2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕一元二次方程的解集及根与系数关系，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到跨知识应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|基本解法与根的概念|直接考察解方程（如第1题）、已知根求参数（如第6题）| |中档综合|根与系数关系及参数应用|结合判别式与代数式转化（如第2题）、根的平方和计算（如第9题）| |拔高拓展|数学思想与跨知识综合|换元法解高次方程（如第12题）、方程与等腰三角形综合（如第14题）|

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.一元二次方程x2＝3x的解集是（　　） A.{0} B.{3} C.{－3} D.{0，3} 2.若a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2 024的值是（　　 ） A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028 3.方程＝解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（　　 ） A.{1} B.{2} C.{3} D.{4} 4.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋a＝0的两个实数根，且＋＝12，则a的值是（　　 ） A.a＝3 B.a＝－2 C.a＝3或a＝－2 D.a＝－3或a＝2 5.（多选）方程（x2－4）＝0的解可以是（　　 ） A.x＝－2 B.x＝－ C.x＝ D.x＝2 6.若关于x的一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，则实数m＝　　　. 7.若m＋n＝3，m2＋n2＝5，则以实数m、n为根的一个一元二次方程是　　　　　　　　. 8.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有实数根，并且两根的平方和比两根之积大21，则实数m的值为　　　　　　 　. 9.已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根. （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两个实数根x1，x2满足＋＝11，求k的值. 10.设m∈R，若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要条件，则实数m的值为（　　 ） A.－ B.1 C.－或1 D.－1或 11.集合{x｜（a－2）x2＋3x－1＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则a＝　　　　　　. 12.在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：方程：x2－3｜x｜＋2＝0. 其解法为：设｜x｜＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0（y≥0）. 解得：y1＝1，y2＝2. 当y＝1时，｜x｜＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，｜x｜＝2，∴x＝±2. ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 上述解方程的方法叫做“换元法”. 请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4－10x2＋9＝0； （2）若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值. 13.已知一元二次方程mx2－2x＋m＋3＝0有两个正实根，则实数m的取值范围是　　　　 　. 14.已知关于x的方程x2－（2k＋1）x＋4＝0. （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.D　∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x（x－3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D. 2.D　因为a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根， 所以a2＋a－3＝0，a＋b＝－1， 两式相减，得a2－b＝4，所以a2－b＋2 024＝4＋2 024＝2 028. 故选D. 3.A　由题意可知x≠－1且x≠0，则原方程可化为x＝，得x2－2x－m＝0， 由题意可得Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故原方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故选A. 4.B　由题意得Δ＝（2a）2－4（a2＋a）≥0且解得a≤0， 又＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－2a）2－2（a2＋a）＝12，解得a＝－2或a＝3（舍）.故选B. 5.CD　由题意，方程（x2－4）＝0，则x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝±2或x＝， 又由2x－1≥0，解得x≥， 所以方程（x2－4）＝0的解为x＝2或x＝.故选C、D. 6.10　解析：因为一元二次方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，所以3×＋m×－8＝0，解得m＝10. 7.x2－3x＋2＝0（答案不唯一）　解析：因为m＋n＝3，所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝9，因为m2＋n2＝5，所以mn＝2，根据两根之和为3，两根之积为2，故可以写出实数m、n为根的一个一元二次方程为x2－3x＋2＝0. 8.－1　解析：设方程的两个实数根为x1，x2， 则x1＋x2＝2（2－m），x1x2＝m2＋4， 根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21， 即＋－x1x2＝（x1＋x2）2－3x1x2＝4（2－m）2－3（m2＋4）＝21，解得m＝17或m＝－1， 另由根的判别式可得Δ＝4（m－2）2－4（m2＋4）＝－16m≥0，故m≤0，所以m＝－1. 9.解：（1）因为关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根. 所以Δ≥0， 即[－（2k－1）]2－4×1×（k2＋k－1）＝－8k＋5≥0， 解得k≤. 所以k的取值范围为. （2）由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， 所以＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（2k－1）2－2（k2＋k－1）＝2k2－6k＋3. 因为＋＝11，所以2k2－6k＋3＝11，即k2－3k－4＝0， 解得k＝4或k＝－1， 因为k≤，所以k＝－1. 10.A　由题意可知，x＝2是m2x2－（m＋3）x＋4＝0的解，但不是唯一的解， 因此4m2－2（m＋3）＋4＝0，解得m＝1或m＝－. 当m＝1时，x＝2是x2－4x＋4＝0唯一的解，故不满足题意； 当m＝－时， 则x2－x＋4＝0，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8，满足题意.综上所述，m＝－.故选A. 11.2或－　解析：∵集合{x｜（a－2）x2＋3x－1＝0，x∈R}有且仅有两个子集， ∴方程（a－2）x2＋3x－1＝0只有一个根， ∴当a＝2时，x＝，成立； 当a≠2时，Δ＝9＋4（a－2）＝0即a＝－，方程只有一个根， ∴a＝2或a＝－. 12.解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0（a≥0）， 即（a－1）（a－9）＝0， 解得：a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3. ∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}. （2）设x＋＝y， 则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0， ∴（y＋1）（y－4）＝0， 解得：y＝－1或y＝4， 即x＋＝－1（方程无解，舍去）或x＋＝4， 故x＋＝4. 13.0＜m≤　解析：设两个正实数根分别为x1，x2， 则⇒0＜m≤. 14.解：（1）证明：∵Δ＝（2k＋1）2－16＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2≥0， 所以无论k取何值，关于x的方程x2－（2k＋1）x＋4＝0总有实数根. （2）△ABC为等腰三角形，可能有两种情况： ①b或c中至少有一个等于a＝4，即：方程x2－（2k＋1）x＋4＝0有一根为4， 则42－4（2k＋1）＋4＝10－4k＝0，解得k＝. 方程为x2－6x＋8＝0，另一根为2，此时△ABC周长为a＋b＋c＝10； ②b＝c时，Δ＝（2k＋1）2－16＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2＝0，解得k＝， 方程为x2－4x＋4＝0，得b＝c＝2，则b＋c＝a，此时不能构成三角形. 综上，△ABC的周长为10. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $