专题03 集合与逻辑用语中的参数与新定义问题（专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与逻辑用语的参数求解及新定义问题，通过分级题型构建从基础到综合的解题逻辑链，培养数学思维与问题求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合中的参数问题|7类题型（含3高频/2重点）|覆盖元素归属、集合运算等参数场景，强调分类讨论|从元素与集合关系到集合间运算，形成参数求解的完整逻辑链| |常用逻辑用语中的参数问题|2类题型（含1重点）|结合充分必要条件、命题真假求参，注重逻辑推理|衔接集合关系与逻辑判断，体现数学语言的精确表达| |新定义问题|3类题型（均标注难）|定义新运算、概念、性质，考查信息迁移能力|基于集合核心概念拓展，培养创新意识与理性思维|

专题03 集合与逻辑用语中的参数与新定义问题 常考题型·精准突破 考点一 集合中的参数问题 题型1 根据元素与集合的归属关系求参（重） 题型2 根据集合中元素的个数求参 题型3 根据集合相等求参 题型4 根据空集的性质求参 题型5 根据集合（真）子集的个数求参（重） 题型6根据集合的包含关系求参（高频） 题型7 根据集合的运算结果求参（高频） 考点二 常用逻辑用语中的参数问题 题型1 根据充分必要条件关系求参 题型2 根据含量词的命题真假求参（重） 考点三 新定义问题 题型1 集合新定义问题——定义新运算（难） 题型2 集合新定义问题——定义新概念（难） 题型3 集合新定义问题——定义新性质（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 集合中的参数问题 ◆题型1 根据元素与集合的归属关系求参 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知全集，集合，若，则________. 5．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． ◆题型2 根据集合中元素的个数求参 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 6．（25-26高一上·河南·期末）已知集合，为实数． (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有1个整数元素0，求的取值范围． ◆题型3 根据集合相等求参 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）设集合，若，则的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 3．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 4．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）若集合，则__________． ◆题型4 根据空集的性质求参 1．已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 3．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 4．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. 5．已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. ◆题型5 根据集合（真）子集的个数求参 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（多选）（25-26高一上·浙江·期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________． 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 6．（25-26高一上·河南郑州·期中）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. ◆题型6根据集合的包含关系求参 1．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． ◆题型7 根据集合的运算结果求参 1．集合A＝，B＝，若AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，则ab＝_______. 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 3．已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R. （1）A∩M＝________； （2）若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________. 4．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，若，则的取值范围是__________. 5．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 6．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 考点二 常用逻辑用语中的参数问题 ◆题型1 根据充分必要条件关系求参 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 4．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． ◆题型2 根据含量词的命题真假求参 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西铜川·期末）已知命题：，命题：R，，若命题，都是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是________． 5．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 考点三 新定义问题 ◆题型1 集合新定义问题——定义新运算 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 3．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 4．（多选）（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 5．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 6．（25-26高一上·北京·期中）定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ ◆题型2 集合新定义问题——定义新概念 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 4．（多选）（2026高一上·全国·专题练习）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 6.（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； ◆题型3 集合新定义问题——定义新性质 1.若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 2.若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 3．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·河南·期中）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 3．（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 4．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为___________. 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集，是质数，，，，求___________. 6．（25-26高二下·山西运城·期末）给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 7．（25-26高一上·河南·期中）已知有限集合中元素的个数记作，已知集合，，均为实数，若，则实数的所有取值组成的集合为______． 8．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 9．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求的取值范围. 11．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合与逻辑用语中的参数与新定义问题 常考题型·精准突破 考点一 集合中的参数问题 题型1 根据元素与集合的归属关系求参（重） 题型2 根据集合中元素的个数求参 题型3 根据集合相等求参 题型4 根据空集的性质求参 题型5 根据集合（真）子集的个数求参（重） 题型6根据集合的包含关系求参（高频） 题型7 根据集合的运算结果求参（高频） 考点二 常用逻辑用语中的参数问题 题型1 根据充分必要条件关系求参 题型2 根据含量词的命题真假求参（重） 考点三 新定义问题 题型1 集合新定义问题——定义新运算（难） 题型2 集合新定义问题——定义新概念（难） 题型3 集合新定义问题——定义新性质（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 集合中的参数问题 ◆题型1 根据元素与集合的归属关系求参 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 2．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系列出不等式组求解即得. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 4．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 5．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. ◆题型2 根据集合中元素的个数求参 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 2．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 3．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 4．（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 5．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 6．（25-26高一上·河南·期末）已知集合，为实数． (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有1个整数元素0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合与元素之间的包含关系列不等式求解； （2）根据集合与元素的包含关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则由条件可得， 解得． （2）由知， 因为中有且仅有1个整数元素，故必然有 解得． ◆题型3 根据集合相等求参 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 2．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）设集合，若，则的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及相等集合的定义列出方程组求解. 【详解】由集合，得，又，则或， 当时，， 于是，得，因此； 当时，集合，有，则，解得，不满足题意， 所以. 故选：D 3．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 4．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 5．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）若集合，则__________． 【答案】6 【分析】由题意方程只有唯一解，求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：. ◆题型4 根据空集的性质求参 1．已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合均为空集的的范围，再取其补集即可. 【详解】集合为空集，则，解得， 集合为空集，则，解得， 因此集合均为空集时，， 所以实数的取值范围为或且. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 3．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）关于的方程的解集是空集，______________． 【答案】/0.5 【分析】化简方程，分类讨论解方程即可求解． 【详解】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 4．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 5．已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. ◆题型5 根据集合（真）子集的个数求参 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】确定的所有子集，结合并集运算即可求解. 【详解】的子集有： ， 要满足为的真子集，且的最大， 由8个子集可知：两个元素的子集最多一个， 若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意， 单元素子集最多两个， 若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意， 再包含一个空集， 举例：符合题意. 即的最大值是， 故选：B 3．（多选）（25-26高一上·浙江·期中）已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合有且仅有8个子集，可知集合中有且仅有个元素，即不等式有且仅有3个整数解，由此分类讨论可得的取值范围. 【详解】由题可知集合中有且仅有个元素. 所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解. 当时，； 当时，； 当时，集合中至少有五个元素，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 6．（25-26高一上·河南郑州·期中）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： ◆题型6根据集合的包含关系求参 1．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 2．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 3．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 5．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D ◆题型7 根据集合的运算结果求参 1．集合A＝，B＝，若AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，则ab＝_______. 【答案】30 【解析】先求出集合A,由AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，可得，从而得出答案.. 【详解】集合A＝ 由AB＝{2，3，5}，AB＝{3} 所以,即2,3为方程的两个实数根. 所以，即 所以 故答案为：30 【点睛】本题考查了利用集合运算的结果求参数，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求出，利用，即可确定实数的取值范围. 【详解】因为 所以 又因为， ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及利用集合关系求参数，属于中档题. 3．已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R. （1）A∩M＝________； （2）若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________. 【答案】 {x|－3<x<5} －2≤b<－1 【分析】根据交集定义求第一空；先求∁UM，再根据并集含义求第二空. 【详解】因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}； 因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM 因为B∪(∁UM)＝R，所以 故答案为：{x|－3<x<5}；－2≤b<－1 【点睛】本题考查交集定义、补集定义、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 5．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 6．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2) 当该整数元素为时，； 当该整数元素为时，. 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 考点二 常用逻辑用语中的参数问题 ◆题型1 根据充分必要条件关系求参 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 2．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 4．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 5．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【详解】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. ◆题型2 根据含量词的命题真假求参 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 3．（25-26高一上·陕西铜川·期末）已知命题：，命题：R，，若命题，都是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的范围，与取公共部分即可. 【详解】若命题：R，，为真命题， 则，解得或. 若命题p，q都是真命题， 则实数的取值范围是或或， 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为命题“若，则”为真命题， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 考点三 新定义问题 ◆题型1 集合新定义问题——定义新运算 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 3．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 4．（多选）（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 5．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 6．（25-26高一上·北京·期中）定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 【答案】9 【分析】分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9. ◆题型2 集合新定义问题——定义新概念 1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 2．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（   ） A．800 B．625 C．1550 D．750 【答案】A 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 4．（多选）（2026高一上·全国·专题练习）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 5．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 6.（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【答案】(1) (2)2或10 【分析】（1）因为要得到差倍集，所以需找出P中所有满足的元素对，代入运算，再将所有运算结果组成集合； （2）因为，所以需先对k的大小进行分类讨论：分、情况；在每种情况下，计算所有对应的，再根据中恰好有两个元素的条件，确定中恰好有两个元素的条件，确定k的取值. 【详解】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． ◆题型3 集合新定义问题——定义新性质 1.若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 2.若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 3．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 2．（多选）（25-26高一上·河南·期中）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 【答案】AC 【分析】由题意，按照和分类讨论，根据集合元素的性质求值即可. 【详解】由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 故选：AC. 3．（多选）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（    ） A．若，则中有 3 个元素 B．若，则 C．若 ，则是一个集合键 D．集合键共有6个 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用的定义，以及集合键的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由集合，可得， 所以中有3个元素，所以A正确； 对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确； 对于C，由集合，可得， 此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误； 对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于， 则有：；；； ；；；，共计6个， 所以共有6个集合键，所以D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】1或2 【分析】根据集合关系列出所有可能情况并验证互异性确定的值. 【详解】因为，所以或或， 解得或或， 又当时，集合不满足互异性， 所以的值为或. 故答案为：或. 5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知全集，是质数，，，，求___________. 【答案】 【分析】首先确定全集，再根据补集、交集的结果确定元素与集合的关系，即可得解. 【详解】因为，是质数， 已知，这表示19和17属于，但不属于. 已知，这表示11和7属于，但不属于. 已知，根据德摩根定律， 即，所以， 这表示5和3既不属于也不属于. 由上述分析可知，19和17不属于，11和7属于，5和3不属于. 那么剩下的元素2、13需要进一步分析. 因为，，， 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 综上，. 故答案为：. 6．（25-26高二下·山西运城·期末）给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 【答案】3 【分析】由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 7．（25-26高一上·河南·期中）已知有限集合中元素的个数记作，已知集合，，均为实数，若，则实数的所有取值组成的集合为______． 【答案】 【分析】由题意得到，通过或或讨论求解即可. 【详解】因为集合中有3个元素，所以， 所以或或， 因为，， 所以无实数根， 由得；得． 当时，，，此时． 当时，，，不成立． 当时，，，不成立， 所以实数b的所有取值组成的集合为． 故答案为： 8．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）把代入集合得，求出，计算，即可. （2）由是的充分条件得出，然后建立不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 9．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式确定集合，再根据集合的包含关系求的取值范围. （2）问题转化为，再分情况讨论求的取值范围. 【详解】（1）由题得， 且， ，解得， 的取值范围为. （2）命题“，”为真命题， ， 又，， 或，即或， 的取值范围为. 11．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. 【详解】（1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合与逻辑用语中的参数与新定义问题 常考题型·精准突破 考点一 集合中的参数问题 ◆题型1 根据元素与集合的归属关系求参 1． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 2． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 3． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系列出不等式组求解即得. 【详解】由且，得 解得， 故选：A． 4． 【答案】2 【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可. 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 5． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. ◆题型2 根据集合中元素的个数求参 1． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 2． 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 3． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 4． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 5． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 6． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合与元素之间的包含关系列不等式求解； （2）根据集合与元素的包含关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则由条件可得， 解得． （2）由知， 因为中有且仅有1个整数元素，故必然有 解得． ◆题型3 根据集合相等求参 1． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 2． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及相等集合的定义列出方程组求解. 【详解】由集合，得，又，则或， 当时，， 于是，得，因此； 当时，集合，有，则，解得，不满足题意， 所以. 故选：D 3． 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 4． 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 5． 【答案】6 【分析】由题意方程只有唯一解，求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：. ◆题型4 根据空集的性质求参 1． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合均为空集的的范围，再取其补集即可. 【详解】集合为空集，则，解得， 集合为空集，则，解得， 因此集合均为空集时，， 所以实数的取值范围为或且. 故选：C 2． 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 3． 【答案】/0.5 【分析】化简方程，分类讨论解方程即可求解． 【详解】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 4． 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 5． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. ◆题型5 根据集合（真）子集的个数求参 1． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 2． 【答案】B 【分析】确定的所有子集，结合并集运算即可求解. 【详解】的子集有： ， 要满足为的真子集，且的最大， 由8个子集可知：两个元素的子集最多一个， 若两个元素的子集有两个，任意两个的并集都是，不符合题意， 单元素子集最多两个， 若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意， 再包含一个空集， 举例：符合题意. 即的最大值是， 故选：B 3． 【答案】ABC 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 4． 【答案】 【分析】由集合有且仅有8个子集，可知集合中有且仅有个元素，即不等式有且仅有3个整数解，由此分类讨论可得的取值范围. 【详解】由题可知集合中有且仅有个元素. 所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解. 当时，； 当时，； 当时，集合中至少有五个元素，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 5． 【答案】4或 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 6． 【答案】 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： ◆题型6根据集合的包含关系求参 1． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 2． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 3． 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 4． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 5． 【答案】D 【分析】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D ◆题型7 根据集合的运算结果求参 1． 【答案】30 【解析】先求出集合A,由AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，可得，从而得出答案.. 【详解】集合A＝ 由AB＝{2，3，5}，AB＝{3} 所以,即2,3为方程的两个实数根. 所以，即 所以 故答案为：30 【点睛】本题考查了利用集合运算的结果求参数，考查了运算求解能力，属于基础题. 2． 【答案】 【分析】先求出，利用，即可确定实数的取值范围. 【详解】因为 所以 又因为， ∴. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及利用集合关系求参数，属于中档题. 3． 【答案】 {x|－3<x<5} －2≤b<－1 【分析】根据交集定义求第一空；先求∁UM，再根据并集含义求第二空. 【详解】因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}； 因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM 因为B∪(∁UM)＝R，所以 故答案为：{x|－3<x<5}；－2≤b<－1 【点睛】本题考查交集定义、补集定义、根据并集结果求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 4． 【答案】 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 5． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 6． 【答案】(1) (2) 当该整数元素为时，； 当该整数元素为时，. 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 考点二 常用逻辑用语中的参数问题 ◆题型1 根据充分必要条件关系求参 1． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 2． 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 3． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 4． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 5． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【详解】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. ◆题型2 根据含量词的命题真假求参 1． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 2． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 3． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的范围，与取公共部分即可. 【详解】若命题：R，，为真命题， 则，解得或. 若命题p，q都是真命题， 则实数的取值范围是或或， 故选：C. 4． 【答案】 【详解】因为命题“若，则”为真命题， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 5． 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 考点三 新定义问题 ◆题型1 集合新定义问题——定义新运算 1． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 2． 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 3． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 4． 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 5． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 6． 【答案】9 【分析】分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9. ◆题型2 集合新定义问题——定义新概念 1． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 2． 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 3． 【答案】A 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：， 集合的元素之和为， 所以集合的全部非空子集的厚度之和为：. 故选：A 4． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 5． 【答案】ABD 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 6. 【答案】(1) (2)2或10 【分析】（1）因为要得到差倍集，所以需找出P中所有满足的元素对，代入运算，再将所有运算结果组成集合； （2）因为，所以需先对k的大小进行分类讨论：分、情况；在每种情况下，计算所有对应的，再根据中恰好有两个元素的条件，确定中恰好有两个元素的条件，确定k的取值. 【详解】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． ◆题型3 集合新定义问题——定义新性质 1. 【答案】B 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 2. 【答案】③④⑤ 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 3． 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 2． 【答案】AC 【分析】由题意，按照和分类讨论，根据集合元素的性质求值即可. 【详解】由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 故选：AC. 3． 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用的定义，以及集合键的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由集合，可得， 所以中有3个元素，所以A正确； 对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确； 对于C，由集合，可得， 此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误； 对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于， 则有：；；； ；；；，共计6个， 所以共有6个集合键，所以D正确. 故选：ABD. 4． 【答案】1或2 【分析】根据集合关系列出所有可能情况并验证互异性确定的值. 【详解】因为，所以或或， 解得或或， 又当时，集合不满足互异性， 所以的值为或. 故答案为：或. 5． 【答案】 【分析】首先确定全集，再根据补集、交集的结果确定元素与集合的关系，即可得解. 【详解】因为，是质数， 已知，这表示19和17属于，但不属于. 已知，这表示11和7属于，但不属于. 已知，根据德摩根定律， 即，所以， 这表示5和3既不属于也不属于. 由上述分析可知，19和17不属于，11和7属于，5和3不属于. 那么剩下的元素2、13需要进一步分析. 因为，，， 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 综上，. 故答案为：. 6． 【答案】3 【分析】由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 7． 【答案】 【分析】由题意得到，通过或或讨论求解即可. 【详解】因为集合中有3个元素，所以， 所以或或， 因为，， 所以无实数根， 由得；得． 当时，，，此时． 当时，，，不成立． 当时，，，不成立， 所以实数b的所有取值组成的集合为． 故答案为： 8． 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）把代入集合得，求出，计算，即可. （2）由是的充分条件得出，然后建立不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 9． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 10． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式确定集合，再根据集合的包含关系求的取值范围. （2）问题转化为，再分情况讨论求的取值范围. 【详解】（1）由题得， 且， ，解得， 的取值范围为. （2）命题“，”为真命题， ， 又，， 或，即或， 的取值范围为. 11． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. 【详解】（1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $