展 函数图像的对称性 研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点（原点）及特殊直线（y轴）对称的问题.那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？ 1.函数图象关于直线x＝a对称的问题 当函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？ 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f（a－x）＝f（a＋x）. 反之，若对函数y＝f（x）的定义域内任一x都有f（a－x）＝f（a＋x），则可证明其图象关于直线x＝a对称. 同样地，可以得到如下结论： 函数y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 函数y＝f（x）的图象的对称轴 f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a f（x）＝f（a－x） 直线x＝ f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝ 2.函数图象关于点（a，0）对称的问题 当函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称时，又会满足怎样的条件呢？如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f（a－x）＝－f（a＋x）. 反之，若对函数y＝f（x）定义域内任一x都有f（a－x）＝－f（a＋x），则可证明其图象关于点（a，0）对称. 同样地，可以得到如下结论： 函数y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 函数y＝f（x）图象的对称中心 f（a＋x）＝－f（a－x） 点（a，0） f（x）＝－f（a－x） 点 f（a＋x）＝－f（b－x） 点 【迁移应用】 已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立.设a＝f（－），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b　　　　　　 B.b＞a＞c C.a＞c＞b　 D.c＞b＞a 题型一 判断函数的奇偶性 解题贴士：判断函数奇偶性的两种方法 （1）定义法 （2）图象法 提醒：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 【例1】下列函数是偶函数的是（　　） A.y＝x＋ B.y＝x2＋ C.f（x）＝＋ D.y＝＋ 【变式1】函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（　　） A.f（x）＋g（x）为奇函数 B.f（x）＋g（x）为偶函数 C.f（x）g（x）为奇函数 D.f（x）g（x）为偶函数 【变式2】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式3】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 奇、偶函数的图象问题 解题贴士：巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. 【例2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A．B．C．D． 【变式1】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可以用函数的性质如奇偶性、单调性来琢磨函数的图象，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【变式2】（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【变式3】设奇函数f（x）的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f（x）的图象如图所示，不等式f（x）＜0的解集用区间表示为　　. 题型三 利用函数奇偶性求参数值 解题贴士：利用奇偶性求参数的常见类型 （1）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数； （2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解. 【例3】若f（x）＝（x－2）2＋2ax为偶函数，则a＝（　D　） A.－4　 B.－2 C.0　 D.2 【变式1】若函数f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2是定义在[1－3a，a]上的偶函数，则a＋b＝　　. 【变式2】（24-25高二下·安徽·开学考试）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 题型四 利用函数的奇偶性求解析式 解题贴士：利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）转化到已知区间上，代入已知的解析式； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 【例4】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋x＋1，则f（x）在R上的解析式为　　. 题型五 利用函数的奇偶性比较大小 解题贴士：比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【例5】已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，则f（a2－2a＋4）与f（－2）的大小关系为（　　） A.f（a2－2a＋4）＞f（－2） B.f（a2－2a＋4）≥f（－2） C.f（a2－2a＋4）＜f（－2） D.f（a2－2a＋4）≤f（－2） 【变式1】（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知奇函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3】〔多选〕已知函数f（x）是偶函数，在区间[1，6]上单调，若f（－3）＜f（－5），则有（　　） A.f（1）＜f（3）　 B.f（－2）＞f（4） C.f（－4）＜f（3）　 D.f（－1）＜f（2） 题型六 利用函数的奇偶性解不等式 解题贴士：解不等式问题的求解策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响. 【例6】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖北荆州·期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知f（x）是偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递增，若f（2x2－x）≥f（1），则x的取值范围是（　　） A. B. C.（－∞，－1]∪ D.[－2，1] 【变式3 】定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（3）＝0，则满足（x＋1）f（x）≥0的x的取值范围是（　　） A.[－3，－1]∪[0，＋∞）　 B.[－3，＋∞） C.[－3，－1]∪[0，3]　 D.（－∞，－3]∪[0，3] 基础通关 1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A.f（x）＝x2　　　　 B.f（x）＝ C.f（x）＝｜x｜　 D.f（x）＝2x 2．函数f（x）＝是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 3.（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 7．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9.〔多选〕若f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h（x）＝f（x）g（x）的部分图象可能为（　　） 10.〔多选〕已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（－x）＝f（x）；②∀m，n∈（0，＋∞），当m≠n时，都有＜0；③f（－1）＝0.则下列选项成立的是（　　） A.f（3）＞f（－4） B.若f（m－1）＜f（2），则m∈（3，＋∞） C.若＜0，x∈（－1，0）∪（1，＋∞） D.∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≤M 11.若定义在（－1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m，n的值分别为　0，0　. 12.（2025·潍坊期末）已知函数f（x）＝x2 025＋ax3＋bx＋1，且f（－2 024）＝10，则f（2 024）＝　－8　. 13.定义在R上的偶函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），在区间[－2，0]上单调递减，设a＝f（－1.5），b＝f（），c＝f（5），则a，b，c的大小顺序为　c＜b＜a　. 14.已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示. （1）请补出函数y＝f（x）的完整图象； （2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间； （3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合. 15.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b. （1）求b的值； （2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围. 素养提升 16.已知函数f（x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜，则“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.若f（x）＝x2＋｜x｜，则满足f（1－a）≤f（a）的a的取值范围是（　　） A.　 B. C.　 D. 18.〔多选〕已知函数f（x）＝，则（　　） A.函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B.函数f（x）为偶函数 C.函数在区间（0，＋∞）上单调递增 D.当x＞0时，函数的最小值为2 19.函数f（x）＝x3＋x＋－8（a∈R）在区间[m，n]上的最大值为10，则函数f（x）在区间[－n，－m]上的最小值为　　. 20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数. （1）当x＜0时，f（x）＝x（x－1），求当x＞0时，f（x）的解析式； （2）若f（x）在（－∞，0]上单调递增. ①判断函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的判断； ②若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围. 迁移创新 21.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.则函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心为（　　） A.（－1，2）　 B.（－1，－2） C.（1，2）　 D.（1，－2） 22.定义域为{x｜x≠0}的函数f（x）满足f（x）＋f（y）＝f（xy）. （1）求证：f（）＝－f（x）； （2）求证：f（x）为偶函数； （3）当x＞1时，f（x）＞0，求证：f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 3.1.3 函数的奇偶性 课标要点 1.理解奇函数、偶函数的定义（数学抽象、逻辑推理）. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征（直观想象、数学运算）. 3.掌握判断函数奇偶性的方法（逻辑推理、数学运算）. 4.会根据函数奇偶性求函数值或解析式（数学抽象、逻辑推理）. 5.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的实际问题（逻辑推理、数学运算）. 学习重难点 重点： 奇偶函数定义域需关于原点对称； 奇函数f（－x）＝－f（x），图象关于原点对称；偶函数f（－x）＝f（x），图象关于 y 轴对称； 会判断函数奇偶性，利用奇偶性简化求值、作图。 难点： 略定义域先判断奇偶，易错判不对称定义域函数； 分段、含参函数奇偶推导变形易出错； 综合奇偶、单调性解决抽象函数问题。 知识点一　函数的奇偶性 1.偶函数 （1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有　－x∈D　，且　f（－x）＝f（x）　，则称y＝f（x）为偶函数； （2）图象特征：图象关于　y轴　对称. 2.奇函数 （1）定义：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有　－x∈D　，且　f（－x）＝－f（x）　，则称y＝f（x）为奇函数； （2）图象特征：图象关于　原点　对称. 　　提醒：函数奇偶性的再理解：①函数y＝f（x）是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性；②若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则根据定义可得f（－0）＝－f（0），即f（0）＝0，即奇函数的图象过原点；③若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f（x）＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集. 【想一想】 如果定义域内存在x0，满足f（－x0）＝f（x0），函数f（x）是偶函数吗？ 【提示】不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立. 随学随练 1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（1）＋f（－1）＝（　　） A.－1　　　　　　　 B.0 C.1　 D.2 【答案】B　 【解析】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－1）＝－f（1），即f（1）＋f（－1）＝0.故选B. 2.函数f（x）＝的图象关于（　　） A.y轴对称　 B.x轴对称 C.原点对称　 D.直线y＝x对称 【答案】A　 【解析】函数f（x）＝的定义域为R，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.故选A. 3.已知函数y＝x2＋ax＋1是偶函数，则实数a的值为　0　. 【答案】0　 【解析】由题意可知x∈R，f（－x）＝（－x）2＋a（－x）＋1＝x2－ax＋1，由于f（x）为偶函数，故f（x）＝f（－x），即x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即2ax＝0，故a＝0. 知识点二　函数奇偶性的综合应用 1.函数的奇偶性与单调性的性质 （1）若f（x）为奇函数且在区间[a，b]（a＜b）上为增函数（减函数），则f（x）在[－b，－a]上为　增函数　（减函数），即在关于原点对称的区间上单调性　相同　； （2）若f（x）为偶函数且在区间[a，b]（a＜b）上为增函数（减函数），则f（x）在[－b，－a]上为　减函数　（增函数），即在关于原点对称的区间上单调性　相反　. 2.函数的对称轴与对称中心 （1）若函数f（x）的定义域为D，对∀x∈D都有f（a＋x）＝f（a－x）（a为常数），则x＝　a　是f（x）的对称轴； （2）若函数f（x）的定义域为D，对∀x∈D都有f（a＋x）＋f（a－x）＝2b（a，b为常数），则　（a，b）　是f（x）的对称中心. 【想一想】 奇函数f（x）＝，当x＞0时的解析式与x＜0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也相同，这种说法正确吗？ 【提示】不正确. 随学随练 1.（2025·呼和浩特期末）下列函数中，是偶函数且在（0，＋∞）上单调递减的是（　　） A.y＝x－1　　　　 B.y＝｜x｜ C.y＝－　 D.y＝1－x2 【答案】D　 【解析】对于A，函数y＝x－1为非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增；对于B，函数y＝｜x｜为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增；对于C，函数y＝－为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增；对于D，函数y＝1－x2为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减.故选D. 2.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2＋x，则f（－1）＝（　　） A.－2　 B.1 C.－1　 D.－3 【答案】D　 【解析】因为f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x2＋x，所以f（－1）＝－f（1）＝－（2×12＋1）＝－3.故选D. 3.偶函数f（x）在（0，＋∞）上的最小值为2 025，则f（x）在（－∞，0）上的最小值为　2 025　. 【答案】2025　 【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f（x）在对称区间内的最值相等. 又当x∈（0，＋∞）时，f（x）min＝2 025，故当x∈（－∞，0）时，f（x）min＝2 025. 拓展 函数图像的对称性 研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点（原点）及特殊直线（y轴）对称的问题.那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？ 1.函数图象关于直线x＝a对称的问题 当函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？ 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f（a－x）＝f（a＋x）. 反之，若对函数y＝f（x）的定义域内任一x都有f（a－x）＝f（a＋x），则可证明其图象关于直线x＝a对称. 【提示】设函数y＝f（x）图象上的任一点为P（x，y），则它关于直线x＝a对称的点为P'（2a－x，y），因为f（a－x）＝f（a＋x），所以f（2a－x）＝f[a＋（a－x）]＝f[a－（a－x）]＝f（x）. 这说明点P'（2a－x，y）也在函数y＝f（x）的图象上，即函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 由此得出：函数y＝f（x）对其定义域内任一x都有f（a－x）＝f（a＋x）⇔函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 同样地，可以得到如下结论： 函数y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 函数y＝f（x）的图象的对称轴 f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a f（x）＝f（a－x） 直线x＝ f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝ 2.函数图象关于点（a，0）对称的问题 当函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称时，又会满足怎样的条件呢？如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f（a－x）＝－f（a＋x）. 反之，若对函数y＝f（x）定义域内任一x都有f（a－x）＝－f（a＋x），则可证明其图象关于点（a，0）对称. 【提示】设函数y＝f（x）图象上的任一点为P（x，y），则它关于点（a，0）的对称点为P'（2a－x，－y），因为f（a－x）＝－f（a＋x），所以f（2a－x）＝f[a＋（a－x）]＝－f[a－（a－x）]＝－f（x）. 这说明点P'（2a－x，－y）也在函数y＝f（x）的图象上，即函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称. 由此得出：函数y＝f（x）对其定义域内任一x都有f（a－x）＝－f（a＋x）⇔函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称. 同样地，可以得到如下结论： 函数y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 函数y＝f（x）图象的对称中心 f（a＋x）＝－f（a－x） 点（a，0） f（x）＝－f（a－x） 点 f（a＋x）＝－f（b－x） 点 【迁移应用】 已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立.设a＝f（－），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b　　　　　　 B.b＞a＞c C.a＞c＞b　 D.c＞b＞a 【答案】B 【解析】当x1≠x2且x1，x2∈（1，＋∞）时，［f（x2）－f（x1）］·（x2－x1）＜0恒成立，可得f（x）在（1，＋∞）上单调递减，又函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f（－）＝f（）.∵2＜＜3，∴f（2）＞f（）＞f（3），即b＞a＞c.故选B. 题型一 判断函数的奇偶性 解题贴士：判断函数奇偶性的两种方法 （1）定义法 （2）图象法 提醒：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 【例1】下列函数是偶函数的是（　　） A.y＝x＋ B.y＝x2＋ C.f（x）＝＋ D.y＝＋ 【答案】B 【解析】对于A，y＝x＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），－x＋＝－（x＋），y＝x＋是奇函数，不是偶函数；对于B，y＝x2＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），（－x）2＋＝x2＋，y＝x2＋是偶函数；对于C，由解得－1≤x＜1，所以f（x）的定义域是[－1，1），由于f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝＋的定义域为{1}，不是偶函数.故选B. 【变式1】函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（　　） A.f（x）＋g（x）为奇函数 B.f（x）＋g（x）为偶函数 C.f（x）g（x）为奇函数 D.f（x）g（x）为偶函数 【答案】C 【解析】令F1（x）＝f（x）＋g（x），则F1（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－F1（x），且F1（－x）≠F1（x），∴F1（x）既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2（x）＝f（x）g（x），则F2（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－F2（x），且F2（－x）≠F2（x），∴F2（x）是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 【变式2】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】∵的定义域为， ，所以是奇函数. 【变式3】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 题型二 奇、偶函数的图象问题 解题贴士：巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. 【例2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可以用函数的性质如奇偶性、单调性来琢磨函数的图象，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】， ， 是偶函数，图象关于轴对称，排除选项AB， ，排除选项D，故选项C正确. 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 【变式3】设奇函数f（x）的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f（x）的图象如图所示，不等式f（x）＜0的解集用区间表示为　　. 【答案】[－6，－3）∪（0，3） 【解析】由f（x）在[0，6]上的图象知，满足f（x）＜0的不等式的解集为（0，3）.又f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0）上，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）.综上可知，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）∪（0，3）. 题型三 利用函数奇偶性求参数值 解题贴士：利用奇偶性求参数的常见类型 （1）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数； （2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解. 【例3】若f（x）＝（x－2）2＋2ax为偶函数，则a＝（　D　） A.－4　 B.－2 C.0　 D.2 【答案】D 【解析】 f（x）＝（x－2）2＋2ax＝x2－4x＋4＋2ax＝x2＋（2a－4）x＋4，则f（－x）＝（－x－2）2＋2a（－x）＝x2＋4x＋4－2ax＝x2＋（4－2a）x＋4，由于函数是偶函数，有f（－x）＝f（x），故x2＋（4－2a）x＋4＝x2＋（2a－4）x＋4，所以2a－4＝4－2a，从而得到4a＝8，解得a＝2.故选D. 【变式1】若函数f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2是定义在[1－3a，a]上的偶函数，则a＋b＝　　. 【答案】 【解析】由题意得1－3a＋a＝0，解得a＝，又因为f（x）＝x4＋bx3＋ax2＋2为偶函数，所以f（－x）＝f（x），即x4－bx3＋ax2＋2＝x4＋bx3＋ax2＋2，解得b＝0，所以a＋b＝. 【变式2】（24-25高二下·安徽·开学考试）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 【变式3】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 题型四 利用函数的奇偶性求解析式 解题贴士：利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）转化到已知区间上，代入已知的解析式； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 【例4】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式1】（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 所以当时，. 故选：B 【变式2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 【变式3】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋x＋1，则f（x）在R上的解析式为　　. 【答案】f（x）＝ 【解析】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（0）＝0， 当x＜0时，－x＞0，∴f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）3＋（－x）＋1]＝x3＋x－1. 题型五 利用函数的奇偶性比较大小 解题贴士：比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【例5】已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，则f（a2－2a＋4）与f（－2）的大小关系为（　　） A.f（a2－2a＋4）＞f（－2） B.f（a2－2a＋4）≥f（－2） C.f（a2－2a＋4）＜f（－2） D.f（a2－2a＋4）≤f（－2） 【答案】C 【解析】因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（－2）＝f（2），又f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.因为a2－2a＋4＝（a－1）2＋3＞2，所以f（a2－2a＋4）＜f（2），即f（a2－2a＋4）＜f（－2）.故选C. 【变式1】（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知奇函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知奇函数在上单调递减， ，又， ，即，A正确，B错误； ，，C错误； ，，D错误． 【变式2】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 所以． 【变式3】〔多选〕已知函数f（x）是偶函数，在区间[1，6]上单调，若f（－3）＜f（－5），则有（　　） A.f（1）＜f（3）　 B.f（－2）＞f（4） C.f（－4）＜f（3）　 D.f（－1）＜f（2） 【答案】AD 【解析】∵函数f（x）是偶函数，在区间[1，6]上单调， f（－3）＜f（－5），∴f（－x）＝f（x），f（－3）＝f（3），f（－5）＝f（5），f（3）＜f（5），∴函数f（x）在区间[1，6]上单调递增，在区间[－6，－1]上单调递减，∴f（1）＜f（3），f（－2）＝f（2）＜f（4），f（－4）＝f（4）＞f（3），f（－1）＝f（1）＜f（2）. 题型六 利用函数的奇偶性解不等式 解题贴士：解不等式问题的求解策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响. 【例6】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【变式1】（25-26高一上·湖北荆州·期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 【变式2】已知f（x）是偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递增，若f（2x2－x）≥f（1），则x的取值范围是（　　） A. B. C.（－∞，－1]∪ D.[－2，1] 【答案】A 【解析】依题意，函数为偶函数，且在y轴两侧左增右减，故－1≤2x2－x≤1，解得x∈.故选A. 【变式3 】定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（3）＝0，则满足（x＋1）f（x）≥0的x的取值范围是（　　） A.[－3，－1]∪[0，＋∞）　 B.[－3，＋∞） C.[－3，－1]∪[0，3]　 D.（－∞，－3]∪[0，3] 【答案】C 【解析】因为定义域为R的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（3）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上也单调递减，且f（－3）＝0，f（0）＝0，所以当x∈（－∞，－3）∪（0，3）时，f（x）＞0，当x∈（－3，0）∪（3，＋∞）时，f（x）＜0，所以由（x＋1）f（x）≥0，可得或或x＝0，解得－3≤x≤－1或0≤x≤3，所以满足（x＋1）f（x）≥0的x的取值范围是[－3，－1]∪[0，3].故选C. 基础通关 1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A.f（x）＝x2　　　　 B.f（x）＝ C.f（x）＝｜x｜　 D.f（x）＝2x 【答案】D 【解析】对于A，函数f（x）＝x2为偶函数，故A错误；对于B，函数f（x）＝为奇函数，在（0，＋∞）上单调递减，故B错误；对于C，函数f（x）＝｜x｜为偶函数，故C错误；对于D，函数f（x）＝2x的定义域为R，f（－x）＝－2x＝－f（x），所以f（x）＝2x为奇函数，易知其为增函数，故D正确.故选D. 2．函数f（x）＝是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 【答案】C 【解析】作出函数图象如图，由于f（0）＝－3，所以函数图象不关于原点对称，由图可知函数图象不关于y轴对称，故f（x）为非奇非偶函数.故选C. 3.（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】由题意知，所以， 当时，由可得：此时等式恒成立， 即，则，故选：D 5．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由解析式知，函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D. 故选：B 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 7．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 8．（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 又，所以， 所以当或时，当或时， 不等式，即或， 解得或，即不等式的解集为.故选：B 9.〔多选〕若f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h（x）＝f（x）g（x）的部分图象可能为（　　） 【答案】AC 【解析】因为f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，所以h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以函数h（x）＝f（x）g（x）为奇函数，所以h（x）的图象关于原点对称.故选A、C. 10.〔多选〕已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（－x）＝f（x）；②∀m，n∈（0，＋∞），当m≠n时，都有＜0；③f（－1）＝0.则下列选项成立的是（　　） A.f（3）＞f（－4） B.若f（m－1）＜f（2），则m∈（3，＋∞） C.若＜0，x∈（－1，0）∪（1，＋∞） D.∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≤M 【答案】ACD 【解析】由①知函数f（x）为偶函数，由②知，函数f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递减， 则函数f（x）在x∈（－∞，0）上单调递增. 对于A，f（3）＝f（－3）＞f（－4），故A正确； 对于B，f（m－1）＜f（2），则｜m－1｜＞2，解得m∈（3，＋∞）∪（－∞，－1），故B错误； 对于C，若＜0，由题知f（－1）＝f（1）＝0，则当x＞0时，f（x）＜0，解得x＞1；当x＜0时，f（x）＞0，解得－1＜x＜0，故C正确； 对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值f（0），则只需M≥f（0），即可满足条件，故D正确.故选A、C、D. 11.若定义在（－1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m，n的值分别为　0，0　. 【答案】0 0　 【解析】由已知得f（0）＝0，故m＝0. 由f（x）是奇函数，知f（－x）＝－f（x），即＝－， ∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0. 12.（2025·潍坊期末）已知函数f（x）＝x2 025＋ax3＋bx＋1，且f（－2 024）＝10，则f（2 024）＝　－8　. 【答案】-8　 【解析】：设g（x）＝x2 025＋ax3＋bx，则f（x）＝g（x）＋1，由g（－x）＝（－x）2 025＋a（－x）3＋b（－x）＝－x2 025－ax3－bx＝－g（x），可得g（x）为奇函数，因为f（－2 024）＝g（－2 024）＋1＝10，解得g（－2 024）＝9，故g（2 024）＝－9，于是f（2 024）＝g（2 024）＋1＝－8. 13.定义在R上的偶函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），在区间[－2，0]上单调递减，设a＝f（－1.5），b＝f（），c＝f（5），则a，b，c的大小顺序为　c＜b＜a　. 【答案】c＜b＜a　 【解析】因为定义在R上的偶函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），所以f（2＋x）＝f（2－x）＝f（x－2）.因为f（x）在区间[－2，0]上单调递减，所以f（x）在区间[0，2]上单调递增，c＝f（5）＝f（1）＜b＝f（）＜a＝f（－1.5）＝f（1.5）. 14.已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示. （1）请补出函数y＝f（x）的完整图象； （2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间； （3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合. 【解】（1）由题意作出函数图象如图： （2）由图可知，单调增区间为（－1，0），（1，＋∞）. （3）由图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）. 15.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b. （1）求b的值； （2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围. 【解】（1）因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数， 所以f（0）＝0，解得b＝0. （2）因为函数f（x）在[0，2]上是增函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上单调递增， 因为f（m）＋f（m－1）＞0， 所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m）， 所以m－1＞－m，　① 又不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域范围内有意义， 所以　② 解①②得＜m≤2，所以m的取值范围为. 素养提升 16.已知函数f（x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜，则“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C　 【解析】法一　若函数f（x）为奇函数，且函数f（x）的定义域为R， 则f（x）＋f（－x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜－x－1｜＋a｜－x＋1｜＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜x＋1｜＋a｜x－1｜＝（a＋1）（｜x－1｜＋｜x＋1｜）＝0，∴a＋1＝0，解得a＝－1.∴“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的充要条件.故选C. 法二　若f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝1＋a＝0，∴a＝－1，必要性成立.若a＝－1则f（x）＝｜x－1｜－｜x＋1｜，∴f（－x）＝｜－x－1｜－｜－x＋1｜＝－（｜x－1｜－｜x＋1｜）＝－f（x），∴f（x）是R上的奇函数，充分性成立.∴a＝－1是f（x）为奇函数的充要条件. 17.若f（x）＝x2＋｜x｜，则满足f（1－a）≤f（a）的a的取值范围是（　　） A.　 B. C.　 D. 【答案】C 【解析】因为f（－x）＝x2＋｜x｜＝f（x），且函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为定义域R上的偶函数，又当x＞0时，f（x）＝x2＋x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（1－a）≤f（a），则有｜1－a｜≤｜a｜，解得a≥.故选C. 18.〔多选〕已知函数f（x）＝，则（　　） A.函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B.函数f（x）为偶函数 C.函数在区间（0，＋∞）上单调递增 D.当x＞0时，函数的最小值为2 【答案】AD　 【解析】函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），A正确；由于f（－x）＝＝－＝－f（x），所以该函数为奇函数，B错误；任取0＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝，因为5与x1x2大小无法判断，故f（x1）－f（x2）的正负无法判断，C错误；当x＞0时，f（x）＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立，D正确.故选A、D. 19.函数f（x）＝x3＋x＋－8（a∈R）在区间[m，n]上的最大值为10，则函数f（x）在区间[－n，－m]上的最小值为　　. 【答案】-26 【解析】由题设，令g（x）＝f（x）＋8＝x3＋x＋，易知：g（－x）＝－x3－x－＝－g（x）且x≠0， ∴g（x）＝f（x）＋8为奇函数，又f（x）在[m，n]上的最大值为10，∴g（x）在[m，n]上的最大值为18， 由奇函数对称区间上单调性相同，∴g（x）在[－n，－m]上的最小值为－18， ∴f（x）在[－n，－m]上的最小值为－26. 20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数. （1）当x＜0时，f（x）＝x（x－1），求当x＞0时，f（x）的解析式； （2）若f（x）在（－∞，0]上单调递增. ①判断函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的判断； ②若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围. 【解】（1）当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以当x＞0时，f（x）＝－x（x＋1）. （2）①f（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明如下： 因为f（x）在（－∞，0]上单调递增，所以对任意x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则－x1，－x2∈（0，＋∞），且－x1＞－x2，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x1）＝－f（－x1），f（x2）＝－f（－x2），故－f（－x1）＜－f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增. ②因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0]上的单调递增，可得：函数f（x）在R上单调递增，又f（－2x2＋x）＜－f（－2x2－k），则f（－2x2＋x）＜f（2x2＋k），因为f（x）在R上的单调递增，故－2x2＋x＜2x2＋k恒成立，即k＞－4x2＋x＝－4＋，所以实数k的取值范围为. 迁移创新 21.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.则函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心为（　　） A.（－1，2）　 B.（－1，－2） C.（1，2）　 D.（1，－2） 【答案】A　 【解析】设（a，b）为f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心， 则有y＝f（x＋a）－b＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b为奇函数， 设g（x）＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b，则g（x）为奇函数， g（x）＝x3＋3（a＋1）x2＋3（a2＋2a）x＋a3＋3a2－b，又g（－x）＋g（x）＝0， 可得3（a＋1）x2＋a3＋3a2－b＝0，所以解得 所以函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心的坐标为（－1，2）.故选A. 22.定义域为{x｜x≠0}的函数f（x）满足f（x）＋f（y）＝f（xy）. （1）求证：f（）＝－f（x）； （2）求证：f（x）为偶函数； （3）当x＞1时，f（x）＞0，求证：f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减. 【证明】（1）取x＝y＝1代入f（x）＋f（y）＝f（xy），得f（1）＝0，取y＝代入f（x）＋f（y）＝f（xy）， 得f（x）＋f（）＝0，故f（）＝－f（x）. （2）取y＝－1代入f（x）＋f（y）＝f（xy），得f（x）＋f（－1）＝f（－x）， 取x＝y＝－1代入f（x）＋f（y）＝f（xy），f（－1）＋f（－1）＝f（1），所以f（－1）＝0， 所以f（x）＝f（－x）.因为当x∈{x｜x≠0}时，－x∈{x｜x≠0}，所以f（x）为偶函数. （3）设x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，则＞1，由题设f（）＞0. 所以f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（）＝f（）＞0，f（x2）＞f（x1），f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 因为f（x）为偶函数，所以f（－x2）＞f（－x1），而－x1，－x2∈（－∞，0），－x1＞－x2，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $