第2章 2.2.3 一元二次不等式的解法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法这一核心知识点，从实际情境抽象概念入手，系统梳理不含参数不等式的因式分解法与配方法，递进至含参数不等式的分类讨论，延伸到简单分式不等式的转化求解及二次函数与方程、不等式的关系应用，构建完整学习支架。 资料以园艺师围矩形区域问题引入，培养数学眼光，通过多个延伸探究（如参数范围、二次项系数符号讨论）发展数学思维中的推理能力，结合例题、跟踪训练与课时对点练，课中助力教师分层教学，课后辅助学生巩固知识、查漏补缺，体现用数学语言表达现实问题的应用意识。

2.2.3　一元二次不等式的解法 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法.3.会解简单的分式不等式. 一、不含参数的一元二次不等式的解法 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12-x)m. 由题意，得(12-x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}. 整理得x2-12x+20<0，x∈{x|0<x<12}. 知识梳理 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 2.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法：如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞). (2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 注意点： (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. (3)一元二次不等式解集的区间端点即为对应方程的根. 例1　(1)(课本例1)求不等式x2-x-2>0的解集. 解　因为x2-x-2=(x+1)(x-2)， 所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0，因此所求解集为(-∞，-1)∪(2，+∞). (2)(课本例2)求下列不等式的解集： ①x2+4x+1≥0；　　　②x2-6x-1≤0； ③-x2+2x-1<0； ④2x2+4x+5>0. 解　①因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=(x+2)2-3， 所以原不等式可化为(x+2)2-3≥0， 即(x+2)2≥3， 两边开平方得|x+2|≥从而可知 x+2≤-或x+2≥ 因此x≤-2-或x≥-2+所以原不等式的解集为(-∞，-2-]∪[-2++∞). ②因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10， 所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0， 即(x-3)2≤10， 两边开平方得|x-3|≤从而可知 -≤x-3≤ 因此3-≤x≤3+所以原不等式的解集为[3-3+]. ③原不等式可化为x2-2x+1>0， 又因为x2-2x+1=(x-1)2，所以上述不等式可化为(x-1)2>0. 注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为(-∞，1)∪(1，+∞). ④原不等式可以化为x2+2x+>0. 因为x2+2x+=(x+1)2+ 所以原不等式可以化为(x+1)2+>0， 即(x+1)2>- 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R. 例1　求下列不等式的解集： (1)x2-10x-600>0； (2)-2x2+5x-2<0. 解　(1)因为x2-10x-600=(x+20)(x-30)， 所以原不等式等价于(x+20)(x-30)>0， 因此所求解集为(-∞，-20)∪(30，+∞). (2)因为-2x2+5x-2=-2 =-2=-2+ 所以-2+<0，即>. 所以x->或x-<- 解得x>2或x<. 所以原不等式的解集为∪(2，+∞). 反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数； 第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式的形式； 第三步：写出不等式的解集. 跟踪训练1　求下列不等式的解集： (1)-x2+3x-5>0； (2)-2<x2-3x≤10. 解　 (1)原不等式可化为x2-6x+10<0， 即(x-3)2+1<0，因此原不等式的解集为∅. (2)原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0，解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2-3x-10≤0，解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2　求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 解　易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1，x2=a+3，且x1<x2. 故不等式的解集为{x|x<a-1或x>a+3}. 延伸探究1　若将例2中的不等式改成[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)， 该如何求解呢？求解过程与例3相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3， (1)当1-a>a+3，即a<-1时， 不等式的解集为{x|x>1-a或x<a+3}. (2)当1-a=a+3，即a=-1时， 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1-a<a+3，即a>-1时， 不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}. 显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了. 延伸探究2　若将延伸探究1中的不等式改成(ax-2)(x+1)>0(a>0)， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究1相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1，因为a>0，所以>-1， 故不等式的解集为. 由于x1与 x2的大小关系能确定，过程变简单了. 延伸探究3　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a<0”， 该如何求解呢？求解过程与延伸探究2相比简单了还是复杂了？为什么？ 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 当a<0时，x1=x2=-1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，分3种情况： (1)当-1<<0，即a<-2时， 解得-1<x<； (2)当=-1，即a=-2时，无解； (3)当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述，当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 显然，由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集，过程变复杂了. 延伸探究4　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a≠0”，该如何求解呢？ 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 下面讨论x1与 x2的大小关系： (1)若a>0，则>-1， 故不等式的解集为. (2)若a<0， ①当-1<<0，即a<-2时，解得-1<x<； ②当=-1，即a=-2时，无解； ③当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述， 当a>0时，不等式的解集为； 当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 延伸探究5　若将延伸探究2中的“a>0”改为“a∈R”，与延伸探究4相比，有什么变化？ 解　不等式中，二次项系数为a，因为a∈R，所以我们应在延伸探究4的解题过程中添加a=0的情况. 当a=0时，原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}. 反思感悟　解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算. 三、简单的分式不等式的解法 问题2　>0与(x-3)(x+2)>0等价吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0等价吗？ 提示　>0与(x-3)(x+2)>0等价；≥0与(x-3)(x+2)≥0不等价，前者的解集中没有-2，后者的解集中有-2. 例3　(课本例3)求不等式≥1的解集. 解　由题意知x-2≠0，因此(x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0， 即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为(-∞，-3]∪(2，+∞). 例3　解下列不等式： (1)≥0； (2)≥2. 解　(1)原不等式等价于 即解得-2≤x<3. 所以原不等式的解集为{x|-2≤x<3}. (2)由题意知x+2≠0，因此(x+2)2>0， 原不等式两边同时乘以(x+2)2可得1-x≥2(x+2)2且x+2≠0， 即(2x+7)(x+1)≤0且x≠-2， 所以-≤x≤-1，且x≠-2. 因此原不等式的解集为∪(-2，-1]. 反思感悟　解分式不等式时，首先经过同解变形转化为形如>0(≥0)或<0(≤0)的形式，再转化为一元二次不等式或其他整式不等式求解，解分式不等式进行转化时，要注意分母不为零. 跟踪训练2　(1)不等式≥2的解集是(　　) A. B. C.∪(1，3] D.∪(1，3] 答案　D 解析　≥2⇔⇔ 所以原不等式的解集是∪(1，3]. (2)不等式<1的解集为　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　方法一　原不等式可化为-1<0， 即>0.等价于(3x-2)(4x-3)>0. 解得x<或x>. 所以原不等式的解集为∪. 方法二　由题意知3-4x≠0，所以(3-4x)2>0， 原不等式两边同时乘以(3-4x)2可得(3-4x)·(2x-1)<(3-4x)2且3-4x≠0， 即(3x-2)(4x-3)>0，因此，所求不等式的解集为∪. 四、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例4　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 解　由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的两个根， 由根与系数的关系可知=-5=6. 