第2章 章末复习课 等式与不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学单元复习讲义围绕不等式主题，通过“性质应用-解集求解-均值不等式-恒成立问题”四大模块系统构建知识体系，以要点归纳明确不等式性质前提条件等核心内容，结合例题解析与反思感悟突出易错点，形成逻辑清晰的知识脉络。 讲义亮点在于“例题-跟踪训练”双轨设计，如例2含参数一元二次不等式分类讨论，培养逻辑推理与数学运算素养，反思感悟总结特殊值验证法等技巧，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施分层教学与精准复习。

一、不等式性质的应用 1.在使用不等式时，一定要弄清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘.可乘性中的“c的符号”等都需要注意. 2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的素养. 例1　(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ab>0，bc-ad>0，则->0 C.若a>b，c>d，则a-d>b-c D.若a>b，c>d>0，则> 答案　BC 解析　若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错误； 若ab>0，bc-ad>0，则>0，化简得->0，故B正确； 若c>d，则-d>-c，又a>b，则a-d>b-c，故C正确； 若a=-1，b=-2，c=2，d=1，则=-1=-1==-1，故D错误. 反思感悟　判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，然后进行推理判断. (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断. 跟踪训练1　若a>0，b>0，且P=Q=则P，Q的大小关系是(　　) A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 答案　D 解析　因为P2-Q2=-(a+b) =-≤0，所以P2≤Q2， 又P>0，Q>0，所以P≤Q. 二、求不等式的解集 1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　解下列不等式： (1)|x-1|+|2x+1|<2； (2)ax2-(a+1)x+1<0. 解　(1)①当x<-时，原不等式等价于 解得-<x<-. ②当-≤x≤1时，原不等式等价于 解得-≤x<0. ③当x>1时，原不等式等价于 不等式组无解. 由①②③得原不等式的解集为. (2)①当a=0时，原不等式即为-x+1<0， 解得x>1； ②当a<0时，原不等式化为(x-1)>0， 解得x<或x>1； ③当a>0时，原不等式化为(x-1)<0. 若=1，即a=1时，不等式无解； 若<1，即a>1时，解得<x<1； 若>1，即0<a<1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a=1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 反思感悟　(1)含有两个绝对值的不等式的解法要注意分类讨论思想的应用. (2)对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对根的大小进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏. 跟踪训练2　若不等式ax2+5x-2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a+5的解集. 解　(1)依题意，可得ax2+5x-2=0的两个实数根为和2，由根与系数的关系，得 解得a=-2. (2)将a=-2代入不等式，得>3， 即-3>0，整理得>0， 即(x+1)(x+2)<0，解得-2<x<-1， 则不等式的解集为(-2，-1). 三、均值不等式的应用 1.均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际应用相结合. 2.熟练掌握均值不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 例3　已知a，b都是正数，且a2+=1，则y=a的最大值为　　　　.  答案　 解析　∵a2+=1，∴2a2+b2=2. 又∵a，b都是正数， ∴y=a= =·≤·= 当且仅当即时，等号成立. ∴y=a有最大值. 反思感悟　均值不等式的最值问题的解题策略 注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的.很多题目中特别注意“1”的代换. 跟踪训练3　已知正数x，y满足x+y=1，则+的最小值为(　　) A.5 B. C. D.2 答案　C 解析　因为x+y=1，所以x+(1+y)=2， 则2=[x+(1+y)=++5≥2+5=9， 所以+≥当且仅当 即时，等号成立， 因此+的最小值为. 四、不等式恒成立问题 1.一般是指一元二次不等式恒成立的问题，即 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 2.掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(-∞，0)∪(1，+∞) D.(-∞，0]∪[1，+∞) 答案　A 解析　当k=0时，不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上，k的取值范围是[0，1]. 反思感悟　解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题. 跟踪训练4　已知正实数a，b满足+=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥3} B.{m|m≤3} C.{m|m≤6} D.{m|m≥6} 答案　D 解析　因为a>0，b>0+=1， 所以a+b==10++≥10+2=16，当且仅当=即a=4，b=12时，等号成立. 由题意，得16≥-x2+4x+18-m，即x2-4x-2≥-m对任意的实数x恒成立，又x2-4x-2=-6≥-6，所以-6≥-m，即m≥6. 学科网（北京）股份有限公司 $