第二章 等式与不等式全章高频重点题型突破（十四大高频+三大重难，专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 以“基础-核心-综合”三级进阶体系整合等式与不等式题型，通过题型分类提炼解题方法，强化知识逻辑与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|14题型，含选择、填空、解答|根与系数关系应用、不等式性质比较大小、均值不等式求最值|从概念（不等关系判断）到运算（解不含参不等式）再到简单应用（实际问题）| |核心提升|3题型，含多选、解答|含参不等式分类讨论、“1”的妙用、根的分布数形结合|深化基础题型，聚焦参数处理与转化思想，构建逻辑推理链条| |综合攻坚|综合题，跨题型融合|知识交汇应用，如不等式与函数、方程综合|整合全章知识，培养综合解题与数学表达能力|

第二章 等式与不等式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的根与系数的关系 题型8 绝对值不等式的解法 题型2 不等关系的判断 题型9 利用均值不等式判断不等关系 题型3 由不等式的性质比较数(式)大小 题型10 均值不等式求积的最大值 题型4 利用不等式求值或取值范围 题型11 均值不等式求和的最小值 题型5 解不含参数的一元二次不等式 题型12 二次（一次）商式的最值 题型6 由一元二次不等式的解确定参数 题型13 均值不等式在实际问题中的应用 题型7 分式不等式 题型14 不等式恒成立问题 核心提升·重难题型归纳 题型1 含参不等式的解法 题型2 均值不等式中“1”的妙用 题型3 一元二次方程根的分布问题 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 一元二次方程的根与系数的关系 1．已知方程的两个根为、，则的值为______. 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 2．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 3．关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 【答案】10 【详解】解：∵ ，其中 ，，， ∴ ，， ∵ ，即 ， ∴， ∴ ． 4．设是方程的两个实数根，则_________ 【答案】 【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解. 【详解】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得， 所以，故， 故答案为：. 5．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据韦达定理得和，再将通分化简即得. 【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴. 6．已知实数，满足，，则______． 【答案】或2或 【分析】对分，两种情况讨论得解. 【详解】当时，由题得所以或，所以或2； 当时，实数，是方程的两个实数根， 所以， 综合得或2或. 故答案为：或2或 ◆题型2 不等关系的判断 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 2．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 4．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质即可得 【详解】选项A ，已知，（由得），根据同向不等式的可加性： ，因此恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较： ， 分析符号：，（，故），分母为正； ，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确. 5．（多选）（25-26高二下·山东临沂·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. ◆题型3 由不等式的性质比较数(式)大小 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 5．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. ◆题型4 利用不等式求值或取值范围 1．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 4．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 5．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 6．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. ◆题型5 解不含参数的一元二次不等式 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得，则， 而恒成立，故，可得，故C正确. 5．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. ◆题型6 由一元二次不等式的解确定参数 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 2．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 4．（多选）（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 5．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 6．（25-26高二下·广西柳州·期中）关于的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】1 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理即可求解． 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以． 7．（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 8．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 9．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. ◆题型7 分式不等式 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，得或， 因为，所以. 2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 3．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 4．（25-26高二下·湖南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果． 【详解】解：不等式，可化为，整理得， 即，解得． 所以不等式的解集为． 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 6．（25-26高二下·安徽合肥·期末）不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由题得，再因式分解约分即可求解． 【详解】由不等式可得，且，所以． ◆题型8 绝对值不等式的解法 1．（25-26高一下·浙江金华·期末）设集合，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解绝对值不等式得到集合，再结合集合的交集运算求解即可． 【详解】由，即，解得， 则， 所以． 2．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解绝对值不等式和一元一次不等式得到集合，再计算两集合的交集即可得到结果. 【详解】对于不等式，根据绝对值的性质，等价于，解得，所以； 对于不等式，解得，所以， 所以. 3．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方后可求不等式的解. 【详解】因为，故，化简得，解得， 即不等式的解集为. 4．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据绝对值不等式的性质，将其转化为不含绝对值的不等式，对进行分类讨论，再结合已知解集的端点值，求出的值即可. 【详解】解：由等价于，由题意知， 当时，，则，解得（舍）； 当时，，则，解得，符合题意. 5．（2026·上海松江·模拟预测）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 则此不等式的解集为. 6．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. ◆题型9 利用均值不等式判断不等关系 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 4．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 5．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD ◆题型10 均值不等式求积的最大值 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 3．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 4．（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. 5．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. ◆题型11 均值不等式求和的最小值 1．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 3．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 5．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时， 取得最小值8. 6．（25-26高二下·天津·期末）的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先化简分式并换元，确定换元后变量的取值范围，结合对勾函数的单调性即可求得最小值. 【详解】令， 当且仅当取等号，故， 原式变为， 因为函数，在上单调递增， 所以当时，y取最小值， 故的最小值为. 7．（多选）（25-26高二下·河南·阶段检测）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. ◆题型12 二次（一次）商式的最值 1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 3．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 4．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 5．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 6．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】/ 【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： ◆题型13 均值不等式在实际问题中的应用 1．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 2．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 5．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. ◆题型14 不等式恒成立问题 1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为，故， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：D 2．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解. 【详解】因为，当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9. 故选:D. 3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】由正实数x，y， ，则， 即， 当且仅当，即时，等号成立，则， 故选：A. 4．（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分式不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D 5．（25-26高一上·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 6．已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 【答案】9 【分析】利用参变分离，根据结合基本不等式求得结果. 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. ◆题型1 含参不等式的解法 1．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：A. 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 3．（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 4．（多选）关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 【答案】ABD 【分析】将原不等式变形为.当，，时，分别求出不等式的解集，即可判断A，B，C；令，当时，求出在上的最大值，即可判断D. 【详解】将不等式变形为， 利用平方差公式分解可得， 即①. 当时，①式可化为，解得，所以不等式的解集为， 故A正确； 当时，，所以不等式的解集为，故B正确； 当时，若，则，所以不等式的解集为， 不是，故C错误； 令，其图象的对称轴方程为. 当时，. 当时，，，所以， 即不等式在上恒成立，故D正确. 故选：ABD 5．（多选）（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 7．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. ◆题型2 均值不等式中“1”的妙用 1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 4．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 5．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 6．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. ◆题型3 一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 2．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 3．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 4．（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 5．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程实根分布列出不等式组，再求解作答. 【详解】关于的方程在区间内有两个不等实根，令， 则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】令，由二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令， 由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间内， 只需，解不等式组可得，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般要分析对应的二次函数图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号，考查计算能力，属于中等题. 1．（25-26高一上·山东济南·期末）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质，结合作差法判断各个选项. 【详解】因为，， 根据不等式的性质 则，，A、B错误； ，所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：C 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】B 【分析】分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由，得，解得； 由，得. 因为，推不出， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 3．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天销量为株， 每天的销售额为， ，即，解得， 每株这种多肉植物的最低售价为元，故C正确． 故选：C． 4．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 5．关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根为，则必为方程的一个根； ③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断①，将原方程的根取倒数并变号后代入新方程，其等式关系不变即可判断②，根据韦达定理即可判断③. 【详解】①∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，则， ∵ 是一元二次方程，∴， ∴方程 也有两个不相等的实数根，①正确； ②∵是 的根，∴， 两边同除以 （），整理得： ，即 ， ∴ 是方程，的根，②正确； ③根据韦达定理，方程 的两根之积 ，即，故 ③正确． 6．（25-26高二下·云南曲靖·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，利用平方法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 7．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 8．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为，即的两个根为，且，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，即，即，可转化为， 因为不等式其解集为或， 所以且关于的方程的两个根为，， 所以 或，解得或（舍去）， 所以不等式，即，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：C. 9．（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 10．（多选）（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 11．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】 【详解】将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 14．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，且． (1)求的最小值； (2)若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）结合“”的妙用，将恒成立，转化为，进而求出结果即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，则，， 当且仅当，即，时等号成立. （2）由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 由恒成立，则得， 解得，所以实数的取值范围为. 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的根与系数的关系 题型8 绝对值不等式的解法 题型2 不等关系的判断 题型9 利用均值不等式判断不等关系 题型3 由不等式的性质比较数(式)大小 题型10 均值不等式求积的最大值 题型4 利用不等式求值或取值范围 题型11 均值不等式求和的最小值 题型5 解不含参数的一元二次不等式 题型12 二次（一次）商式的最值 题型6 由一元二次不等式的解确定参数 题型13 均值不等式在实际问题中的应用 题型7 分式不等式 题型14 不等式恒成立问题 核心提升·重难题型归纳 题型1 含参不等式的解法 题型2 均值不等式中“1”的妙用 题型3 一元二次方程根的分布问题 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 一元二次方程的根与系数的关系 1．已知方程的两个根为、，则的值为______. 2．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 3．关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 4．设是方程的两个实数根，则_________ 5．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 6．已知实数，满足，，则______． ◆题型2 不等关系的判断 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·山东临沂·期末）若，则（   ） A． B． C． D． ◆题型3 由不等式的性质比较数(式)大小 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 5．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． ◆题型4 利用不等式求值或取值范围 1．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 4．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 5．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 6．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． ◆题型5 解不含参数的一元二次不等式 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二下·陕西渭南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． ◆题型6 由一元二次不等式的解确定参数 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 6．（25-26高二下·广西柳州·期中）关于的不等式的解集是，则实数__________. 7．（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 8．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 9．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． ◆题型7 分式不等式 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·湖南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽合肥·期末）不等式的解集为________． ◆题型8 绝对值不等式的解法 1．（25-26高一下·浙江金华·期末）设集合，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海松江·模拟预测）不等式的解集为________． 6．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． ◆题型9 利用均值不等式判断不等关系 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． ◆题型10 均值不等式求积的最大值 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 4．（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 5．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． ◆题型11 均值不等式求和的最小值 1．（25-26高二下·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 3．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 5．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 6．（25-26高二下·天津·期末）的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 7．（多选）（25-26高二下·河南·阶段检测）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 ◆题型12 二次（一次）商式的最值 1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 4．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 5．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 6．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 7．（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ ◆题型13 均值不等式在实际问题中的应用 1．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 2．（25-26高一上·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    5．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. ◆题型14 不等式恒成立问题 1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 6．已知，若恒成立，则m的最大值为____________ ◆题型1 含参不等式的解法 1．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·广东梅州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 5．（多选）（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 7．（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． ◆题型2 均值不等式中“1”的妙用 1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 5．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 6．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． ◆题型3 一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 4．（多选）（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 5．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____． 6．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是__________. 1．（25-26高一上·山东济南·期末）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 3．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为元，则每天可卖出株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于元，则每株这种多肉植物的最低售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．5元 4．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根为，则必为方程的一个根； ③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二下·云南曲靖·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 8．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 10．（多选）（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 14．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，且． (1)求的最小值； (2)若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $