第3章 §3.3 函数的应用(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦函数模型的应用这一核心知识点，系统梳理一次函数、二次函数、分段函数及对勾函数模型的解析式，构建“实际问题引入—知识梳理—分类型例题解析—总结与练习”的完整学习支架，帮助学生掌握用函数模型解决实际问题的基本过程。 该资料以商场销售、阶梯水价等现实问题为载体，引导学生用数学眼光观察数量关系，通过建模与求最值（如二次函数最值、对勾函数均值不等式应用）训练数学思维，用分段函数解析式等数学语言表达实际问题。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过例题反思与跟踪训练巩固方法，查漏补缺。

学习目标　1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 导语 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，那么经理的决定正确吗？ 要解决这个问题需要用数学模型来刻画，那么我们学过哪些常见的数学模型呢？如何建立函数模型呢？ 知识梳理 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)= 对勾函数模型 f(x)=ax+(a，b为常数，且ab>0) 2.应用函数模型解决问题的基本过程 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模——求解数学模型，得出数学模型. (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 一、一次函数模型的应用 例1　(课本例2)城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿.写出f(t)的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 解　因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函数，设f(t)=kt+b，其中k，b是常数. 注意到2013年是1978年后的第2 013-1 978=35年，因此即 解得k=0.16，b=1.7. 因此f(t)=0.16t+1.7，t∈N且t<40. 又因为2017年是1978年后的第2 017-1 978=39年，而且f(39)=0.16×39+1.7=7.94， 所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿. 例1　已知“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？ 解　(1)由图象可设y1=k1x+29(k1≠0)，y2=k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1=k1x+29，y2=k2x，得k1=k2=. ∴y1=x+29(x≥0)，y2=x(x≥0). (2)令y1=y2，即x+29=x，则x=. 当x=时，y1=y2，两种卡收费一致； 当0≤x<时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>时，y1<y2，使用如意卡便宜. 反思感悟　一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. 跟踪训练1　某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式； (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解　(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 由图象可知，当x=60时，y=6； 当x=80时，y=10. 所以解得k=b=-6. 所以y与x之间的函数关系式为 y= (2)根据题意，当y=0时，x≤30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 二、二次函数模型的应用 例2　(课本例3)某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 解　设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元. 因为此时每间房单价为200+20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160-10x间，因此y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)=200[-(x-3)2+169]=-200(x-3)2+33 800. 从而可知，当x=3时，y的最大值为33 800. 因此每间房单价提到200+20×3=260元时，每天客房的租金总收入最高. 例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解　(1)根据题意，得y=90-3(x-50)， 化简，得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱的销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9 600 =-3(x-60)2+1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大. 又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元. 反思感悟　利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符. 跟踪训练2　(课本例4)某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 解　设矩形的长为x时，场地的面积为S. 因为矩形的周长要为l，所以矩形的宽为(l-2x)，由可解得0<x<. 又因为S=(l-2x)x=-x2+x =-+ 所以当x=时，S的最大值为.此时矩形的宽为=. 即所围矩形是长、宽都为的正方形时，场地面积最大. 跟踪训练2　渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x(x>0)小于m，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围. 解　(1)由题意，空闲率为=1- ∴y=kxx∈. (2)∵y=kx=-+ ∵x∈m>0，k>0，得函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当x=时，ymax=. (3)由题意有0<x+y<m，即0<+<m， ∵m>0，∴-2<k<2， 又k>0，∴k的取值范围为. 三、分段函数与对勾函数模型的应用 例3　(课本例1)为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示. 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/(元·m-3) 第一阶梯 0~220(含) 3.45 第二阶梯 220~300(含) 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f(x)元. (1)写出f(x)的解析式； (2)假设居住在该市的张明一家2015年共用水260 m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？ 