2.2.4 均值不等式及其应用教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦均值不等式及其应用，通过矩形周长与面积实例导入，引导学生比较算术与几何平均值，建立与乘法公式的联系，搭建从定义到应用的学习支架。 特色在于结合矩形、半圆几何意义培养数学眼光，通过证明推理发展数学思维，实际应用问题强化数学语言。实例丰富如矩形最值探究，提升学生抽象能力与应用意识，为教师提供清晰教学路径。

2.2.4 均值不等式及其应用 【课程基本信息】 年级 高一 课题 均值不等式及其应用 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.掌握均值不等式. 2.掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题. 3.掌握均值不等式的实际应用. 【教学重点】 掌握均值不等式. 【教学难点】 掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题 【教学过程】 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题. 算术平均值与几何平均值的定义：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值. 实质：两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标. 数称为a，b的几何平均值． 注：a，b，c的算术平均数为，几何平均数为. 尝试与发现：(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小； 矩形周长：C=2(a+b)；与矩形周长相等的正方形的边长：. 矩形面积：S=ab；与矩形面积相等的正方形的边长：. (2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义． a 1 2 4 6 8 10 b 1 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 1 结论：算术平均值等于几何平均值或算术平均值大于几何平均值. 设计意图：通过具体实例来了解算术平均数和几何平均数. 均值不等式：如果a，b都是正数，那么当且仅当a=b时，等号成立． 证明：因为a，b都是正数，所以≥0，即而且，等号成立时，当且仅当，即a=b． 设计意图：通过证明更好地理解均值不等式. 注意：均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如≥一定是正确的. 教师提问：均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？ 将均值不等式两边平方可得≥ab，如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 设计意图：通过理解均值不等式的几何意义，更好地使用均值不等式. 想一想：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？ 周长相等的三角形中，正三角形的面积最大.平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大. 探索与研究：如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义. 在Rt△ABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得CD=，又OD=，由图可知OD≥CD，所以≥.变形为a+b≥2. 【课堂例题】 例1：已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值. 解：因为x>0，所以根据均值不等式有，其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）.因此x=1时，y取得最小值2. 例2：已知，求证：，并推导出等号成立的条件. 解：因为，所以，.根据均值不等式，得，即.当且仅当，即时，等号成立.因为，所以等号成立的条件是. 例3：(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值. 解：(1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100.因为x>0，y>0，所以，所以2(x+y)≥40.当且仅当时，等号成立，由可知此时.因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. (2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18.因为x>0，y>0，所以，因此，即.当且仅当时，等号成立，由可知此时x=y=9.因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81． 结论：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 例4：已知x∈(-1，3)，求y=(1+x)(3-x)的最大值，以及y取得最大值时x的值. 解：当x∈(-1，3)时，-1<x<3，因此1+x>0，3-x>0，由均值不等式可得，从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4，当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.从而当x=1时，y取得最大值4. 例5：已知a，b是实数，求证：a2+b2≥2ab．并说明等号成立的条件. 解：因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，所以a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab．等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b． 例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况. 例6：已知a，b∈R，求证： (1)(a+b)2≥4ab； (2)2(a2+b2)≥(a+b)2． 解：(1)因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2+b2+2ab≥4ab，即(a+b)2≥4ab. (2)因为a2+b2≥2ab，两边同时加a2+b2，得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2． 【课堂巩固】 1.已知，则“，”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知，则( ) A. B. C. D. 3.已知，，，则的最小值为( ) A. B. C.8 D.4 【小结作业】 76页的课后习题 【板书设计】 2.2.4 均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值的定义 2.均值不等式 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $