专题04 不等式中的恒成立与能成立问题（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

专题04不等式中的恒成立与能成立问题 （题型突破·举一反三） 题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型2 一元二次不等式在给定范围上的恒成立问题 题型3 一元二次不等式能成立问题 题型4 基本不等式求解恒成立问题 题型5 基本不等式求解能成立问题 题型6 双变量不等式恒成立问题 题型7 双变量不等式能成立问题 ▌题型01 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定要讨论二次项系数是否为0. 【典例1】（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）若“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌题型02 一元二次不等式在给定范围上恒成立问题 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 【典例2】（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌题型03 一元二次不等式能成立问题 解决能成立问题的方法 （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，m＞y能成立可转化为m＞ymin，m＜y能成立可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动. 【典例3】（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． ▌题型04 基本不等式求解恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 【典例4】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌题型05 基本不等式求解能成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 【典例5】（25-26高二上·宁夏中卫·期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______． 【变式3】（25-26高二下·天津津南·阶段检测）正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. ▌题型06 双变量不等式恒成立问题 不等式恒成立问题：一般地，已知函数， 若，，总有成立，故． 【典例6】已知，若对任意，任意，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【变式2】已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________． ▌题型07 双变量不等式能成立问题 【方法总结】 不等式能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故. 【典例7】已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________ 【变式1】已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04不等式中的恒成立与能成立问题 （题型突破·举一反三） 题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型2 一元二次不等式在给定范围上的恒成立问题 题型3 一元二次不等式能成立问题 题型4 基本不等式求解恒成立问题 题型5 基本不等式求解能成立问题 题型6 双变量不等式恒成立问题 题型7 双变量不等式能成立问题 ▌题型01 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定要讨论二次项系数是否为0. 【典例1】（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）若“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得， 所以实数的取值范围为． 故选A． 【变式3】（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. ▌题型02 一元二次不等式在给定范围上恒成立问题 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 【典例2】（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【解析】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为，故选A. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式3】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C ▌题型03 一元二次不等式能成立问题 解决能成立问题的方法 （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，m＞y能成立可转化为m＞ymin，m＜y能成立可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动. 【典例3】（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以a的取值范围是，故选B 【变式1】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 由题意， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 即最大值为，所以，故选：C 【变式3】（25-26高一上·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B ▌题型04 基本不等式求解恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 【典例4】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 【变式1】（25-26高一下·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 【变式3】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， ，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，等价于的最小值大于， 所以，解得， 故选：B 【变式4】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，故，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. ▌题型05 基本不等式求解能成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值或取值范围； （3）注意等号的取舍，防止失误. 【典例5】（25-26高二上·宁夏中卫·期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵不等式有解， ∴， ∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时取“＝”， ∴，故，即， 解得或， ∴实数 m 的取值范围是． 故选：B． 【变式1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 故若存在这样的x，y使不等式有解. 即或. 故选：A 【变式2】（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】因为，，所以，即，得， 所以，当且仅当时等号成立． 由，得， 整理得，即， 所以．因为存在实数，使得恒成立， 所以，即的最小值为． 【变式3】（25-26高二下·天津津南·阶段检测）正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为正实数，满足，则， 所以， 当且仅当时取等号， 存在这样的，使不等式有解，则， 则，所以实数的取值范围是 ▌题型06 双变量不等式恒成立问题 不等式恒成立问题：一般地，已知函数， 若，，总有成立，故． 【典例6】已知，若对任意，任意，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，， 所以， 对任意的，要使成立，即要，对任意上成立， 所以任意，使得成立， 即. 【变式1】若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】对任意，总存在，使得成立， 所以，当，时，，所以． 故答案为：． 【变式2】已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为3. 因为，所以的最大值为. 若对任意和任意，都有恒成立，则，即. 解得. 所以，实数的取值范围是. ▌题型07 双变量不等式能成立问题 【方法总结】 不等式能成立问题：一般地，已知函数， 若，，有成立，故. 【典例7】已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】因为，，所以， ，当时， 若任意，存在，使得成立， 则， 即解得：， 【变式1】已知，若对，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以在上递减，在上递增， 所以的最小值为， 因为，，所以的最大值为， 所以的值域为， 因为在上递增， 所以的值域为， 因为对，使得， 所以是的子集， 所以，解得， 即的取值范围 【变式2】已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意，函数在为单调递减函数，可得， 即函数的值域为集合， 又由函数在区间 上单调递增，可得， 即函数的值域构成集合， 又由， ，使成立，即 , 则满足，解得 ， 即实数的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $