第2章 周末练4 范围：2.2.4（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，通过均值不等式、“1”的代换、凑配法等系统方法，构建从概念到实际应用的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1,3|均值不等式“积定和最小”|从基本形式到等号条件推导| |条件最值|单选5,6,填空12|“1”的代换、凑配法|条件转化与变式应用| |实际应用|多选7,解答14|建模转化为不等式问题|实际问题抽象为数学模型|

周末练4范围：2.2.4 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，则菜园的周长最短为(　　) A.30 m B.36 m C.40 m D.50 m 答案　C 解析　设矩形的长为x m，则宽为 m，设菜园的周长为y m，所以y=2x+2·x>0，根据均值不等式可知， y=2x+2·≥2=40，当且仅当2x=2·即x=10时取等号. 2.若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，22ab，a2+b2中最大的一个是(　　) A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b 答案　D 解析　方法一　因为0<a<1，0<b<1，且a≠b，所以a2+b2>2ab，a+b>2a>a2，b>b2，所以a+b>a2+b2. 方法二　取a=b=则a2+b2=2=2ab=a+b=故a+b最大. 3.已知x，y>0且xy=36，则x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.12 答案　D 解析　因为x，y>0且xy=36，可得x+y≥2=12，当且仅当x=y=6时，等号成立. 4.已知a>0，b>0，则++2的最小值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.5 答案　C 解析　由a>0，b>0可知+≥2当且仅当=即a=b时，等号成立，又2+2≥2=4，当且仅当2=2即=ab=1，所以a=b=1时，等号成立.故++2≥4. 5.已知正数x，y满足3x+2y=2，则+的最小值为(　　) A.6 B. C. D. 答案　B 解析　+=(3x+2y) =≥× = 当且仅当 即x=y=时，等号成立，因此+的最小值为. 6.若x>-1，则的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意得， ==2(x+1)+ ∵x>-1，x+1>0， ∴2(x+1)+≥2=4，当且仅当2(x+1)=即x=0时取等号， 则的最小值是4. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，小刚上山和下山的速度都是设上山的路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则(　　) A.小明上山和下山所用时间之和为 B.小刚上山和下山所用时间之和为 C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 答案　ABD 解析　小明上山和下山所用时间之和为+=故A正确； 小刚上山和下山所用时间之和为=故B正确； 因为v1≠v2，所以>=<=所以> 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确. 8.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.a2+b2≥8 B.≥ C.≥2 D.+≤1 答案　AB 解析　对于A，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴a2+b2≥==8， 当且仅当a=b=2时取等号，故A恒成立； 对于B，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴ab≤==4， 当且仅当a=b=2时取等号， ∴≥故B恒成立； 对于C，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴≤==2，当且仅当a=b=2时取等号，故C不恒成立； 对于D，∵a>0，b>0，a+b=4， ∴(a+b)=1， +=(a+b) =+≥+×2=1， 当且仅当=即a=b=2时取等号，故D不恒成立. 9.★★已知a，b为正实数，且a>1，b>1，ab-a-b=0，则(　　) A.ab的最大值为4 B.2a+b的最小值为3+2 C.a+b的最小值为4 D.+的最小值为2 答案　BCD 解析　A选项，ab-a-b=0⇔ab=a+b， 因为a，b为正实数，且a>1，b>1， 由均值不等式得a+b≥2即ab≥2解得ab≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立，故ab的最小值为4，A错误； B选项，由ab=a+b⇔+=1， 由均值不等式得2a+b= =2+1++≥3+2=3+2 当且仅当=即b=+1，a=时，等号成立，B正确； C选项，ab-a-b=0⇔ab=a+b， 因为a，b为正实数，且a>1，b>1， 由均值不等式得a+b≥2即a+b≥2解得a+b≥4， 当且仅当a=b=2时，等号成立，故a+b的最小值为4，C正确； D选项，因为ab=a+b，所以+==a+b-2， 因为a+b的最小值为4，所以+=a+b-2的最小值为2，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.设a>0，b>0，则+的最小值为　　　　　　.  答案　6 解析　由a>0，b>0，得+ =1+++1≥2+2=6， 当且仅当=即2a=b时取等号. 11.已知A，B两城市的距离是100 km，根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50~100 km/h，假设油价是6元/L，当以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 L/h，其它费用是36元/h.为了这次行车的总费用最少，车速应为　　　　　km/h.(精确到1 km/h，参考数据≈3.162)  答案　57 解析　当汽车以x km/h行驶时，则行车的总费用y=·=+x， 因为50≤x≤100，所以y=+x≥2=60 当且仅当=x，即x=18≈57时，等号成立，故为了这次行车的总费用最少，车速应为57 km/h. 12.★★已知x<若不等式2x+≤m 恒成立，则实数m的最小值为　　　　.  答案　-1 解析　因为x<所以2x-5<0，则5-2x>0，所以2x+=2x-5++5 =-+5 ≤-2+5=-1， 当且仅当5-2x=即x=1时，等号成立， 因为不等式 2x+≤m 恒成立，所以m≥则m≥-1， 所以实数m的最小值为-1. 四、解答题(共27分) 13.(13分)(1)已知a，b∈R且a>0，b>0，4a+b=1，求ab的最大值；(6分) (2)已知正数a，b满足4ab=3a+5b，求5a+3b的最小值.(7分) 解　(1)因为a，b∈R且a>0，b>0，由均值不等式可得1=4a+b≥2=4当且仅当b=4a，即a=b=时，等号成立，所以0<ab≤因此ab的最大值为. (2)由a>0，b>0，4ab=3a+5b，得+=4， 则5a+3b=(5a+3b)×=×≥× =×(34+30)=16， 当且仅当=即a=b=2时，等号成立， 所以5a+3b的最小值为16. 14.★★(14分)某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm，设EF=x cm. (1)当x=100 cm时，求海报纸的面积；(5分) (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)？(9分) 解　(1)宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2，EF=x=100 cm， 则直角三角形的高为120 cm， 又海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm， ∴AD=120+20=140(cm)， AB=3×100+5×10=350(cm)， 故海报面积为AD·AB=140×350=49 000 (cm2). (2)设EF=x cm，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2， ∴直角三角形的高为= 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm，∴海报宽AD=+20， 海报长AB=3x+50， 故S矩形ABCD=AB·AD=(3x+50) =37 000+60x+ ≥37 000+2 =37 000+12 000=49 000， 当且仅当60x=即x=100时，等号成立，故当海报纸宽为140 cm，长为350 cm时，可使用纸量最少. 学科网（北京）股份有限公司 $