第1章 1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件、必要条件”核心知识点，从命题“若p则q”形式切入，通过平行四边形判定与性质定理建立概念联系，结合集合包含关系深化理解，构建从定义到判定再到参数取值应用的学习支架。 该资料以具体数学命题为情境，引导学生用数学眼光抽象概念本质，通过定义法、集合法等培养逻辑推理的数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 学习目标　1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分条件、必要条件求参数的取值范围. 导语 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系. 一、充分条件、必要条件的判断 问题　观察下面几个命题，你能把它们变成“如果p，那么q”的形式吗？你能得到什么？ (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)平行四边形的两组对边分别相等； (5)平行四边形的一组对边平行且相等； (6)平行四边形的两条对角线互相平分. 提示　(1)如果四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形. (2)如果四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形. (3)如果四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. (4)如果四边形是平行四边形，那么四边形的两组对边分别相等. (5)如果四边形是平行四边形，那么四边形的一组对边平行且相等. (6)如果四边形是平行四边形，那么四边形的两条对角线互相平分. 由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一. 知识梳理 1.充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件， q不是p的必要条件 2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 3.充分条件、必要条件与集合的关系 A={x|p(x)}，B={x|q(x)} A⊆B p(x)是q(x)的充分条件， q(x)是p(x)的必要条件 A⊈B p(x)不是q(x)的充分条件 q(x)不是p(x)的必要条件 B⊆A q(x)是p(x)的充分条件， p(x)是q(x)的必要条件 B⊈A q(x)不是p(x)的充分条件， p(x)不是q(x)的必要条件 角度1　充分条件的判断 例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈N，则a∈R； (2)若x>1，则x2>1； (3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3； (4)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC. 解　(1)由于NR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件. (2)由x>1可以推出x2>1. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3， 因此pq，所以p不是q的充分条件. (4)由三角形中大角对大边可知， 若∠A>∠B， 则BC>AC. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件. 反思感悟　充分条件的两种判定方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件. (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 角度2　必要条件的判断 例2　判断下列各题中，p是不是q的必要条件： (1)p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形； (2)p：x-1=q：x=1； (3)p：-1≤x≤5，q：-2≤x≤5； (4)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形. 解　(1)直角三角形不一定是等腰三角形， 因此qp，所以p不是q的必要条件. (2)当x=1时，x-1==0，所以q⇒p， 所以p是q的必要条件. (3)设A=[-2，5]，B=[-1，5]， 则BA，所以qp，所以p不是q的必要条件. (4)等边三角形一定是等腰三角形，所以q⇒p， 所以p是q的必要条件. 反思感悟　必要条件的判定方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论. (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围小范围. (3)传递法：由递推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件. 跟踪训练1　在下列各题中，分析p与q的关系： (1)p：x>2同时y>3，q：x+y>5； (2)p：α为锐角，q：α=45°； (3)p：(x+1)(x-2)=0，q：x+1=0. 解　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件. (3)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件. 二、充分条件与必要条件的应用 例3　已知A=B={x|0<x<3}，且A≠∅，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围. 解　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B. 因为A≠∅，则<解得m>0， 要使A⊆B，应有解得0<m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|0<m≤3}. 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 跟踪训练2　已知集合M={x|a-1<x<a+1}，N={x|-3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围. 解　因为q是p的必要条件，所以M⊆N. 于是解得-2≤a≤7. 故a的取值范围为{a|-2≤a≤7}. 1.知识清单： (1)充分条件的判断. (2)必要条件的判断. (3)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值. 1.已知p：(a+b)(a-b)=0，q：a=b，则p是q的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　B 解析　因为(a+b)(a-b)=0a=b，所以pq.又因为a=b⇒(a+b)(a-b)=0，即q⇒p，所以p是q的必要条件. 2.在△ABC中，“∠A+∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 答案　A 解析　因为在△ABC中，由∠A+∠C<90°可得∠B>90°，故可以推出△ABC是钝角三角形.由△ABC是钝角三角形不能推出∠A+∠C<90°，如∠A为钝角，则∠A+∠C>90°.所以“∠A+∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的充分条件. 3.设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　) A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4 答案　C 4.已知p：5x-1>a，q：x>1，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.(4，+∞) B.[4，+∞) C.(-∞，4) D.(-∞，4] 答案　B 解析　由5x-1>a，得x>要使q是p的必要条件，需有≥1，解得a≥4，即实数a的取值范围是[4，+∞). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q：> 答案　A 解析　根据充分条件的概念逐一判断， 只有ab≠0⇒a≠0. 2.a<0，b<0的一个必要条件是(　　) A.a+b<0 B.a-b>0 C.>1 D.<-1 答案　A 解析　a<0，b<0⇒a+b<0. 3.已知a∈N+，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　A 解析　若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件. 4.下列说法中，q不是p的必要条件的是(　　) A.p：a，b均是无理数，q：a+b也是无理数 B.p：A⊆B，q：A∩B=A C.p：a>b，c>0，q：ac>bc D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A=∠B 答案　A 解析　A中，若a，b均是无理数，则a+b可能是有理数，如a=1-b=1+；所以q不是p的必要条件； B中，因为p⇒q，所以q是p的必要条件； C中，因为p⇒q，所以q是p的必要条件； D中，因为对顶角相等，即p⇒q，所以q是p的必要条件. 5.(多选)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<-2 答案　CD 解析　因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根，所以解得a<0.选项中a<-1⇒a<0，a<-2⇒a<0. 6.(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件 D.“x>3”是“x2>4”的充分条件 答案　ACD 解析　m是有理数⇒m是实数，故A正确； 当BA时，x∈Ax∈A∩B，故B不正确； x=3⇒x2-2x-3=0，故C正确； x>3⇒x2>4，故D正确. 7.(5分)已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)  答案　必要 解析　这两个三角形的对应角相等△ABC≌△A1B1C1，反之，△ABC≌△A1B1C1⇒∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1.所以这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要条件. 8.(5分)已知条件p：1-x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，1] 解析　p：x>1，若p是q的充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1. 9.(10分)下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：四边形的四个角相等，q：四边形是正方形；(3分) (2)p：A∩B=A，q：∁UB⊆∁UA；(3分) (3)p：x2-2x-2m=0有实根，q：m≥-1.(4分) 解　(1)∵四边形的四个角相等四边形是正方形，而四边形是正方形⇒四边形的四个角相等，∴p是q的必要条件. (2)画出维恩图(如图). 结合图形可知，A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，反之也成立.∴p是q的充分条件，且p是q的必要条件. (3)若方程x2-2x-2m=0有实根， 则Δ=4+8m≥0，解得m≥-. ∵m≥-⇒m≥-1， 而m≥-1m≥- ∴p是q的充分条件. 10.(11分)是否存在实数m，使“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　记A={x|x>2或x<-1}，由4x+m<0，得x<-记B=. 由题意得B⊆A，则-≤-1，即m≥4， 此时x<-≤-1⇒x>2或x<-1， 即“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件， 所以实数m的取值范围是[4，+∞). 11.如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分也不必要条件 答案　A 解析　如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲. 又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙⇒乙，但乙丙. 综上，有丙⇒乙⇒甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 12.设m，n∈R，当mn≥0时，m⊗n=m+n；当mn<0时，m⊗n=|m+n|.例如-6⊗4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　A 解析　当a=0，b=-1或a=-1，b=0时，ab=0，则a⊗b=-1+0=-1，当a⊗b=-1时，根据题意可知ab≥0，所以a+b=-1，故只要满足ab≥0且a+b=-1即可，显然不止a=0，b=-1或a=-1，b=0这种情况，比如a=b=-a=-b=-等也满足，所以“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a⊗b=-1”的充分条件，但不是必要条件. 13.(5分)若p：-2<a<0，0<b<1；q：关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根，则p是q的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)  答案　必要 解析　若a=-1，b=则Δ=a2-4b<0，关于x的方程x2+ax+b=0无实根，故pq.若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0<x1<x2<1，则x1+x2=-a，x1x2=b.于是0<-a<2，0<b<1，即-2<a<0，0<b<1，故q⇒p.所以p是q的必要条件，但不是q的充分条件. 14.(5分)已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{m|m≥-3} 解析　由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}. 15.集合A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A.{b|-2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|-2<b<2} D.{b|-2≤b≤2} 答案　C 解析　A={x|-1<x<1}， B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}. 因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1， 解得-2<b<2. 16.(12分)(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件；(6分) (2)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.(6分) 解　(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，则只要⊆{x|x<-1或x>3}， 故只需-≤-1，即m≥2. 故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件. (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要{x|x<-1或x>3}⊆ 这是不可能的. 故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $