第1章 1.1.3 第2课时 补 集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“补集”核心知识点，系统梳理全集含义及符号表示、补集概念与运算性质，构建从集合关系引入到补集运算，再到交并补综合运算及参数范围问题的学习支架。 以“对立统一”情境导入，通过定义法、维恩图、数轴多方法解题，培养数学眼光中的几何直观与抽象能力。例题结合延伸探究，强化数学思维的推理意识，课时对点练分层设计，助力课后查漏补缺，提升教学效果。

第2课时　补　集 学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用维恩图、数轴进行集合的运算. 导语 相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集. 一、全集与补集 问题　若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 提示　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B=∅，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系. 知识梳理 1.全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集. (2)记法：全集通常用U表示. 2.补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作：A在U中的补集 符号语言 ∁UA={x|x∈U且x∉A} 图形语言 3.补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，有 (1)A∪(∁UA)=U. (2)A∩(∁UA)=∅. (3)∁U(∁UA)=A. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，它是依据具体的问题确定的. (2)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 例1　(1)已知全集为R，集合A={x|x<1或x≥5}，则∁RA=　　　　　　　　.  答案　{x|1≤x<5} 解析　在数轴上画出集合A， 由数轴，得∁RA={x|1≤x<5}. (2)设U={x|-5≤x<-2或2<x≤5，x∈Z}，A={x|x2-2x-15=0}，B={-3，3，4}，则∁UA=　　　　，∁UB=　　　　.  答案　{-5，-4，3，4}　{-5，-4，5} 解析　方法一　由题意得U={-5，-4，-3，3，4，5}. 又A={x|x2-2x-15=0}={-3，5}， 所以∁UA={-5，-4，3，4}，∁UB={-5，-4，5}. 方法二　可用维恩图表示. 则∁UA={-5，-4，3，4}， ∁UB={-5，-4，5}. 反思感悟　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. (2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集. (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含. 跟踪训练　已知全集为U，集合A={1，3，5，7}，∁UA={2，4，6}，∁UB={1，4，6}，则集合B=　　　　　　　.  答案　{2，3，5，7} 解析　方法一(定义法) 因为A={1，3，5，7}，∁UA={2，4，6}，所以U={1，2，3，4，5，6，7}. 又∁UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}. 方法二(维恩图法) 满足题意的维恩图如图所示. 由图可知B={2，3，5，7}. 二、交、并、补的综合运算 例2　(1)(课本例4)已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x2≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B). 解　不难看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3}. 因此∁UA={3，4，5，6，7}，∁UB={0，4，5，6，7}， (∁UA)∪(∁UB)={0，3，4，5，6，7}， ∁U(A∩B)={0，3，4，5，6，7}. (2)(课本例5)已知A=(-1，+∞)，B=(-∞，2]，求∁RA，∁RB. 解　在数轴上表示出A和B，如图所示. 由图可知∁RA=(-∞，-1]，∁RB=(2，+∞). 例2　已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<x≤3}，P=求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示， 因为A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<x≤3}， 所以A∩B={x|-1<x<2}，∁UB={x|x≤-1或x>3}. 又P= 所以(∁UB)∪P=. 又∁UP= 所以(A∩B)∩(∁UP)={x|0<x<2}. 延伸探究1　(变问法)在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP). 解　画出数轴，如图所示， 观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)=. 延伸探究2　(变条件)将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U=P，A，B不变，求A∪(∁UB). 解　画出数轴，如图所示， 观察数轴可知A∪(∁UB)={x|x<2或3<x≤5}. 反思感悟　(1)解决集合交、并、补运算的技巧 ①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解. ②如果所给集合是无限集，则常借助数轴进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. (2)重要结论：设集合U为全集，A，B为U的子集，则有①∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)，简记为“交之补等于补之并”. ②∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)，简记为“并之补等于补之交”. 三、与补集有关的参数的范围问题 例3　设集合A={x|x+m≥0}，B={x|-2<x<4}，全集U=R，且(∁UA)∩B=∅，求实数m的取值范围. 解　由已知，得A={x|x≥-m}， 所以∁UA={x|x<-m}， 因为B={x|-2<x<4}，(∁UA)∩B=∅， 所以-m≤-2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}. 延伸探究3　将本例的条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　由已知，得A={x|x≥-m}， 所以∁UA={x|x<-m}， 又B={x|-2<x<4}，(∁UA)∩B≠∅， 所以-m>-2，解得m<2. 所以实数m的取值范围是{m|m<2}. 延伸探究4　将本例的条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UB)∪A=R”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　由已知，得A={x|x≥-m}， ∁UB={x|x≤-2或x≥4}. 又(∁UB)∪A=R，所以-m≤-2，解得m≥2. 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}. 反思感悟　由集合的补集求解参数范围的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数范围问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解. (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数范围问题时，一般利用数轴分析法求解. 1.知识清单： (1)全集和补集的概念及运算. (2)交、并、补集的混合运算. (3)与补集有关的参数范围的求解. 2.方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合. 3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍. 1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，则∁UA等于(　　) A.{1，2，3，4，5} B.{1，5} C.{2，3，4} D.以上都不对 答案　B 解析　因为U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，所以∁UA={1，5}. 2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则∁A(A∩B)等于(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 答案　D 解析　因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}， 所以B={1，4，9，16，25，81}， 则A∩B={1，4，9}，∁A(A∩B)={2，3，5} . 3.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)=∅，则M∪N等于(　　) A.M B.N C.I D.∅ 答案　A 解析　如图，因为N∩(∁IM)=∅，且M，N不相等，所以NM，所以M∪N=M. 4.已知全集U=R，集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|mx+1=0}，B∩(∁UA)=∅，则实数m的值为　　　　　　.  答案　0或1或- 解析　A={x|x2-x-2=0}={-1，2}，B∩(∁UA)=∅等价于B⊆A.当m=0时，B=∅⊆A；当m≠0时，B= ∴-=-1或-=2，即m=1或m=-. 综上，实数m的值为0或1或-. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.设全集U={x∈N+|x<9}，集合A={3，4，5，6}，则∁UA等于(　　) A.{1，2，3，8} B.{1，2，7，8} C.{0，1，2，7} D.{0，1，2，7，8} 答案　B 解析　因为U={x∈N+|x<9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5，6}，所以∁UA={1，2，7，8}. 2.已知全集U={x∈N+|x≤5}，A={0，1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩(∁UB)等于(　　) A.∅ B.{1} C.{1，2} D.{2，3} 答案　B 解析　由题可知，U={x∈N+|x≤5}={1，2，3，4，5}，所以∁UB={1，4}，所以A∩(∁UB)={1}. 3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　) A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4} C.{x|x≤1} D.{x|x≥1} 答案　C 解析　因为S={x|x>-2}，所以∁RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. 4.图中的阴影部分表示的集合是(　　) A.A∩(∁UB) B.B∩(∁UA) C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) 答案　B 解析　由维恩图可知，阴影部分的元素属于B但不属于A，所以用集合表示为B∩(∁UA). 5.(多选)已知集合A，B均为全集U={1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)={4}，B={1，2}，则下列说法正确的是(　　) A.A∪B={1，2，3} B.集合A有4个 C.A∩(∁UB)={3} D.(∁UA)∩(∁UB)={3，4} 答案　ABC 解析　∵∁U(A∪B)={4}，U={1，2，3，4}，∴A∪B={1，2，3}，故A正确； 又B={1，2}，∴A={1，3}或A={2，3}或A={1，2，3}或A={3}，故B正确； ∵B={1，2}，∴∁UB={3，4}，∴A∩(∁UB)={3}，故C正确； ∵(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={4}，故D错误. 6.已知全集U={3，a2-3a-2，2}，A={3，|a-1|}，∁UA={-2}，则实数a等于(　　) A.0 B.3 C.1 D.2 答案　B 解析　因为A∪(∁UA)=U， 所以{3，-2，|a-1|}={3，a2-3a-2，2}， 从而 解得a=3. 7.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则∁U(A∩B)=　　　　　　.  答案　{1，2，5} 解析　A∩B={3，4}，所以∁U(A∩B)={1，2，5}. 8.(5分)已知M={x|x<-2或x≥3}，N={x|x-a≤0}，若N∩(∁RM)≠∅(R为实数集)，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  答案　[-2，+∞) 解析　由题意，得N={x|x≤a}，∁RM={x|-2≤x<3}，借助数轴可得a≥-2. 9.(10分)已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|-2<x<3}，B={x|-3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B). 解　把集合A，B，U表示在同一数轴上，如图所示，由图可得∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}，∁UB={x|x<-3或2<x≤4}，A∪B={x|-3≤x<3}， 故A∩B={x|-2<x≤2}， (∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)={x|2<x<3}，∁U(A∪B)={x|x<-3或3≤x≤4}. 10.(10分)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，且A⊆∁UB，求实数a的取值范围. 解　若B=∅，则a+1>2a-1，则a<2， 此时∁UB=R，∴A⊆∁UB，满足条件； 若B≠∅，则a+1≤2a-1，即a≥2， 此时∁UB={x|x<a+1或x>2a-1}， ∵A⊆∁UB，∴或 解得a>4. 综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}. 11.已知集合A={x|x<-3或x>1}，B={x|x≤-4或x>a}，若A∩(∁RB)中恰好含有2个整数，则(　　) A.3<a<4 B.3≤a<4 C.3<a≤4 D.3≤a≤4 答案　B 解析　根据题意，知a>-4， 则∁RB={x|-4<x≤a}. 又A={x|x<-3或x>1}， ∴A∩(∁RB)={x|-4<x<-3或1<x≤a}， ∵A∩(∁RB)中恰好含有2个整数， ∴3≤a<4. 12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，(∁US)∩T={4}，(∁US)∩(∁UT)={1，5}，则有(　　) A.3∈S B.3∈∁US C.3∈T D.3∈∁UT 答案　AD 解析　因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又(∁US)∩T={4}，所以4∉S，4∈T，又(∁US)∩(∁UT)={1，5}，所以∁U(S∪T)={1，5}，所以1，5∉(S∪T)，3∈(S∪T)，3∉(S∩T)，若3∈T，则3∉S，3∈(∁US)∩T，与(∁US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3∉T，3∈∁UT. 13.(5分)某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中a=　　　　　；b=　　　　　；c=　　　　　.  答案　9　8　10 解析　由题意得 则解得 14.(5分)已知集合S={x|0<x<9}，集合A={x|8<x<10}，B={x|a<x<2a-1}，若(∁SB)∩A={x|8<x<9}，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　当B=∅时，2a-1≤a，得a≤1， 此时∁SB=S，(∁SB)∩A=S∩A={x|8<x<9}，符合题意； 当B≠∅时，2a-1>a，得a>1， 因为S={x|0<x<9}，B={x|a<x<2a-1}， 所以∁SB={x|0<x≤a或2a-1≤x<9}， 因为(∁SB)∩A={x|8<x<9}， 所以2a-1≤8，得a≤ 所以当B≠∅时，1<a≤ 综上所述，实数a的取值范围是. 15.(多选)设集合M={m|m=5k-2，k∈Z}，N={n|n=10k+8，k∈Z}，则(　　) A.M∪N=M B.M∩N=∅ C.(∁ZM)∪N=Z D.(∁ZM)⊆(∁ZN) 答案　AD 解析　∵n=10k+8=5×2k+5×2-2=5(2k+2)-2， 由k∈Z，则2k+2∈Z， 即N中的元素都是M中的元素，有N⊆M； 而对于集合M，当k=1时，m=3， 故3∈M，但3∉N，∴NM， 则M∪N=M，A正确； M∩N=N，B错误； 由NM，有(∁ZM)(∁ZN)， 又(∁ZN)∪N=Z， ∴(∁ZM)∪N≠Z，C错误，D正确. 16.(12分)在①A∪B=B；②A⊆(A∩B)；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并求解下列问题. 已知集合A={x|2a-1<x≤a+1}，B={x|-1≤x≤3}. (1)当a=-时，求A∩(∁RB)；(5分) (2)若　　　　，求实数a的取值范围.(7分)  解　(1)当a=-时，集合A=B={x|-1≤x≤3}， 则∁RB={x|x<-1或x>3}， 所以A∩(∁RB)={x|-2<x<-1}. (2)若选择①，由A∪B=B可得A⊆B， 因为A={x|2a-1<x≤a+1}， 当A=∅时，A⊆B成立，则2a-1≥a+1， 解得a≥2； 当A≠∅时，由A⊆B可得 解得0≤a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥0}. 若选择②，由A⊆(A∩B)可得A⊆B，下同选择①. 若选择③，因为A={x|2a-1<x≤a+1}，B={x|-1≤x≤3}， 当A=∅时，A∩B=∅成立，则2a-1≥a+1， 解得a≥2； 当A≠∅时，由A∩B=∅可得 或解得a<-2. 综上，实数a的取值范围是{a|a<-2或a≥2}. 学科网（北京）股份有限公司 $