第2章 2.2.2 不等式的解集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本高中数学讲义聚焦不等式的解集核心知识点，从方程（组）解的概念延伸至不等式（组）解集的定义及求法，进而结合数轴几何意义探究含绝对值不等式的解法，同步融入数轴上两点间距离与中点坐标公式，构建递进式学习支架。 资料以问题驱动导入，通过对比方程（组）引发思考，培养学生用数学眼光观察现实世界。采用数形结合与分类讨论方法，如含绝对值不等式结合数轴直观求解，例3通过分段讨论与几何法深化数学思维。分层练习设计覆盖基础与拓展，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

2.2.2　不等式的解集 学习目标　1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解含绝对值的不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式. 导语 通过学习方程的解法，我们知道在解方程过程中主要应用了等式的性质，那么我们是否可以应用不等式的性质解不等式呢？通过学习方程组的解法，我们知道方程组的解集是各个方程解集的交集，那么不等式组的解集是否与各个不等式解集的交集有关呢？ 带着疑问，我们开始今天的学习. 一、一元一次不等式(组)的解法 问题1　x=2满足不等式2x+3>5吗？x=0呢？ 提示　x=2满足，x=0不满足，所以2是不等式2x+3>5的解，0不是它的解. 知识梳理 不等式的解 能够使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 不等式的所有解组成的集合 不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集 例1　(课本例1)求不等式组的解集. 解　①式两边同时加上-1，得2x≥-10， 这个不等式两边同时乘以得x≥-5，因此①的解集为[-5，+∞). 类似地，可得②的解集为(-∞，-3). 又因为[-5，+∞)∩(-∞，-3)=[-5，-3)， 所以原不等式组的解集为[-5，-3). 例1　解下列关于x的不等式(组)： (1) (2)3x+a>0. 解　(1)不等式组 将①式移项、合并同类项，得x>2. 将②式移项、合并同类项，得3x>9. 系数化为1，得x>3. 所以不等式组的解集为(3，+∞). (2)由3x>-a，得x>- 所以不等式的解集为. 反思感悟　不等式组的解集的求解步骤 (1)求出不等式组中每个不等式的解集. (2)求出各解集的交集. (3)写出不等式组的解集. 跟踪训练1　解下列关于x的不等式(组)： (1) (2)ax>0. 解　(1)解不等式①，得x<-6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. (2)①当a>0时，x∈(0，+∞)； ②当a=0时，x∈∅； ③当a<0时，x∈(-∞，0). 二、含一个绝对值的不等式的解法 问题2　我们知道，数a的绝对值是指数轴上表示数a的点与原点的距离，比如|a|=3表示数轴上表示数a的点与原点的距离为3，即a=3或a=-3，那么|a|>3的意义是什么呢？ 提示　|a|>3表示数轴上表示数a的点与原点的距离大于3，即a>3或a<-3.我们常用这个思路解含绝对值的不等式. 知识梳理 概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 绝对值不等式的解法 |x|= 当m>0时，|x|>m的解集为(-∞，-m)∪(m，+∞)，|x|≤m的解集为[-m，m] 数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB=|a-b| 如果线段AB的中点M对应的数为x，则x= 例2　(课本例2)设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围. 解　因为AB的中点对应的数为所以由题意可知≤5，即|3+x|≤10， 因此-10≤3+x≤10，所以-13≤x≤7， 因此x的取值范围是[-13，7]. 例2　解下列不等式： (1)|5x-2|≥8； (2)2≤|x-2|≤4. 解　(1)|5x-2|≥8可化为5x-2≥8或5x-2≤-8，解得x≥2或x≤- 故原不等式的解集为∪[2，+∞). (2)原不等式等价于 由①得x-2≤-2或x-2≥2， ∴x≤0或x≥4. 由②得-4≤x-2≤4， ∴-2≤x≤6. 综上，-2≤x≤0或4≤x≤6， ∴原不等式的解集为[-2，0]∪[4，6]. 反思感悟　 |ax+b|≥c和|ax+b|≤c型不等式的解法 (1)当c>0时，|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c，|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (2)当c=0时，|ax+b|≥c的解集为R，|ax+b|<c的解集为∅. (3)当c<0时，|ax+b|≥c的解集为R，|ax+b|≤c的解集为∅. 跟踪训练2　解下列不等式： (1)|4-3x|<5； (2)4<|3x-2|<8. 解　(1)由|4-3x|<5可得-5<4-3x<5， 所以-<x<3， 即原不等式的解集为. (2)由4<|3x-2|<8，得 ⇒⇒ 所以-2<x<-或2<x<. 即原不等式的解集为∪. 三、含两个绝对值的不等式的解法 例3　解不等式|x+7|-|x-2|≤3. 解　 分段讨论法：由x+7=0得x=-7，由x-2=0得x=2. ①当x<-7时，不等式等价于-x-7+x-2≤3， 即-9≤3，成立， ∴x<-7. ②当-7≤x≤2时，不等式等价于x+7+x-2≤3， 即2x≤-2，∴x≤-1， ∴-7≤x≤-1. ③当x>2时，不等式等价于x+7-x+2≤3， 即9≤3，不成立， ∴x∈∅. 综上，原不等式的解集为(-∞，-1]. 延伸探究　你能用数轴上两点之间的距离(几何法)解答本题吗？ 解　|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为(x))到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1.由图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x∈(-∞，-1]. 反思感悟　|x-a|±|x-b|≥c和|x-a|±|x-b|≤c型不等式的两种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义. (2)利用x-a=0，x-b=0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而求解. 跟踪训练3　不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(　　) A.[-5，7] B.[-4，6] C.(-∞，-5]∪[7，+∞) D.(-∞，-4]∪[6，+∞) 答案　D 解析　方法一　当x=0时，|x-5|+|x+3|=8≥10不成立，可排除A，B， 当x=-4时，|x-5|+|x+3|=10≥10成立，可排除C，故选D. 方法二　当x<-3时， 不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为 -(x-5)-(x+3)≥10， 解得x≤-4； 当-3≤x≤5时， 不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为 -(x-5)+(x+3)=8≥10不成立； 当x>5时， 不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为 (x-5)+(x+3)≥10， 解得x≥6. 故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集为(-∞，-4]∪[6，+∞). 故选D. 1.知识清单： (1)解一元一次不等式(组). (2)解含有一个或两个绝对值的不等式. (3)数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：含两个绝对值的不等式时的讨论，忽略是不是带等号. 1.不等式组的解集为(　　) A.(-3，0] B.(-3，2] C.∅ D. 答案　B 解析　解不等式组 将①式移项，得x>-3. 将②式去括号，得3x-3≤2x-1. 移项、合并同类项，得x≤2. 所以不等式组的解集为(-3，2]. 2.不等式1<|x+1|<3的解集为(　　) A.(0，2) B.(-2，0)∪(2，4) C.(-4，0) D.(-4，-2)∪(0，2) 答案　D 解析　由1<|x+1|<3，得1<x+1<3或-3<x+1<-1，所以0<x<2或-4<x<-2.所以所求不等式的解集为(-4，-2)∪(0，2). 3.不等式|x+2|+|x-1|<4的解集为　　　　　　　.  答案　 解析　令|x+2|=0得x=-2，令|x-1|=0得x=1. ①当x≤-2时，|x+2|+|x-1|<4⇔-2-x+1-x<4⇔-2x<5⇔x>- 所以不等式组的解集为； ②当-2<x<1时，|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+1-x<4⇔3<4， 所以不等式组的解集为(-2，1)； ③当x≥1时，|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+x-1<4⇔2x<3⇔x< 所以不等式组的解集为. 综上，原不等式的解集为. 4.在数轴上，A(2)，B(x)，已知线段AB的中点到C(-1)的距离小于6，则x的取值范围为　　　　　　　　　.  答案　(-16，8) 解析　设线段AB的中点为D，则D 所以由题意得DC=<6， 即|4+x|<12， 因此-12<4+x<12，-16<x<8， 所以x的取值范围是(-16，8). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)不等式<1的正整数解有(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　ABC 解析　由<1，得x<4， 又x∈N+，∴x=1，2，3. 2.不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 答案　C 解析　解不等式2x-1≥5，得x≥3， 解不等式8-4x<0，得x>2， 故不等式组的解集为[3，+∞). 3.设不等式|x-a|<b的解集为(-1，2)，则a，b的值分别为(　　) A.1，3 B.-1，3 C.-1，-3 D. 答案　D 解析　由|x-a|<b，得a-b<x<a+b. 由题意得(a-b，a+b)=(-1，2)， ∴∴ 4.使|x+1|>2成立的一个必要不充分条件是(　　) A.x<-3 B.x>0 C.x<-3或x>1 D.x<-3或x>0 答案　D 解析　由|x+1|>2，得x>1或x<-3，所以x<-3是|x+1|>2的充分不必要条件，x>0是|x+1|>2的既不充分也不必要条件，x<-3或x>1是|x+1|>2的充要条件，故A，B，C不符合题意；x<-3或x>0是|x+1|>2的必要不充分条件，故D符合题意. 5.(多选)若不等式组的解集为(2，+∞)，则m的值可以是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　ABC 解析　由>1，得x>2. 由题意得的解集为(2，+∞)， 即(2，+∞)∩(m，+∞)=(2，+∞)， ∴(2，+∞)⊆(m，+∞)， ∴m≤2，又m∈N， 故m=0，1，2. 6.(多选)设集合A={x||x-m|<1，x∈R}，B={x||x-n|>2，x∈R}.若A⊆B，则实数m，n的取值可以为(　　) A.m=0，n=3 B.m=2，n=4 C.m=5，n=1 D.m=7，n=2 答案　ACD 解析　由|x-m|<1，得m-1<x<m+1.由|x-n|>2，得x<n-2或x>n+2.∵A⊆B，∴m-1≥n+2或m+1≤n-2，即m-n≥3或m-n≤-3，∴实数m，n需满足|m-n|≥3，结合选项可知A，C，D符合题意. 7.(5分)数轴上点A(-2)，B(4)，C(x)，则线段AB的中点D的坐标为　　　　，若点D到C的距离大于2，则x的取值范围为　　　　　　　　.  答案　1　(-∞，-1)∪(3，+∞) 解析　点D的坐标为=1，DC=|x-1|>2，所以x>3或x<-1. 8.(5分)不等式1≤|x-1|≤2的解集为　　　　.  答案　[-1，0]∪[2，3] 解析　方法一　|x-1|表示数轴上表示数x的点与表示1的点的距离，这个距离大于等于1且小于等于2，如图所示， 由图可知所求解集为[-1，0]∪[2，3]. 方法二　∵1≤|x-1|≤2， ∴1≤x-1≤2或-2≤x-1≤-1， 解得2≤x≤3或-1≤x≤0，所求解集为[-1，0]∪[2，3]. 9.(10分)已知关于x的不等式组 (1)当m=-11时，求不等式组的解集；(5分) (2)若该不等式组的解集是∅，求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)当m=-11时， 不等式组为 解不等式①，得x>-4；解不等式②，得x<-. 所以所求不等式组的解集为. (2)解不等式m-2x<x-1，得x>. 因为不等式组的解集为∅， 所以由(1)得≥-所以m≥-. 所以实数m的取值范围为. 10.(10分)解下列不等式： (1)|x-1|>|2x-3|；(5分) (2)|x+1|+|x+2|>3+x.(5分) 解　(1)|x-1|>|2x-3|可化为 |x-1|-|2x-3|>0， 当x<1时，-x+1+2x-3>0， 解得x>2，∴x∈∅； 当1≤x≤时，x-1+2x-3>0， 解得x>∴<x≤； 当x>时，x-1-2x+3>0， 解得x<2，∴<x<2. 即原不等式的解集为. (2)原不等式⇔ 或或 ⇔或或 ⇔x<-2或x>0. 所以原不等式的解集为(-∞，-2)∪(0，+∞). 11.已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　) A.[1，+∞) B.[-1，+∞) C.(-∞，1] D.(-∞，3] 答案　A 解析　由条件p：|x+1|>2，解得x>1或x<-3，故¬p：-3≤x≤1，由条件q：x>a得¬q：x≤a， ∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴a≥1. 12.(多选)对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立，则k的值可以是(　　) A.-8 B.-5 C.-4 D.-3 答案　ABC 解析　|x+1|，|x-2|的几何意义分别为数轴上的点x到-1和2对应点的距离， |x+1|-|x-2|的几何意义为两距离之差， 由图可得其最小值为-3，故k<-3. 13.(5分)已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　3　5 解析　记不等式组为 解不等式①，得x< 解不等式②，得x>. 因为不等式组的解集为(5，22)， 所以 解这个关于a，b的二元一次方程组，得 14.(5分)已知不等式|ax+b|<2(a≠0)的解集为{x|1<x<5}，则实数a，b的值分别为　　　　　　　　　.  答案　1，-3或-1，3 解析　原不等式等价于-2<ax+b<2. ①当a>0时，解得-<x<又原不等式的解集为{x|1<x<5}，所以解得 ②当a<0时，解得<x<-又原不等式的解集为{x|1<x<5}，所以解得 综上所述，a=1，b=-3或a=-1，b=3. 15.(5分)已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5}，B={x|a<x<6}，A∩B=(2，b)，则a+b=　　　　.  答案　7 解析　|x-4|+|x-1|<5等价于 或或 解得0<x<1或1≤x≤4或4<x<5，即0<x<5， ∴A={x|0<x<5}，∵B={x|a<x<6}， 且A∩B=(2，b)，∴a=2，b=5，∴a+b=7. 16.(11分)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)=(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)==b.已知T(1，-1)=-2，T(4，2)=1. (1)求a，b的值；(4分) (2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围.(7分) 解　(1)由T(1，-1)=-2，T(4，2)=1，得 即解得 (2)由(1)，得T(x，y)= 则不等式组 可化为即 因为不等式组恰好有3个整数解，所以-≤m< 所以解得-2≤p<-. 故实数p的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $