第2章 2.2.1 第1课时 不等式及其性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦“不等式及其性质”核心知识点，系统涵盖用不等式（组）表示不等关系，作差法比较大小，不等式的性质（可加性、可乘性等）及应用（判断命题真假、求取值范围）。作为相等关系的延伸，为后续不等式解法构建完整代数关系学习支架。 资料以生活实例（如限速、酸奶质量）引入，培养数学眼光，通过作差法推理和性质应用训练数学思维，用符号语言转换提升数学语言表达。例题与跟踪训练结合，课中助教师高效授课，课后练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2.1　不等式及其性质 第1课时　不等式及其性质 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题. 导语 大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”. 一、用不等式(组)表示不等关系 问题1　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某路段限速40 km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 提示　对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40. 对于(2)，由题意，得 对于(3)，设△ABC的三条边为a，b，c 知识梳理 1.不等关系与不等式 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解　设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆， 则 反思感悟　用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 跟踪训练1　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述所有不等关系的不等式(组). 解　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，得 二、作差法比较大小 问题2　在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 知识梳理 1.数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x). 2.比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据： a>b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=0；a<b⇔a-b<0. 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小. 例2　(课本例1)比较x2-x和x-2的大小. 解　因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1， 又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，从而(x2-x)-(x-2)>0， 因此x2-x>x-2. 例2　已知x<1，比较x3-1与2x2-2x的大小. 解　x3-1-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2+x+1-2x) =(x-1)(x2-x+1)=(x-1). ∵x<1，∴x-1<0， 又+>0，∴(x-1)<0， ∴x3-1<2x2-2x. 延伸探究1　若将本例中“x<1”改为“x∈R”，则x3-1与2x2-2x的大小关系又如何呢？ 解　由例题知x3-1-(2x2-2x) =(x-1)① ∵+>0， ∴当x-1<0，即x<1时，①式小于0，即x3-1<2x2-2x； 当x-1=0，即x=1时，①式等于0，即x3-1=2x2-2x； 当x-1>0，即x>1时，①式大于0，即x3-1>2x2-2x. 反思感悟　作差法比较大小的四个步骤 跟踪训练2　(1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小. 解　因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6) =(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0， 所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6). (2)已知a>0，b>0，比较a3+b3与ab2+a2b的大小. 解　因为a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2， 因为a>0，b>0，所以(a+b)(a-b)2≥0， 所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0， 所以a3+b3≥ab2+a2b. 三、利用不等式的性质判断命题的真假 问题3　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a=b，那么b=a； (2)如果a=b，b=c，那么a=c； (3)如果a=b，那么a+c=b+c； (4)如果a=b，那么ac=bc. 提示　(1)如果a>b，那么b<a； (2)如果a>b，b>c，那么a>c； (3)如果a>b，那么a+c>b+c； (4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac<bc. 知识梳理 1.不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a+c>b+c 性质2 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc 性质3 a>b，c<0⇒ac<bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质5 对称性 a>b⇔b<a 2.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a+b>c⇔a>c-b 推论2 同向不等式相加 a>b，c>d⇒a+c>b+d 推论3 同向不等式相乘 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N，n>1) 推论5 可开方性 a>b>0⇒> 例3　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则> C.若a<b<0，则> D.若a>b>则a>0，b<0 答案　D 解析　方法一　因为c2≥0，所以当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题； 由a>b>0，得ab>0⇒>⇒>故B为假命题； 因为a<b<0⇒-a>-b>0⇒->->0， 所以>故C为假命题； ⇒ab<0. 因为a>b，所以a>0且b<0，故D为真命题. 方法二　特殊值排除法. 取c=0，则ac2=bc2，故A错误； 取a=2，b=1，则==1，有<故B错误； 取a=-2，b=-1，则==2，有<故C错误. 反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 跟踪训练3　若实数a，b，c满足a>b>c，则下列不等式正确的是(　　) A.a+c>b B.a|c|>b|c| C.< D.< 答案　C 解析　对于A，当a=3，b=2，c=-5时，a+c=-2<b，故A错误； 对于B，当a=3，b=2，c=0时，a|c|=b|c|，故B错误； 对于C，因为a>b>c，所以a-c>b-c>0，故<故C正确； 对于D，当a=0时==0，故D错误. 四、利用不等式的性质求取值范围 例4　已知-1<x<4，2<y<3. (1)求x-y的取值范围； (2)求3x+2y的取值范围. 解　(1)因为-1<x<4，2<y<3， 所以-3<-y<-2，所以-4<x-y<2. (2)由-1<x<4，2<y<3， 得-3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18. 延伸探究2　若将本例条件改为-1<x<y<3，求x-y的取值范围. 解　因为-1<x<3，-1<y<3， 所以-3<-y<1，所以-4<x-y<4. 又因为x<y，所以x-y<0，所以-4<x-y<0， 故x-y的取值范围为(-4，0). 延伸探究3　若将本例条件改为-1<x+y<4，2<x-y<3，求3x+2y的取值范围. 解　设3x+2y=m(x+y)+n(x-y)， 则所以 即3x+2y=(x+y)+(x-y)， 又因为-1<x+y<4，2<x-y<3， 所以-<(x+y)<10，1<(x-y)< 所以-<(x+y)+(x-y)< 即-<3x+2y< 所以3x+2y的取值范围为. 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 跟踪训练4　已知12<a<60，15<b<36，则a-2b的取值范围为　　　　　的取值范围为　　　　　.  答案　(-60，30)　 解析　因为15<b<36，所以-72<-2b<-30. 又12<a<60，所以-60<a-2b<30. 因为12<a<60，所以24<2a<120， 又15<b<36，所以<<所以<<8. 综上，a-2b的取值范围是(-60，30)， 的取值范围是. 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)利用不等式的性质判断命题的真假. (4)利用不等式的性质求取值范围. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区： (1)不注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性. (2)不注意讨论. 1.下列说法正确的是(　　) A.某人月收入x不高于5 000可表示为“x<5 000” B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 答案　C 解析　对于A，x应满足x≤5 000，故A错误； 对于B，x，y应满足x<y，故B错误； 对于C，x与a的关系可以表示为x≥a，故C正确； 对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误. 2.(多选)若<<0，则下面四个不等式中正确的是(　　) A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.a3>b3 答案　CD 解析　由<<0可得b<a<0， 从而|a|<|b|，A，B均不正确； a+b<0，ab>0，则a+b<ab成立，C正确； a3>b3，D正确. 3.若1<a<3，-4<b<2，那么a-|b|的范围是(　　) A.(-3，3] B.(-3，5) C.(-3，3) D.(1，4) 答案　C 解析　∵-4<b<2，∴0≤|b|<4， ∴-4<-|b|≤0. 又1<a<3，∴-3<a-|b|<3. 4.设a=+2b=3+则a，b的大小关系为　　　　　　.  答案　a<b 解析　由a=+2b=3+ 可得a2=13+4b2=19+6 显然a2<b2， 又a>0，b>0，所以a<b. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　) A.a+b<0 B.a+b>0 C.a+b≤0 D.a+b≥0 答案　C 解析　a与b的和是非正数，即a+b≤0. 2.若x>y，m>n，则下列不等式中正确的是(　　) A.x+m>y+n B.x-m>y-n C.> D.xm>yn 答案　A 解析　因为x>y，m>n，所以x+m>y+n，故A正确；当x=2，y=1，m=2，n=-1时，x-m<y-n<故B，C错误；当x=1，y=-1，m=2，n=-4时，xm<yn，故D错误. 3.若a≠2且b≠-1，则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是(　　) A.M>-5 B.M<-5 C.M=-5 D.不能确定 答案　A 解析　 M=(a-2)2+(b+1)2-5>-5. 4.已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是(　　) A.ab>bc B.ac>bc C.ab>ac D.a|b|>|b|c 答案　C 解析　因为a>b>c，且a+b+c=0， 所以a>0，c<0，所以ab>ac. 5.(多选)下列说法一定正确的是(　　) A.若a>b，则a2 026>b2 026 B.若ab<0>则a>b C.若a>b，a+c>b+d，则c>d D.若a>b>0，则> 答案　BD 解析　对于A，取a=0，b=-1，则a2 026<b2 026，故A错误； 对于B，由ab<0>得，a>0>b，故B正确； 对于C，取a=3，b=0，c=1，d=2，满足a>b，a+c>b+d，但c>d不成立，故C错误； 对于D，∵a>b>0，∴-=>0， ∴>成立，故D正确. 6.(多选)已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A.的取值范围为 B.的取值范围为 C.a-2b的取值范围为(-4，1) D.a-2b的取值范围为(-7，4) 答案　BD 解析　∵1<b<5，∴-10<-2b<-2<<1， 又3<a<6，∴-7<a-2b<4<<6， 即的取值范围为a-2b的取值范围为(-7，4). 7.(5分)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为　　　　.  答案　4×2x>100 解析　当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100. 8.(5分)若a>b>0，c<d<0，则　　　 .(填“<”“>”或“=”) 答案　< 解析　∵c<d<0，∴-c>-d>0，∴->->0. ∵a>b>0，∴->->0， ∴>即->- ∴<. 9.(10分)设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小. 解　∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0， ∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2， 当且仅当x=y=且z=1时取等号. 10.(11分)某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案.甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠.乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果这两家旅行社一张全票的票价相同，那么该家庭选择哪家旅行社外出旅游更划算？ 解　设该家庭除户主外，还有x(x∈N+)人参加旅游，甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元，一张全票的票价为a元. 因为y1=a+0.55ax，y2=0.75(x+1)a，所以y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x)， 故当x>1.25时，y1<y2；当x<1.25时，y1>y2. 又x∈N+，所以当x=1时，y1>y2，即两口之家应选择乙旅行社； 当x>1(x∈N+)时，y1<y2，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社. 11.若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　对于0<ab<1，如果a>0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件；反之，若a=-1，b=2，a<或b>成立，但0<ab<1不成立，因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件，即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件. 12.已知c>1，且x=-y=-则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的关系随c而定 答案　C 解析　x=-= y=-= ∵c>1，∴+>+>0， ∴x<y. 13.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 答案　A 解析　∵a+b=c+d，a+d>b+c， ∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d)，即a>c. ∴b<d.又a+c<b，∴a<b. 综上可得，d>b>a>c. 14.(5分)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　　　　　　　　　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就要用9天多的时间，用不等式表示为　　　　　　　　　.  答案　8(x+19)>2 200　9<<10 解析　汽车原来每天行驶x km，若该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x+19)>2 200.若该汽车每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9<<10. 15.(5分)以max M表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则max{b-a，c-b，1-c}的最小值为　　　.  答案　 解析　令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m>0，n>0，p>0，所以 若b≥2a，则1-n-p≥2(1-m-n-p)， 故2m+n+p≥1， 令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}， 则故4M≥2m+n+p≥1，则M≥当m=n=p=时，等号成立； 若a+b≤1，则1-m-n-p+1-n-p≤1， 即m+2n+2p≥1，M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}， 则故5M≥m+2n+2p≥1， 则M≥当m=n=p=时，等号成立. 综上可知，max{b-a，c-b，1-c}的最小值为. 16.(12分)若x>0，y>0，M=N=+试判断M，N的大小关系. 解　∵x>0，y>0， ∴x+y+1>1+x>0，1+x+y>1+y>0， ∴<< 故M==+<+=N，即M<N. 学科网（北京）股份有限公司 $