2.2.4 均值不等式及其应用教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用

【课程基本信息】

年级	高一	课题	均值不等式及其应用
课时	1课时	授课教师

【教学目标】

1.掌握均值不等式.
2.掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题.

3.掌握均值不等式的实际应用.

【教学重点】

掌握均值不等式.

【教学难点】

掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题

【教学过程】

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题.

算术平均值与几何平均值的定义：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值.

实质：两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标.

数称为a，b的几何平均值．

注：a，b，c的算术平均数为，几何平均数为.

尝试与发现：(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；

矩形周长：C=2(a+b)；与矩形周长相等的正方形的边长：.

矩形面积：S=ab；与矩形面积相等的正方形的边长：.

(2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜

测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义．

a	1	2	4	6	8	10
b	1	4	6	8	10	12
	1	3	5	7	9	11
	1

结论：算术平均值等于几何平均值或算术平均值大于几何平均值.

设计意图：通过具体实例来了解算术平均数和几何平均数.

均值不等式：如果a，b都是正数，那么当且仅当a=b时，等号成立．

证明：因为a，b都是正数，所以≥0，即而且，等号成立时，当且仅当，即a=b．

设计意图：通过证明更好地理解均值不等式.

注意：均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如≥一定是正确的.

教师提问：均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？

将均值不等式两边平方可得≥ab，如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．

设计意图：通过理解均值不等式的几何意义，更好地使用均值不等式.

想一想：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？

周长相等的三角形中，正三角形的面积最大.平面上，周长相等的所有封闭图形