解　(1)不难看出，f(x)是一个分段函数，而且： 当0<x≤220时，有f(x)=3.45x； 当220<x≤300时，有f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6； 当x>300时，有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6. 因此f(x)= (2)因为220<260≤300， 所以f(260)=4.83×260-303.6=952.2， 因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元. 例3　某科技企业为抓住机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，C(x)=x2+40x，当年产量不小于80台时，C(x)=101x+-2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润. 解　(1)当0<x<80时，y=100x- -500=-x2+60x-500； 当x≥80时，y=100x--500=1 680- 所以y= (2)由(1)可知，当0<x<80时， y=-(x-60)2+1 300， 当x=60时，y取得最大值1 300， 当x≥80时，y=1 680-≤1 680-2=1 500，当且仅当x= 即x=90时，y取最大值1 500， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元. 反思感悟　(1)应用分段函数模型时的三个注意点 ①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. ②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. ③分段函数的最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. (2)实际问题中若遇对勾函数模型，往往涉及求最大(小)值，一般考虑运用均值不等式求解. 跟踪训练3　(课本例5)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000，且当年产量是100时，总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q). (1)求f(Q)的解析式； (2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 解　(1)将Q=100，C=6 000代入C=aQ2+3 000中，可得1002a+3 000=6 000， 从而a=于是C=+3 000. 因此f(Q)==Q+Q>0. (2)因为f(Q)=Q+≥2=60， 且Q=即Q=100时，上述等号成立. 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 跟踪训练3　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当40≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤280时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值. 解　(1)当0≤x≤40时，v(x)=60； 当40≤x≤280时，设v(x)=ax+b， 由题意知解得即v(x)=-x+70， 所以v(x)= (2)f(x)= ①当0≤x≤40时，f(x)=60x单调递增，0≤f(x)≤f(40)=2 400； ②当40<x≤280时，f(x)=-x2+70x，对称轴方程为x=140， 函数f(x)在(40，140)上单调递增，在[140，280]上单调递减， 所以f(x)max=f(140)=4 900. 综上所述，当车流密度x为140辆/千米时，车流量f(x)可达到最大值4 900辆/小时. 1.知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型与对勾函数模型. 2.方法归纳：待定系数法、均值不等式法、函数单调性法. 3.常见误区：解决函数的实际应用问题时易忽视函数的定义域. 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A.310元 B.300元 C.390元 D.280元 答案　B 解析　由图象知，该一次函数的图象过(1，800)，(2，1 300)两点，可求得解析式y=500x+300(x≥0)，当x=0时，y=300. 2.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A.120.25万元 B.120万元 C.90.25万元 D.132万元 答案　B 解析　设在甲地销售了x辆车，则在乙地销售了(15-x)辆车，令总利润为L，则L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-+. 因为x∈N，所以当x=9或10时，L有最大值， Lmax=120(万元). 所以在甲地销售9辆车，在乙地销售6辆车或在甲地销售10辆车，在乙地销售5辆车时可获得最大利润120万元. 3.某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)关于时间t(单位：小时)的函数解析式是　　　　.  答案　y= 4.建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为　　　　元.  答案　1 760 解析　设池底长为x米，则宽为米，水池造价为y元， 则y=120×4+×80， 由于4x+≥2=16，当且仅当x=2时，等号成立， 所以y≥1 760，即水池的最低造价为1 760元. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A.y=2t B.y=120t C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0) 答案　D 解析　因为90 min=1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y=120t(t≥0). 2.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q=100-5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 答案　B 解析　设每天获利y元，则y=(100-5x)(x-6)-100=-5(x-13)2+145， 由x>0，Q=100-5x≥0，得0<x≤20， 故当x=13时，每天获利最大. 3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)在x∈[5，15]时，每天售出该鲜花支数p(x)=若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　) A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 答案　D 解析　设每天的利润为y元，则y=(x-5)×=500×5≤x≤15，显然此函数在[5，15]上单调递增，故当x=15时，y取得最大值. 4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，若已知x年后的设备维护总费用为x(x+1)元，则为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　) A.10 B.11 C.13 D.21 答案　A 解析　设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为f(x)，则x年的平均费用为f(x)==x++1.5(x∈N+)，由均值不等式得f(x)=x++1.5≥2+1.5=21.5，当且仅当x=即x=10时取等号. 5.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y=f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 答案　C 解析　由图象知， 当0≤x≤4时，设直线y=k1x，把点(4，320)代入得k1=80，所以y=80x； 当4<x≤20时，设y=f(x)=k2x+b， 将点(4，320)和(20，0)代入得 解得此时y=f(x)=-20x+400， 所以f(x)= 当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4， 当4<x≤20时，令y=-20x+400≥240， 解得4<x≤8， 所以3≤x≤8， 故第二次服药最迟的时间应为8小时后， 即下午4：00. 6.(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号 小包装 大包装 质量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.0元 8.4元 则下列说法正确的是(　　) A.买小包装实惠 B.买大包装实惠 C.卖3小包比卖1大包盈利多 D.卖1大包比卖3小包盈利多 答案　BD 解析　大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故A错误，B正确；卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖3小包盈利3×(3-0.5-1.8)=2.1(元)， 则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确. 7.(5分)某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为　　　　.  答案　y=-x+50(0<x<200) 解析　设解析式为y=kx+b(k≠0)， 其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)， 由解得 ∴y=-x+50(0<x<200). 8.(5分)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要　　　　h.  答案　10 解析　设物资全部到达灾区所需时间最少为t h， 由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km所用的时间， 因此，t==+≥2=10. 当且仅当=即v=80时取“=”. 故最少需要10 h. 9.(12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解　由表中数据可知，销售单价每增加1元， 日均销售量就减少40桶， 设在进价的基础上增加x元后， 日均销售利润为y元， 在此情况下的日均销售量为480-40(x-1)=(520-40x)(桶). 令520-40x>0，则0<x<13. y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200 =-40(x-6.5)2+1 490，0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润. 10.(12分)经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课后，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果表明f(x)与x有如下关系： f(x)= (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？(6分) (2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？(6分) 解　(1)由题意得，当0<x<10时，f(x)=5x+9，此时函数单调递增； 当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值， 此时f(x)=59； 当16<x≤30时，f(x)=-3x+107，此时函数单调递减. 所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟. (2)当0<x<10时，令f(x)≥55，即5x+9≥55， 解得9.2≤x<10， 集中注意力时间共10-9.2=0.8(分钟)； 当10≤x≤16时，f(x)=59≥55，集中注意力时间共6分钟； 当16<x≤30时，令f(x)≥55，即-3x+107≥55，解得16<x≤ 则集中注意力时间共-16=(分钟)， 因为0.8+6+=<10，所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题. 11.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为60 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s甲=v2+v，乙车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s乙=v2+v.则关于甲、乙两车的超速情况，下列说法正确的是(　　) A.甲、乙两车均超速 B.甲车超速但乙车未超速 C.乙车超速但甲车未超速 D.甲、乙两车均未超速 答案　D 解析　对于甲车，令v2+v≈6，即v2+10v-600≈0， 解得v≈-30 km/h(舍去)或v≈20 km/h，所以甲车未超速； 对于乙车，令v2+v≈10，即v2+10v-2 000≈0， 解得v≈-50 km/h(舍去)或v≈40 km/h，所以乙车未超速. 12.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 答案　B 解析　根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式， 得解得 ∴p=-0.2t2+1.5t-2.0=-+. 当t==3.75时，p取得最大值， 即最佳加工时间为3.75分钟. 13.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 4元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 8元/m3 若某户居民上月缴纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为(　　) A.13 m3 B.14 m3 C.15 m3 D.16 m3 答案　C 解析　设用户的用水量为x m3，缴纳的水费为y元， 当0≤x≤12时，y=4x∈ 当12<x≤18时，y=4×12+6=6x-24∈ 当x>18时，y=4×12+6×(18-12)+8=8x-60>84. 故若某户居民上月缴纳的水费为66元，则用水量在内，令6x-24=66，解得x=15. 14.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 答案　B 解析　根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x·=800+x2， 这样平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)==+(x为正整数)， 由均值不等式，得+≥2=20， 当且仅当=即x=80时，f(x)取得最小值， ∴当x=80时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小. 学科网（北京）股份有限公司 $