第一章 集合与常用逻辑用语全章高频重点题型突破（八大高频+五大重难+三大易错题型，专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 以题型分类为主线，覆盖集合与常用逻辑用语全章高频重点，通过基础巩固、核心突破、易错警示构建系统性训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|8题型（含选择填空）|集合元素关系、特性、表示方法及逻辑用语基础判断|元素-集合-关系-运算的概念生成链条| |核心提升|5题型（含解答题）|参数求解、新定义问题等综合应用|基础题型向复杂情境的拓展延伸| |易错归纳|3易错点|元素互异性、空集忽略、端点取舍等典型错误|针对概念理解误区的靶向警示| |综合攻坚|综合题型（含选择填空解答）|跨知识点综合应用与拔高|知识网络构建与实际问题解决|

第一章 集合与常用逻辑用语全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 集合与元素的关系 题型5 子集（真子集）个数 题型2 元素的三个特性 题型6 交并补运算 题型3 集合的表示方法 题型7 充分必要条件判断 题型4 包含关系的判断 题型8 特称与全称命题 核心提升·重难题型归纳 题型1 根据包含关系求参数 题型2 根据交并补运算结果求参数 题型3 根据充分必要性求参数 题型4 根据命题真假求参数 题型5 新定义问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 忽略元素的互异性 易错归纳2 集合间关系中忽略空集 易错归纳3 集合中忽略端点值的取舍 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 集合与元素的关系 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 3．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 4．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 5．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 6．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. ◆题型2 元素的三特性 1．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 2．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 4．（2026·高一·四川南充·阶段检测）集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（    ） A．x≠–1 B．x≠0 C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3 【答案】C 【解析】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C． 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： ◆题型3 集合的表示方法 1．（25-26高一下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 2．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 5．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. ◆题型4 包含关系的判断 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 4．（多选）（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，D，由于空集是任何集合的子集，故，故C正确，D不正确. 故选：ABD. 5． （多选）（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知集合，非空集合满足：，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题考查集合的交集运算以及子集的概念，解题的关键在于先求出集合B与集合C的交集，再根据子集的定义判断集合A的可能情况. 【详解】由题意知，集合，因为非空集合满足， 所以，则A的可能情况为. 故选： ◆题型5 子集（真子集）的个数 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 2．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 3．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 5．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 6．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． ◆题型6 交并补运算 1．（25-26高一下·河南·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，集合， 所以. 2．已知全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合子集的定义，以及交集、并集和补集的概念与运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，可得集合不是的子集，所以A错误； 对于B，由，可得，所以B错误； 对于C，由，可得，所以C错误； 对于D，由，可得，所以D正确. 3．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 4．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先计算出集合的交集，再计算出其关于上的补集. 【详解】由集合得， 则或. 故选：B 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 7．（2026·重庆·一模）已知全集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由子集和补集定义结合交集定义即可分析求解. 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A ◆题型7 充分、必要条件的判断 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可. 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 4．（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，可得，即，解得或， 则的解集为或， 若找的充分不必要条件对应的集合， 则必须满足，且，故A，C，D均正确，B错误. 5．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）命题“”是命题“”的_________条件. 【答案】充分不必要 【分析】解不等式，求出且，从而得到答案. 【详解】充分性：若，即，解得且，故充分性成立； 必要性：若，取，，故必要性不成立. 所以命题“”是命题“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 6．设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． ◆题型8 全称与特称命题 1．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【分析】先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假即可得解 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题的否定为. 3．（25-26高一下·湖北·期中）下列说法正确的是（     ） A．命题“”的否定是“” B．存在整数，使得． C．存在一个无理数，它的立方是有理数． D．至少有一个整数，使得为奇数． 【答案】C 【分析】对于A，由命题的否定即可判断，对于BD，通过条件得其运算结果为偶数不是奇数，对于C，由指数幂的运算即可找到满足题意的无理数. 【详解】A选项：命题“”的否定是“”，故A错； B选项：偶数 奇数，故B错误； C选项：，故C正确； D选项：为偶数，故D错误． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 对于C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）设命题p：，，则p的否定为________. 【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称命题即可得. 【详解】命题p： ，，则p的否定为：. ◆题型1 根据包含关系求参数 1．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 2．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 5．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 7．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【分析】使用集合的包含关系的定义求解. 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. ◆题型2 根据交并补运算结果求参数 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 2．（25-26高一上·天津·期中）已知集合，，则集合中的所有整数是_____；若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 、、 或 【分析】求出集合，可得出集合中所有整数；分、两种情况讨论，结合可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，故集合中的所有整数有、、， 由题意可得或， 因为，， 当时，，解得，合乎题意； 当时，，解得， 因为，所以，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：、、；或. 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 4．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 5．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. ◆题型3 根据充分必要性求参数 1．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 2．（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 3．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 4．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 5．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． ◆题型4 根据命题真假求参数 1．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 2．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 4．（25-26高一上·云南昭通·期中）请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则__________. 【答案】8（答案不唯一） 【分析】根据命题为真命题求得的取值范围为，进而根据范围取值即可. 【详解】因为命题“，使”为真命题， 所以，恒成立，即， 因为函数， 所以命题“，使”为真命题时的取值范围为 所以的值为中的任意值，故取即可. 故答案为：8（答案不唯一）. 5．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可； （2）方法一：根据不等式恒成立得出，，再结合最值计算求解；方法二：求出的最大值即可. 【详解】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. ◆题型5 新定义问题 1．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 3．（25-26高一上·上海·期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（   ） A．①真②假 B．①假②真 C．①真②真 D．①假②假 【答案】A 【分析】根据邻集的定义，并应用反例判断各命题的正误，即可得. 【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真； 注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假. 故选：A 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C 5．（多选）（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD ◆易错归纳1 忽略元素的互异性 1．已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 2．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. ◆易错归纳2 集合间关系中忽略空集 1．（多选）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】ACD 【分析】先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 2．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． ◆易错归纳3 集合中忽略端点值的取舍 1．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 2．已知，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过，确定满足的不等式，求解即可. 【详解】， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 一、单选题 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．已知命题：，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】若命题：，，则命题的否定是，. 3．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 4．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的关系求解． 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 7．（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，，不含 ， 不满足，故选项A错误； 选项B，，不含， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，，不含， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，，同时含， ， 满足，故选项D正确. 8．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南怀化·期末）下列说法中正确的有（    ） A．命题“”的否定为“” B．命题“任意三角形都不是中心对称图形”为真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件 【答案】BCD 【分析】对A，直接写出命题的否定，即可判断；对B，由对称中心图形的定义即可判断；对C和D，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】对于A，因为命题“”的否定为“”，所以A错误， 对于B，因为不存在点，使任意三角形绕这个点旋转后与原三角形重合，所以任意三角形都不是中心对称图形，故B正确， 对于C，取，显然满足，但，所以推不出， 又由得，所以可以推出，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，由平行四边形的性质可知，平行四边形两组对边分别相等；若四边形两组对边分别相等，则这个四边形为平行四边形， 所以“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件，故D正确， 故选：BCD. 10．（25-26高一上·山东聊城·期末）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 11．“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 13．（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 四、解答题 15．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 16．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 集合与元素的关系 题型5 子集（真子集）个数 题型2 元素的三个特性 题型6 交并补运算 题型3 集合的表示方法 题型7 充分必要条件判断 题型4 包含关系的判断 题型8 特称与全称命题 核心提升·重难题型归纳 题型1 根据包含关系求参数 题型2 根据交并补运算结果求参数 题型3 根据充分必要性求参数 题型4 根据命题真假求参数 题型5 新定义问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 忽略元素的互异性 易错归纳2 集合间关系中忽略空集 易错归纳3 集合中忽略端点值的取舍 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 集合与元素的关系 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 ◆题型2 元素的三特性 1．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 2．已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 4．（2026·高一·四川南充·阶段检测）集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是（    ） A．x≠–1 B．x≠0 C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. ◆题型3 集合的表示方法 1．（25-26高一下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 5．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 ◆题型4 包含关系的判断 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 4．（多选）（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 5． （多选）（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知集合，非空集合满足：，则集合可能为（    ） A． B． C． D． ◆题型5 子集（真子集）的个数 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 3．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 6．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 ◆题型6 交并补运算 1．（25-26高一下·河南·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·一模）已知全集为，则（    ） A． B． C． D． ◆题型7 充分、必要条件的判断 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）命题“”是命题“”的_________条件. 6．设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） ◆题型8 全称与特称命题 1．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北·期中）下列说法正确的是（     ） A．命题“”的否定是“” B．存在整数，使得． C．存在一个无理数，它的立方是有理数． D．至少有一个整数，使得为奇数． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）设命题p：，，则p的否定为________. ◆题型1 根据包含关系求参数 1．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 7．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. ◆题型2 根据交并补运算结果求参数 1．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 2．（25-26高一上·天津·期中）已知集合，，则集合中的所有整数是_____；若，则实数的取值范围是_____. 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 4．（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 5．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. ◆题型3 根据充分必要性求参数 1．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 4．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 5．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． ◆题型4 根据命题真假求参数 1．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高一上·云南昭通·期中）请写出一个值，使命题“，使”为真命题，则__________. 5．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题：存在实数，使成立.若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题：任意实数，使恒成立.若命题是假命题，求实数的取值范围. ◆题型5 新定义问题 1．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（   ） A．①真②假 B．①假②真 C．①真②真 D．①假②假 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（多选）（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． ◆易错归纳1 忽略元素的互异性 1．已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 2．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 ◆易错归纳2 集合间关系中忽略空集 1．（多选）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 2．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． ◆易错归纳3 集合中忽略端点值的取舍 1．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知命题：，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 4．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 7．（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南怀化·期末）下列说法中正确的有（    ） A．命题“”的否定为“” B．命题“任意三角形都不是中心对称图形”为真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件 10．（25-26高一上·山东聊城·期末）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 11．“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则______． 13．（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 四、解答题 15．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 16．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语全章高频重点题型突破 ◆题型1 集合与元素的关系 1．【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 3．【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 4．【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 5．【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 6．【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. ◆题型2 元素的三特性 1．【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 2．【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 3．【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 4．【答案】C 【解析】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C． 5．【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： ◆题型3 集合的表示方法 1．【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 2．【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 3．【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 4．【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 5．【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. ◆题型4 包含关系的判断 1．【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 3．【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 4．【答案】ABD 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，D，由于空集是任何集合的子集，故，故C正确，D不正确. 故选：ABD. 5.【答案】ABC 【分析】本题考查集合的交集运算以及子集的概念，解题的关键在于先求出集合B与集合C的交集，再根据子集的定义判断集合A的可能情况. 【详解】由题意知，集合，因为非空集合满足， 所以，则A的可能情况为. 故选： ◆题型5 子集（真子集）的个数 1．【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 2．【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 3．【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 4．【答案】B 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 5．【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 6．【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． ◆题型6 交并补运算 1．【答案】B 【详解】已知集合，集合， 所以. 2．【答案】D 【分析】根据题意，结合子集的定义，以及交集、并集和补集的概念与运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，可得集合不是的子集，所以A错误； 对于B，由，可得，所以B错误； 对于C，由，可得，所以C错误； 对于D，由，可得，所以D正确. 3．【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 4．【答案】B 【分析】先计算出集合的交集，再计算出其关于上的补集. 【详解】由集合得， 则或. 故选：B 5．【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 6．【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 7．【答案】A 【分析】由子集和补集定义结合交集定义即可分析求解. 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A ◆题型7 充分、必要条件的判断 1．【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 3．【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可. 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 4．【答案】ACD 【详解】由，可得，即，解得或， 则的解集为或， 若找的充分不必要条件对应的集合， 则必须满足，且，故A，C，D均正确，B错误. 5．【答案】充分不必要 【分析】解不等式，求出且，从而得到答案. 【详解】充分性：若，即，解得且，故充分性成立； 必要性：若，取，，故必要性不成立. 所以命题“”是命题“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 6．【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． ◆题型8 全称与特称命题 1．【答案】D 【分析】先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假即可得解 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 2．【答案】B 【详解】命题的否定为. 3．【答案】C 【分析】对于A，由命题的否定即可判断，对于BD，通过条件得其运算结果为偶数不是奇数，对于C，由指数幂的运算即可找到满足题意的无理数. 【详解】A选项：命题“”的否定是“”，故A错； B选项：偶数 奇数，故B错误； C选项：，故C正确； D选项：为偶数，故D错误． 4．【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 对于C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 5．【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称命题即可得. 【详解】命题p： ，，则p的否定为：. ◆题型1 根据包含关系求参数 1．【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 2．【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 3．【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 4．【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 5．【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 6．【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 7．【答案】3 【分析】使用集合的包含关系的定义求解. 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. ◆题型2 根据交并补运算结果求参数 1．【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 2．【答案】 、、 或 【分析】求出集合，可得出集合中所有整数；分、两种情况讨论，结合可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，故集合中的所有整数有、、， 由题意可得或， 因为，， 当时，，解得，合乎题意； 当时，，解得， 因为，所以，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：、、；或. 3．【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 4．【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 5．【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. ◆题型3 根据充分必要性求参数 1．【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 2．【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 3．【答案】C 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 4．【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 5．【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． ◆题型4 根据命题真假求参数 1．【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 2．【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 4．【答案】8（答案不唯一） 【分析】根据命题为真命题求得的取值范围为，进而根据范围取值即可. 【详解】因为命题“，使”为真命题， 所以，恒成立，即， 因为函数， 所以命题“，使”为真命题时的取值范围为 所以的值为中的任意值，故取即可. 故答案为：8（答案不唯一）. 5．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把存在问题转化为判别式大于等于零，再解一元二次不等式即可； （2）方法一：根据不等式恒成立得出，，再结合最值计算求解；方法二：求出的最大值即可. 【详解】（1）：存在实数，使成立， 则， 解得或 所以实数的取值范围为. （2）方法一：任意实数，使恒成立，. 因为时，， 则， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. 方法二：，， 因为时，， 则即， 根据命题为假命题，则，故实数的取值范围为. ◆题型5 新定义问题 1．【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2．【答案】B 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 3．【答案】A 【分析】根据邻集的定义，并应用反例判断各命题的正误，即可得. 【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真； 注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假. 故选：A 4．【答案】C 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C 5．【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD ◆易错归纳1 忽略元素的互异性 1．【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 2．【答案】A 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. ◆易错归纳2 集合间关系中忽略空集 1．【答案】ACD 【分析】先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 2．【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． ◆易错归纳3 集合中忽略端点值的取舍 1．【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 2．【答案】A 【分析】通过，确定满足的不等式，求解即可. 【详解】， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 一、单选题 1．【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．【答案】C 【详解】若命题：，，则命题的否定是，. 3．【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 4．【答案】B 【详解】因为，则. 5．【答案】A 【详解】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．【答案】A 【分析】根据集合相等的关系求解． 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 7．【答案】D 【详解】选项A，，不含 ， 不满足，故选项A错误； 选项B，，不含， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，，不含， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，，同时含， ， 满足，故选项D正确. 8．【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 二、多选题 9．【答案】BCD 【分析】对A，直接写出命题的否定，即可判断；对B，由对称中心图形的定义即可判断；对C和D，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】对于A，因为命题“”的否定为“”，所以A错误， 对于B，因为不存在点，使任意三角形绕这个点旋转后与原三角形重合，所以任意三角形都不是中心对称图形，故B正确， 对于C，取，显然满足，但，所以推不出， 又由得，所以可以推出，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，由平行四边形的性质可知，平行四边形两组对边分别相等；若四边形两组对边分别相等，则这个四边形为平行四边形， 所以“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件，故D正确， 故选：BCD. 10．【答案】ACD 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 11．【答案】BD 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 三、填空题 12．【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 13．【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 14．【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 四、解答题 15．【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $