第2章 习题课 均值不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学均值不等式的应用，系统梳理连续运用求最值、求参数取值范围、比较大小及与函数等知识交汇的核心题型，构建从基础应用到综合拓展的学习支架。 资料通过例析与跟踪训练结合，归纳消元、换元等方法，强调等号成立条件培养严谨思维，课时对点练助力巩固。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学眼光发现问题、用数学语言解决问题的能力。

习题课　均值不等式 均值不等式≤(a>0，b>0)的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有连续运用均值不等式求最值、求变量的取值范围、比较大小，另外均值不等式也常和其他知识交汇考查. 一、连续运用均值不等式求最值 例1　已知a>b>0，求a2+的最小值. 解　由a>b>0，得a-b>0， ∴b(a-b)≤=. ∴a2+≥a2+≥2=4，当且仅当b=a-b且a2=即a=b=时取等号. ∴a2+的最小值为4. 反思感悟　多次使用均值不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法. 跟踪训练1　已知a>0，b>0，求++2的最小值. 解　∵a>0，b>0， ∴++2≥2+2 ≥4=4， 当且仅当a=b=1时，等号成立. 二、利用均值不等式求参数的值或取值范围 例2　已知4x+(x>0，a>0)在x=3时取得最小值，则a的值为　　　　.  答案　36 解析　4x+≥2=4 当且仅当4x=即x==3时，等号成立， ∴a=36. 反思感悟　求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. 跟踪训练2　已知x>0，y>0+=1，则使不等式x+2y≥m恒成立的实数m的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，6+4 解析　因为x>0，y>0+=1， 所以x+2y=(x+2y)=4+++2 ≥6+2=6+4 当且仅当=即x=4+2y=+1时，等号成立， 所以要使不等式x+2y≥m恒成立，只需m≤6+4. 三、利用均值不等式比较大小 例3　已知0<a<b<1，P=Q=M=那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A.P>Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P 答案　B 解析　因为0<a<b<1，所以> 又因为<<= 故M>P>Q. 反思感悟　运用均值不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变形. (2)应注意成立的条件，即a+b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a=b；a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a=b. 跟踪训练3　(多选)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(　　) A.a2+1>a B.≥4 C.++ab≥2 D.a2+9>6a 答案　ABC 解析　由于a2+1-a=+>0，故A恒成立； 由于=ab+++≥2+2=4，当且仅当 即a=b=1时，等号成立，故B恒成立； ∵a>0，b>0，∴+≥当且仅当a=b时等号成立， 又+ab≥2当且仅当ab=时等号成立， ∴++ab≥2(当且仅当 即a=b=时取等号)，故C恒成立； 当a=3时，a2+9=6a，故D不恒成立. 四、与其他知识的交汇 例4　设y=ax2-4x+c(x∈R)的最小值为0，则+的最小值为(　　) A.3 B. C.5 D.7 答案　A 解析　由题意知a>0，二次函数y=ax2-4x+c的图象与x轴有一个交点，则Δ=16-4ac=0， 所以ac=4，c>0.则+≥2×=3， 当且仅当=即a=6，c=时取等号，则+的最小值是3. 反思感悟　对于均值不等式和其他知识交汇问题，一般以其他知识为载体，通过对所给条件(其他知识)的研究，得到一个等式，在此条件下利用均值不等式解决问题. 跟踪训练4　若点A(-2，-1)在函数y=-x-的图象上，其中m>0，n>0，则+的最小值为(　　) A.2 B.4 C. D. 答案　D 解析　因为点A(-2，-1)在函数y=-x-的图象上，所以-2m-n+2=0，即2m+n=2， 所以+=+=2+++≥+2=当且仅当m=n=时等号成立，所以+的最小值为. 1.知识清单： (1)连续运用均值不等式求最值. (2)利用均值不等式求参数的值或取值范围. (3)利用均值不等式比较大小. (4)均值不等式与其他知识的交汇问题. 2.方法归纳：消元法、换元法、拼凑法、“1”的代换等. 3.常见误区：在同一个题目多次使用均值不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致. 1.已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b 答案　D 解析　∵0<a<1，0<b<1，∴a2<a，b2<b， ∴a2+b2<a+b，又a2+b2>2ab(a≠b)， ∴2ab<a2+b2<a+b. 又∵a+b>2(a≠b)，∴a+b最大. 2.当x>-1时，y=有(　　) A.最小值 B.最大值4 C.最小值 D.最大值 答案　D 解析　因为x>-1，所以x+1>0，，所以y==≤=当且仅当x+1=即x=1时，等号成立， 即y=有最大值. 3.已知点P(x，y)在一次函数y=-4x+2的图象上运动，则它的横纵坐标之积取得最大值时，点P的坐标为(　　) A.(1，-2) B. C. D. 答案　B 解析　由题意知y=-4x+2，所以4x+y=2，xy取到最大值时，一定是x>0，y>0， 所以4x+y≥2. 所以xy≤当且仅当4x=y， 即x=y=1时取等号. ∴当xy=时，P. 4.(多选)已知a>0，b>0，且2a+b=1，若不等式+≥m恒成立，则m的值可以为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 答案　BCD 解析　由a>0，b>0，且2a+b=1， 可得+=(2a+b)=5++≥5+2=9， 当且仅当=即a=b=时，等号成立， 又因为不等式+≥m恒成立，所以m≤9， 结合选项，可得选项B，C，D符合题意. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知m=a+(a>2)，n=4-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是(　　) A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定 答案　A 2.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+n=a+则m+n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　∵ab=1， ∴m+n=b++a+=a+b+=2(a+b)≥4=4.当且仅当a=b=1时，等号成立，故选B. 3.若x>0，则x+≥a恒成立的一个充分条件是(　　) A.a>80 B.a<80 C.a>90 D.a<100 答案　B 解析　因为x>0，所以由均值不等式得x+≥2=90， 当且仅当x=即x=45时取等号， 要使x+≥a恒成立，则a≤90， 所以x+≥a恒成立的一个充分条件是a<80. 4.已知x≥0，则y=的最小值是(　　) A.-1 B.3 C.6 D.12 答案　A 解析　y==(x+1)+-7， 因为x≥0，所以(x+1)+≥2=6，当且仅当x+1=3，即x=2时，等号成立. 故y的最小值为-1. 5.已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 答案　B 解析　a>0，b>0，则a+b>0， 不等式≤恒成立， 即m≤(a+b)恒成立， (a+b)==13++≥13+2=25， 当且仅当=即b=a时等号成立， 所以m≤25，即实数m的最大值为25. 6.已知x>0，y>0+=1，若不等式x+3y>m2+m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　A 解析　∵x>0，y>0+=1， ∴x+3y==++6≥2+6=12， 当且仅当=即x=6，y=2时取等号. ∵不等式x+3y>m2+m恒成立， ∴m2+m<12，解得-4<m<3. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.设a+b=2(a>0，b>0)，当+取最小值时下列结论正确的是(　　) A.a= B.ab=1 C.+= D.+= 答案　AC 解析　因为a+b=2(a>0，b>0)， 所以+=+=+=++≥+2=. 当且仅当=即b2=4a2时等号成立. 又因为a>0，b>0，a+b=2，所以a=b= 所以+的最小值为ab=. 8.已知a>0，b>0，且a+b+=1，下列说法正确的是(　　) A.的最小值为2 B.ab的最大值为 C.+的最大值为6 D.a+b的最小值为 答案　ABD 解析　因为a>0，b>0，且a+b+=1， 对于选项A，因为a2+b2≥2ab，可得≥2， 当且仅当a=b=时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B，因为a+b=1-≥2可得≤即ab≤ 当且仅当a=b=时，等号成立， 所以ab的最大值为故B正确； 对于选项C，因为+=(a+b+)=2++++≥2+2+2=6， 当且仅当a=b=时，等号成立， 所以+的最小值为6，故C错误； 对于选项D=1-(a+b)≤可得a+b≥ 当且仅当a=b=时，等号成立， 所以a+b的最小值为故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若对任意x>0≤a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  答案　 解析　因为x>0， 所以=≤= 当且仅当x=即x=1时等号成立， 又对任意x>0≤a恒成立，所以a≥. 10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　　　　.  答案　4 解析　不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需(x+y)的最小值大于等于9， ∵(x+y)=1+a++≥a+2+1，当且仅当y=x时，等号成立， ∴a+2+1≥9，∴≥2或≤-4(舍去)， ∴a≥4，即正实数a的最小值为4. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知a>0，b>0，a+b=1，比较+与2的大小关系. 解　≤= ≤= ∴+≤+==2， 当且仅当a=b=时，等号成立. 12.(15分)(1)问题：正数a，b满足a+b=1，求+的最小值.其中一种解法是： +=(a+b)=1+++2≥3+2 当且仅当=且a+b=1，即a=-1且b=2-时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足-=1，试比较a2-b2和(x-y)2的大小，并指明等号成立的条件；(7分) (2)利用(1)的结论，求M=-的最小值，并求出使M取得最小值时m的值.(8分) 解　(1)a2-b2=(a2-b2)×1=(a2-b2)=x2+y2- 又+≥2=2|xy|，当且仅当=时等号成立， 所以a2-b2=x2+y2-≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2， 即a2-b2≤(x-y)2，当且仅当=且x，y同号时等号成立.此时x，y满足-=1. (2)令x=y=构造-=1求出a2=1，b2= 由M=-可得m≥1，且4m-3=m-1+(3m-2)>m-1，故M>0， 由(1)的结论可得M=x-y≥==. 当且仅当即时等号成立，此时m=. 即当m=时，M取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $