第1章 1.2.1 命题与量词（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“命题与量词”核心知识点，从命题的概念及真假判断切入，通过问题情境引出全称（存在）量词的定义，构建“概念辨析-命题类型判断-真假推理-参数范围应用”的完整学习支架，衔接逻辑用语的基础与后续推理学习。 该资料以生活逻辑问题为导语，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过实例分析（如判断“∀x∈R，x²+1>0”真假）培养数学思维中的推理意识，借助符号化表示（∀、∃）训练数学语言表达。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.2.1　命题与量词 学习目标　1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 导语 在我们的日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题.无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理.因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质. 一、命题及命题的真假判断 问题1　下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？ (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)2+4=6； (3)若x2=1，则x=1； (4)2是质数. 提示　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假. 知识梳理 注意点： (1)能判断真假的陈述语句才是命题，疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题. (2)一个命题不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题. (3)命题可用小写英文表示，如p，q，…. 例1　(1)下列语句为命题的是(　　) A.x-1=0 B.2+3=8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 答案　B 解析　A中x不确定，x-1=0的真假无法判断；B中2+3=8是命题，且是假命题；C中不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.若x+y>0，则x>0且y>0 B.矩形的对角线相等 C.若m≥1，则m+3<4的解集是R D.若a+7是无理数，则a是无理数 答案　BD 解析　对于A，当x=-1，y=2时，有x+y>0，但x<0，y>0，故A为假命题；对于B，矩形的对角线相等，故B为真命题；对于C，若m≥1，则m+3<4的解集是∅，故C为假命题；对于D，若a+7是无理数，则a是无理数，故D为真命题. 反思感悟　(1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假. (2)判断命题真假性的两个技巧 ①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论. ②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可. 二、全称量词命题与存在量词命题 问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 知识梳理 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题 命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“∀x∈M，r(x)” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“∃x∈M，s(x)” 注意点： (1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来. (2)要判定全称量词命题“∀x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立；要判定其是假命题，只需举出一个反例即可. (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明s(x)都不成立. 例2　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2； (4)存在一个实数x，使得x2+2x+3=0. 解　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题. (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题. (3)存在a=-5，b=-3，a<b，但(-5)2>(-3)2，所以该命题是假命题. (4)由于x∈R，则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在，所以该命题是假命题. 反思感悟　(1)判断全称量词命题真假的思维过程 (2)判断存在量词命题真假的思维过程 跟踪训练　(课本例题)判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2+1>0； (2)∀x∈N≥1； (3)∃x∈Z，x3<1； (4)∃x∈Q，x2=3. 解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2+1≥1>0. 因此命题“∀x∈R，x2+1>0”是真命题. (2)由于0∈N，而且当x=0时≥1不成立. 因此命题“∀x∈N≥1”是假命题. (3)由于-1∈Z，而且当x=-1时，有(-1)3<1. 因此命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题. (4)由于使x2=3成立的数只有和-而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3. 因此命题“∃x∈Q，x2=3”是假命题. 跟踪训练　判断下列命题的真假. (1)∀x∈R，|x|+1≥1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为∀x∈R，|x|≥0，所以|x|+1≥1，所以命题是真命题. (2)真命题，如梯形. (3)因为0∈N，02=0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题. 三、依据含量词命题的真假求参数的范围 例3　已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得≤m≤3. 即m的取值范围为. 延伸探究1　将本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，求出实数m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B， 因为B≠∅，所以解得m≥9. 即m的取值范围为{m|m≥9}. 延伸探究2　把本例中的命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围. 解　p为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以6-m≤m+3，即m≥. 当m≥时，6-m≤m+3≥ 故∈B， 所以A∩B≠∅，满足题意， 故m的取值范围为. 反思感悟　含量词命题的真假求参数取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解. 1.知识清单： (1)命题及其真假判断. (2)全称量词命题与存在量词命题. (3)依据含量词命题的真假求参数的范围. 2.方法归纳：转化与化归、分离参数法. 3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”. 1.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.存在一个实数，使-2x2+x-4=0 B.所有的质数都是奇数 C.存在偶数2n是7的倍数 D.至少存在一个正整数，能被5和7整除 答案　CD 解析　A中方程-2x2+x-4=0无实根，故A不正确；B中2是质数，但不是奇数，故B不正确；C，D正确. 2.(多选)下列命题中，是全称量词命题的是(　　) A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对任意x∈R，y∈R，都有x2+|y|>0 答案　BCD 解析　A中含有存在量词，是存在量词命题；B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；D是全称量词命题. 3.(多选)下列命题中，是存在量词命题且是假命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|+2≤0 B.存在一个实数x，使等式x2+x+8=0成立 C.每个二次函数的图象都与x轴相交 D.∃x∈R，x2=x 答案　AB 解析　对于A，∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|+2≥2， ∴不存在x∈R，使|x|+2≤0. 故该命题为存在量词命题且是假命题； 对于B，∵∀x∈R，x2+x+8=+>0， ∴该命题为存在量词命题且是假命题； 对于C，该命题是全称量词命题且是假命题，如存在二次函数y=x2+x+1的图象与x轴不相交； 对于D，该命题是存在量词命题且是真命题，如当x=0或x=1时，x2=x均成立. 4.若命题“∃x∈R，x2-x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　若命题“∃x∈R，x2-x+a=0”为假命题，则一元二次方程x2-x+a=0无实数解，则Δ=1-4a<0，解得a>故a的取值范围是. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.下列语句中，不是命题的是(　　) A.空集是任何集合的子集 B.求证9是无理数； C.若x∈R，则x2-x+1=0 D.面积相等的三角形是全等三角形 答案　B 解析　ACD是命题，B不是命题. 2.下列命题中，是存在量词命题的是(　　) A.存在一个菱形，它的四条边不相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.任何一个素数是奇数 D.梯形有两边平行 答案　A 解析　对于A，命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”，含有存在量词， 则命题为存在量词命题，故A是； 对于B，命题可以叙述为“任意平行四边形的对角线互相平分”， 则命题为全称量词命题，故B不是； 对于C，命题“任何一个素数是奇数”为全称量词命题，故C不是； 对于D，命题可以叙述为“任意梯形有两边平行”， 则命题为全称量词命题，故D不是. 3.下列命题是假命题的是(　　) A.∃x∈R，|x|-2x≤0 B.∀x∈Z，x2∈Q C.∀x∈R，x2-2x+4>0 D.∃x∈R，x2+3x+5=0 答案　D 解析　对于A项，当x=1时，满足|x|-2x≤0，A项是真命题； 对于B项，因为∀x∈Z，x2∈Z，且Z⊆Q，所以x2∈Q，B项是真命题； 对于C项，∀x∈R，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>0，C项是真命题； 对于D项，因为x2+3x+5=+>0，所以x2+3x+5=0无解，D项是假命题. 4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.∃n∈N+，2n2+5n+2能被2整除 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 答案　B 解析　A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，令n=2，2n2+5n+2=20，能被2整除，所以B是存在量词命题又是真命题；C中，因为+(-)=0，所以C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题. 5.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　) A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈B，x∈A 答案　AD 解析　因为集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以“∃x∈A，x∈B”“∀x∈B，x∈A”为真命题. 6.(多选)已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2-a=0为真命题，则实数a的取值可以是(　　) A.1 B.0 C.3 D.-3 答案　AC 解析　因为p为真命题，即方程x2+2x+2-a=0有实数根， 所以Δ=4-4(2-a)≥0，解得a≥1. 即实数a的取值范围为a≥1. 因此所有选项中只有A，C满足题意. 7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　　　　　.  答案　∃x<0，(1+x)(1-9x)2>0 解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 8.(5分)根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为　　　　　　　　.  13+23=(1+2)2， 13+23+33=(1+2+3)2， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2， 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2， … 答案　∀n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2 解析　根据已知条件的规律可得，∀n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 9.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)有理数都是实数；(3分) (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3分) (3)直角三角形中的两个锐角之和为90°；(3分) (4)∀x>0，x+>2.(3分) 解　(1)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题. (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题. (3)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的直角三角形中的两个锐角之和为90°”，是全称量词命题，且为真命题. (4)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题，当x=1时，x+=2，所以命题为假命题. 10.(9分)已知命题“∃-3≤x≤2，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围. 解　由3a+x-2=0，得-3a+2=x， ∵-3≤x≤2， ∴-3≤-3a+2≤2，即0≤a≤ 故实数a的取值范围是. 11.(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.若x，y∈R且x+y>2，则x，y至少有一个大于1 B.∀x∈R，2x<x2 C.∃x∈N+，x为29的约数 D.若∃x∈R，x2+m≤0，则实数m的取值范围是(-∞，0] 答案　ACD 解析　对于A，假设x，y全都不大于1，即x≤1且y≤1，则x+y≤2，与条件矛盾，所以假设不成立，故A为真命题；对于B，当x=1时，2x>x2，故B为假命题；对于C，当x=1时，x为29的约数，故C为真命题；对于D，∃x∈R，x2+m≤0，则m≤(-x2)max=0，故D为真命题. 12.(多选)给出下列全称量词命题与存在量词命题，其中真命题是(　　) A.设A，B为两个非空集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B B.设A，B为两个集合，若AB，则存在x∈A，使得x∉B C.∀x是无理数，x2是有理数 D.∀x是无理数，x4是无理数 答案　AB 解析　对于A，非空集合A，B满足A⊆B，则由集合包含关系的定义知，对任意x∈A，都有x∈B，A是真命题； 对于B，集合A，B满足AB，则由集合真包含关系的定义知，存在x∈A，使得x∉B，B是真命题； 对于C，显然π是无理数，π2也是无理数，C是假命题； 对于D，显然是无理数，()4=4却是有理数，D是假命题. 13.(5分)已知命题p：∃x∈R，x2-2x+k+2=0，命题q：∀x∈R，x2-2(k-1)x+k2-3≠0.若p是真命题，q是假命题，则实数k的取值范围为　　　　　　　　　.  答案　{k|k≤-1} 解析　若命题p为真命题，即关于x的方程x2-2x+k+2=0有实根，则Δ1=4-4(k+2)≥0，解得k≤-1.若命题q为真命题，则Δ2=4(k-1)2-4(k2-3)<0，解得k>2，故当q为假命题时，k≤2.因为p是真命题，q是假命题，所以实数k的取值范围为{k|k≤-1}. 14.(5分)能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　存在两个不相等的正数a，b，如a=b=使得a-b=ab是真命题. 15.若命题p：“∀x∈[1，2]，2x2-x-m>0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，1) B.(-1，+∞) C.(-1，1) D.[-1，1] 答案　A 解析　由命题p：“∀x∈[1，2]，2x2-x-m>0”为真命题，即对于∀x∈[1，2]，m<2x2-x恒成立，得m<(2x2-x)min=1，所以m<1. 16.(10分)已知M={x|a≤x≤a+1}， (1)若“∀x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)若“∃x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)∀x∈M，x+1>0是真命题，即a+1>0，解得a>-1， 所以实数a的取值范围是a>-1. (2)“∃x∈M，x+1>0”成立，即a+1+1>0， 解得a>-2， 所以实数a的取值范围是a>-2. 学科网（北京）股份有限公司 $