第2章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，以配方法为基础，衔接判别式判断根的情况，进而探究根与系数的关系，构建从解法到性质再到应用的完整学习支架。 资料以《九章算术》问题导入，培养数学眼光，通过问题链驱动探究发展数学思维，例题与跟踪训练结合强化数学语言表达。课中助力教师引导学生逐步深入，课后学生可通过练习巩固知识，弥补盲点。

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习目标　1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系. 导语 《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何. 根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE=1 775.你能求出邑方的边长吗？ 如果设正方形的边长为x步，则有AF=DB=20+x+14=x+34. 根据△ABF∽△DBE可知=从而AF·DB=AB·DE，因此(x+34)=20×1 775， 整理得x2+34x-71 000=0.你会解这个方程吗？ 一、配方法求一元二次方程的解集 形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. 问题1　 对于方程x2-8x-20=0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？ 提示　可以通过配方法求解.方程x2-8x-20=0可化为(x-4)2=36，开方得x-4=6或x-4=-6，即x=10或x=-2. 知识梳理　 一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程，形如(x-k)2=t(t<0)的方程，解集为∅ 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x-k)2=t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 因式 分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1=-m，x2=-n 例1　用配方法求下列一元二次方程的解集： (1)x2+4x-1=0； (2)4x2+8x+1=0. 解　 (1)∵x2+4x-1=0，∴x2+4x=1， ∴x2+4x+4=1+4，∴(x+2)2=5， ∴x=-2±∴x1=-2+x2=-2-. ∴原一元二次方程的解集是{-2+-2-}. (2)移项，得4x2+8x=-1. 二次项系数化为1，得x2+2x=- 配方，得x2+2x+12=12-即(x+1)2=. ∴x+1=±. ∴x1=-1+x2=-1- ∴原一元二次方程的解集是. 反思感悟　用配方法解一元二次方程的步骤 (1)移项：把常数项移到方程的右边. (2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数. (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式. (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程. (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 跟踪训练1　用配方法解方程2x2-5+x=0. 解　移项，得2x2+x=5. 二次项系数化为1，得x2+x=. 配方，得x2+x+=+. ∴=.∴x+=±. ∴x1=x2= ∴原一元二次方程的解集是 . 二、一元二次方程判别式的应用 问题2　应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，你会有怎样的发现呢？ 提示　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为=所以当b2-4ac≥0时，开方得x=. 问题3　b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0对方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数有怎样的影响呢？ 提示　当b2-4ac>0时与不等，方程有两个不等实根；当b2-4ac=0时，两根相等，方程有两等根；当b2-4ac<0时，方程无实根. 知识梳理 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x=求解. 2.式子Δ=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式. 判别式与根的情况为： Δ=b2-4ac 根的情况 b2-4ac>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，方程的解集为 b2-4ac=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，方程的解集为 b2-4ac<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根，方程的解集为∅ 例2　判断下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0； (2)x2-ax-1=0； (3)x2-ax+(a-1)=0. 解　(1)因为该方程的根的判别式Δ=32-4×1×3=-3<0，所以方程没有实数根. (2)因为该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0，所以方程有两个不相等的实数根， x1=x2=. (3)因为该方程的根的判别式 Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2， ①当a=2时，Δ=0，所以方程有两个相等的实数根，x1=x2=1； ②当a≠2时，Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根，x1=1，x2=a-1. 反思感悟　(1)一元二次方程的根的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系. (2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这一隐含条件，否则容易出错. 跟踪训练2　已知关于x的一元二次方程3x2-2x+k=0，根据下列条件，分别求出k的取值范围. (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根. 解　Δ=(-2)2-4×3k=4(1-3k). (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1-3k)>0，所以k<. (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ=0，即4(1-3k)=0，所以k=. 三、一元二次方程根与系数的关系 问题4　当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？ 提示　由x1= x2=知，x1+x2=+=-x1x2=×=. 知识梳理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=-x1x2=. 注意点： (1)一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2-4ac≥0. (2)应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1； +=(x1x2≠0)； ③|x1-x2|=； ④+=(x1+x2)2-2x1x2. 例3　(课本例2)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值： (1)+；　　　　(2)|x1-x2|. 解　由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=-x1x2=-2. (1)由上有+=(x1+x2)2-2x1x2 =-2×(-2)=. (2)因为(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×(-2)= 所以|x1-x2|==. 例3　已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1，x2，求下列各式的值. (1)+； (2)|x1-x2|； (3)+. 解　方程x2-3x-1=0的判别式Δ=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13>0， 则x1+x2=3，x1x2=-1. (1)+===-3. (2)|x1-x2|====. (3)+=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2] =3×[32-3×(-1)]=36. 反思感悟　应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点： (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式. (2)应用时，要熟记根与系数的关系公式. (3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提. 跟踪训练3　已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根. (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两个实数根x1，x2满足+=11，求k的值. 解　(1)因为关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根，所以Δ≥0，即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0，解得k≤即k的取值范围为. (2)由题意知x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1， 所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3. 因为+=11，所以2k2-6k+3=11，即k2-3k-4=0， 解得k=4或k=-1，因为k≤所以k=-1. 1.知识清单： (1)配方法求一元二次方程的解集. (2)一元二次方程判别式的应用. (3)一元二次方程根与系数的关系. 2.方法归纳：配方法、公式法. 3.常见误区：忽视对二次项系数的讨论. 1.方程4(1-x)2=1的解集是(　　) A.∅ B. C. D. 答案　C 解析　由方程4(1-x)2=1可得方程(x-1)2=解得x=或x=即方程的解集为. 2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　) A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0化为= D.3y2-4y-2=0化为= 答案　B 解析　x2+8x+9=0配方应为(x+4)2=7. 3.已知α，β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是(　　) A.3 B.1 C.-1 D.-3 答案　B 解析　∵α，β是方程x2+x-2=0的两个实数根， ∴α+β=-1，αβ=-2，∴α+β-αβ=-1+2=1. 4.已知关于x的方程x2-5mx+4=0有两个相等的实数根，则实数m的取值集合为　　　　　　　　.  答案　 解析　因为关于x的方程x2-5mx+4=0有两个相等的实数根，所以Δ=(-5m)2-4×1×4=0，即25m2-16=0，解得m=±.所以实数m的取值集合为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.下列结论正确的是(　　) A.若x2=4，则x=2 B.若x2-5xy-6y2=0(xy≠0)，则=6或=-1 C.方程x(2x-1)=2x-1的解集为{1} D.方程=0的解集为{1，2} 答案　B 解析　对于A，由x2=4，得x=±2，故错误； 对于B，∵xy≠0，∴方程两边同除以y2， 得-5-6=0， ∴=6或=-1，故正确； 对于C，方程可化为(2x-1)(x-1)=0，则解集为故错误； 对于D，当x=1时方程无意义，故错误. 2.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 答案　A 解析　原一元二次方程可化为x2+(a+1)x=0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ=(a+1)2=0，解得a=-1. 3.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为(　　) A.5 B.-1 C.2 D.-5 答案　B 解析　设方程的另一个根为x0， 则-2+x0=-3， 即x0=-1. 4.(多选)关于x的方程mx2-4x-m+5=0，以下说法正确的是(　　) A.当m=0时，方程只有一个实数根 B.当m=1时，方程有两个相等的实数根 C.当m=-1时，方程没有实数根 D.当m=2时，方程有两个不相等的实数根 答案　AB 解析　当m=0时，方程化为-4x+5=0， 解得x= 此时方程只有一个实数根，故A正确； 当m=1时，方程化为x2-4x+4=0， 因为Δ=(-4)2-4×1×4=0， 所以此时方程有两个相等的实数根，故B正确； 当m=-1时， 方程化为-x2-4x+6=0，即x2+4x-6=0， 因为Δ=42-4×1×(-6)=40>0， 所以此时方程有两个不相等的实数根，故C错误； 当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0， 因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0， 所以此时方程无实数根，故D错误. 5.若m，n满足m2+3m-5=0，n2+3n-5=0，且m≠n，则+的值为(　　) A. B.- C.- D. 答案　A 解析　由题意可得m，n满足x2+3x-5=0，且m≠n，所以m，n是方程x2+3x-5=0的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系可得m+n=-3，mn=-5， 故+==. 6.(多选)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　) A.-9 B.-5 C.5 D.9 答案　BD 解析　设方程的两根为x1，x2， 由题意，得+=45， 所以(x1+x2)2-2x1x2=45. 因为x1+x2=a，x1x2=2a， 所以a2-2×2a=45. 解得a=-5或a=9. 又因为Δ=a2-8a， 当a=-5时，Δ>0，此时方程有两个实数根，满足题意； 当a=9时，Δ>0，此时方程有两个实数根，满足题意， 综上，a的值可能为-5或9. 7.(5分)将方程x2-2x=3化为(x-m)2=n的形式，则m=　　　　，n=　　　　.  答案　1　4 解析　x2-2x=3，配方得x2-2x+1=4， 即(x-1)2=4， 所以m=1，n=4. 8.(5分)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两根异号，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(0，+∞) 解析　设方程的两个实数根为x1，x2，则 ∴m>0，∴m∈(0，+∞). 9.(10分)求下列方程的解集. (1)x4-3x2+2=0；(3分) (2)x+2-1=0；(3分) (3)(x2-x)2-(x2-x)-2=0.(4分) 解　(1)令y=x2≥0， 得y2-3y+2=0， ∴y=1或y=2， 即x2=1或x2=2， ∴x=±1或x=±. ∴原方程的解集为{--1，1}. (2)令y=≥0， 得y2+2y-1=0， ∴y=-1+或y=-1-(舍). 从而=-1+ 即x=3-2 ∴原方程的解集为{3-2}. (3)令x2-x=t，得t2-t-2=0， ∴t=-1或t=2， 即x2-x+1=0，① 或x2-x-2=0，② 对①，Δ=-3<0，无实数解； 对②，易得x=-1或x=2，故原方程的解集为{-1，2}. 10.(11分)设x1，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值： (1)+；(4分) (2)(x1-x2)2；(3分) (3)+.(4分) 解　由根与系数的关系，得 (1)+==-. (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=. (3)+=(x1+x2)(-x1x2+) =(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2] =(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)=. 11.若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则+的值是(　　) A. B.- C.- D. 答案　C 解析　∵α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根， ∴α+β=-αβ=-3， ∴+== ==-. 12.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，1}，则关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是(　　) A.{1，3} B.{-1，3} C. {2，3} D.{3} 答案　B 解析　∵关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3，1}， ∴方程m(x+a-2)2+n=0可变形为 m[(x-2)+a]2+n=0， 此方程中x-2=-3或x-2=1，解得x=-1或x=3. ∴关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是{-1，3}. 13.已知p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根，其中a，b∈R，则(ap2-bp+4a)(aq2-bq+4a)的值(　　) A.仅与a有关 B.仅与b有关 C.与a，b均有关 D.是与a，b无关的定值 答案　D 解析　因为p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根， 所以由根与系数的关系得pq=4， 又ap2-(b+2)p+4a=0，所以ap2-bp+4a=2p， 同理aq2-bq+4a=2q， 所以=4pq=16. 14.(5分)对于任意实数a，b，定义：a◆b=a2+ab+b2.若方程(x◆2)-5=0的两根记为m，n，则m2+n2=　　　　.  答案　6 解析　∵(x◆2)-5=x2+2x+4-5=x2+2x-1， ∴m，n为方程x2+2x-1=0的两个根， ∴m+n=-2，mn=-1， ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=6. 15.设x2-px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，则数对(p，q)组成的集合M的真子集的个数是(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 答案　A 解析　根据题意得，α+β=p，① αβ=q，② α2+β2=p，③ α2β2=q，④ 由②④可得α2β2-αβ=0，解得αβ=1或αβ=0，即q=1或q=0. 由①②③可得α2+β2=-2αβ=p2-2q=p，即p2-p=2q. 当q=0时，p2-p=0，解得p=0或p=1， 即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意； 当q=1时，p2-p-2=0，解得p=-1或p=2，即或 把它们代入原方程的判别式中可知不符合题意，舍去. 所以数对组成的集合M的元素个数是3， 所以数对组成的集合M的真子集的个数是23-1=7. 16.(12分)已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根. (1)是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；(5分) (2)求使+-2的值为整数的实数k的整数值.(7分) 解　∵Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k(k≠0)， Δ≥0，∴k<0， 由根与系数的关系得，x1+x2=1，x1x2=. (1)由(2x1-x2)(x1-2x2)=得 2(x1+x2)2-9x1x2=2-9×= ∴k=-. (2)+-2=-2=-2=-4=-4=-. ∴k+1=±1，k+1=±2，k+1=±4. ∴k=0或k=-2或k=1或k=-3或k=3或k=-5. ∵k<0，∴实数k的整数值为-2或-3或-5. 学科网（北京）股份有限公司 $