故=- 又由a<0知c<0，故不等式cx2+bx+a<0， 即x2+x+>0，即x2-x+>0， 解得x<或x> 所以不等式cx2+bx+a<0的解集为 . 延伸探究6　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是”.求不等式cx2+bx+a<0的解集. 解　方法一　由ax2+bx+c≥0的解集为 知a<0， 且-2为方程ax2+bx+c=0的两个根， ∴-=即=-. 又=-∴b=-a，c=-a， ∴不等式cx2+bx+a<0变为 x2+x+a<0， 即2ax2+5ax-3a>0. 又a<0，∴2x2+5x-3<0， 故所求不等式的解集为. 方法二　由已知得a<0， 且+2=-×2=∴c>0， 设方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1，x2，x1<x2， 则由根与系数的关系知x1+x2=-x1x2= 其中==- -===- ∴x1=-3，x2=. ∴不等式cx2+bx+a<0(c>0)的解集为 . 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 1.知识清单： (1)一元二次不等式的常见解法. (2)简单的分式不等式的解法. 2.方法归纳：配方法、因式分解法、分类讨论法. 3.常见误区：忽略二次项系数的符号. 1.不等式-2x2+x+3<0的解集是(　　) A.{x|x<-1} B. C. D. 答案　D 解析　方法一　因为-2x2+x+3=-(2x2-x-3) =-(x+1)(2x-3)，所以-(x+1)(2x-3)<0， 即(x+1)(2x-3)>0，所以x<-1或x> 所以不等式的解集为. 方法二　不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0， 因为方程2x2-x-3=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0， 所以该方程的两实根为x1=-1，x2= 又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上， 所以不等式-2x2+x+3<0的解集是. 2.设a，b，c为实数，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3}，则a∶b∶c等于(　　) A.1∶4∶3 B.1∶3∶4 C.1∶(-4)∶3 D.1∶(-3)∶4 答案　C 解析　由题意，1和3为关于x的方程ax2+bx+c=0的两实根，且a>0，所以即 所以a∶b∶c=a∶(-4a)∶3a=1∶(-4)∶3. 3.不等式≥1的解集为　　　　.  答案　 解析　因为≥1等价于≥0， 所以≤0，等价于 解得-4<x≤. 所以原不等式的解集为. 4.若a<0，则关于x的不等式a(x+1)<0的解集为　　　　　　　　　.  答案　 解析　因为a<0，所以原不等式等价于(x+1)>0，方程(x+1)=0的两根为-1，-显然->0>-1，所以原不等式的解集为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是(　　) A. B. C.∅ D. 答案　D 解析　原不等式可化为(3x+1)2≤0， ∴3x+1=0，解得x=-∴原不等式的解集为. 2.不等式≥1的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　不等式≥1，移项得-1≥0， 即≤0，可化为 解得≤x<2，则原不等式的解集为. 3.(多选)下列各项可以作为不等式>x+1的解集的子集的是(　　) A.{x|x<-3} B.{x|x>5} C.{x|x<-} D.{x|1<x<} 答案　ACD 解析　当x-1>0，即x>1时，有1>(x+1)(x-1)，即x2<2， ∴1<x<； 当x-1<0，即x<1时，有1<(x+1)(x-1)，即x2>2， ∴x<-或x>(舍去)，故原不等式的解集为(-∞，-)∪(1)， A，C，D均为其子集. 4.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　取x=1检验，满足不等式，排除A； 取x=4检验，不满足不等式，排除B，C. 方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0， 即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1. 所以原不等式的解集为. 5.不等式<2的解集为(　　) A.{x|x≠-2} B.R C.∅ D.{x|x<-2或x>2} 答案　A 解析　因为x2+x+1=+>0， 故原不等式等价于x2-2x-2<2x2+2x+2， 即x2+4x+4>0，即(x+2)2>0， ∴x≠-2.∴原不等式的解集为{x|x≠-2}. 6.(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.a-b+c>0 C.a+b+c>0 D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1} 答案　ABD 解析　对于A，a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=1=-1×2=-2=所以b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确； 对于B，由题意可知，当x=1时，a-b+c>0，所以B正确； 对于C，当x=-1时，a+b+c=0，所以C错误； 对于D，不等式ax2+bx+c>0可化为ax2+ax-2a>0，因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2<x<1， 所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}，所以D正确. 7.(5分)若a>0，b>0，则不等式-b<<a的解集为　　　　　　　　　.  答案　 解析　原不等式等价于 即可得 故不等式的解集为. 8.(5分)若不等式|x|<1成立时，不等式[x-(a+1)]·[x-(a+4)]<0也成立，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　{a|-3≤a≤-2} 解析　令A={x||x|<1}={x|-1<x<1}，B={x|[x-(a+1)][x-(a+4)]<0}={x|a+1<x<a+4}. 依题意，A⊆B，在数轴上作出包含关系图形， 如图所示，则 解得-3≤a≤-2. 9.(10分)解下列不等式： (1)6-2x≤x2-3x<18；(3分) (2)≥1；(3分) (3)x2-3|x|+2>0.(4分) 解　(1)原不等式等价于 即 解得-3<x≤-2或3≤x<6， 所以原不等式的解集为(-3，-2]∪[3，6). (2)由≥1，得-1=≥0， 所以 解得<x≤. 所以原不等式的解集为. (3)原不等式等价于 或 解得x∈[0，1)∪(2，+∞)或x∈(-∞，-2)∪(-1，0). 故原不等式的解集为(-∞，-2)∪(-1，1)∪(2，+∞). 10.(10分)已知不等式x2+x-6<0的解集为A，不等式x2-2x-3<0的解集为B. (1)求A∩B；(5分) (2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，求不等式ax2+bx+3<0的解集.(5分) 解　(1)由x2+x-6<0，得-3<x<2， ∴A={x|-3<x<2}. 由x2-2x-3<0，得-1<x<3， ∴B={x|-1<x<3}. ∴A∩B={x|-1<x<2}. (2)由题意得，-1，2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根，所以解得 ∴-x2-2x+3<0，即x2+2x-3>0， 解得x<-3或x>1. ∴不等式ax2+bx+3<0的解集为{x|x<-3或x>1}. 11.(多选)在R上定义运算☉：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的整数x的取值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案　BC 解析　∵x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0， ∴x2+x-2<0， 即(x-1)(x+2)<0，解集为(-2，1)， 又x是整数，∴x的取值可以是-1和0. 12.若关于x的不等式x2+mx+2m-3≤0有解，则实数m的取值范围是(　　) A.[2，6] B.(-∞，2]∪[6，+∞) C.(2，6) D.(-∞，2)∪(6，+∞) 答案　B 解析　因为关于x的不等式x2+mx+2m-3≤0有解，所以m2-4(2m-3)=m2-8m+12≥0， 解得m≤2或m≥6，故实数m的取值范围是(-∞，2]∪[6，+∞). 13.(多选)已知不等式x2-(3a+1)x+2a2+2a>0，下列说法正确的是(　　) A.若a=1，则不等式的解集为R B.若a=0，则不等式的解集为{x|x>1或x<0} C.若a>1，则不等式的解集为{x|x<a+1或x>2a} D.若a<1，则不等式的解集为{x|x<2a或x>a+1} 答案　BCD 解析　不等式x2-(3a+1)x+2a2+2a>0， 整理得x2-(3a+1)x+2a(a+1)>0， 即(x-2a)>0， 若a=1，则(x-2)2>0，所以不等式的解集为{x|x≠2}，故选项A错误； 若a=0，则x(x-1)>0，所以不等式的解集为{x|x>1或x<0}，故选项B正确； 若a>1，则2a>a+1，所以不等式的解集为{x|x<a+1或x>2a}，故选项C正确； 若a<1，则2a<a+1，所以不等式的解集为{x|x<2a或x>a+1}，故选项D正确. 14.(5分)设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　 解析　设y=x2-2ax+a+2， 因为不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A， 且A⊆{x|1≤x≤3}， 所以对于方程x2-2ax+a+2=0， 若A=∅，则Δ=4a2-4(a+2)<0， 即a2-a-2<0，解得-1<a<2. 若A≠∅，则 即解得2≤a≤. 综上所述，a的取值范围为. 15.在R上定义运算：=ad-bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　D 解析　由定义知，不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1， ∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立. ∵x2-x+1=+≥ ∴a2-a≤解得-≤a≤ 则实数a的最大值为. 16.(11分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得的利润是100元. (1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(5分) (2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，该工厂的生产速度应为多少？(6分) 解　(1)根据题意，2×100≥3 000， 即5x-14-≥0， 又1≤x≤10， ∴5x2-14x-3≥0，即(x-3)(5x+1)≥0， 解得x≤-(舍)或x≥3. ∴所求x的取值范围是{x|3≤x≤10}. (2)设利润为y元， 则y=·100 =9×104× 故当=即x=6时，y取得最大值. 即该工厂应该选择以6千克/小时的速度生产. 学科网（北京）股份有限公司 $