第1章 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定这一核心知识点，先从命题否定的定义、真假关系及常见词语否定入手，再通过实例总结全称与存在量词命题否定的形式规律，构建由基础到进阶的学习支架。 该资料以《人民日报》“否定”论述情境导入，通过问题链引导探究，结合实例分析培养数学思维中的逻辑推理能力，知识梳理表格助力数学语言精准表达。课中辅助教师引导学生构建知识体系，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，强化应用。

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标　1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定.2.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 导语 “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要.一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强.” 结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思. 一、命题的否定 问题1　下列两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？ s：3的相反数是-3； t：3的相反数不是-3. 提示　命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题. 知识梳理 1.定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”. 2.命题p与其否定¬p的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然. 注意点： 常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 例1　写出下列命题的否定： (1)8的立方根是2； (2)若m2+n2=0，则实数m，n全为零； (3)若xy=0，则x与y中至少有一个为0. 解　(1)8的立方根不是2. (2)若m2+n2=0，则实数m，n不全为零. (3)若xy=0，则x与y均不为0. 反思感悟　¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是得出¬p的关键. 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 问题2　写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x+|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，r(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x+|x|<0. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 问题3　写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2-2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，s(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说，∀x∈R，x2-2x+3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 知识梳理　含量词的命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M，q(x) ∃x∈M，¬q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定. 例2　(课本例1)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈R，x2≥-1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}<x； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形. 解　(1)¬p：∃x∈R，x2<-1，由p是真命题可知¬p是假命题. (2)¬q：∃x∈{1，2，3，4，5}≥x.将集合中的元素逐个验证，当x=1时不等式成立，因此¬q是真命题. (3)¬s：所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题. 例2　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2+x+≠0； (3)每个三角形至少有两个锐角. 解　(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数. (2)该命题的否定为“∀x∈R，x2+x+=0”，是假命题，因为当x=1时，x2+x+=≠0. (3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知所得命题为假命题. 反思感悟　(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定. (2)对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述. 跟踪训练　(课本例2)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∃a∈R，一次函数y=x+a的图象经过原点； (2)q：∀x∈(-3，+∞)，x2>9. 解　(1)¬p：∀a∈R，一次函数y=x+a的图象不经过原点.因为当a=0时，一次函数y=x+a的图象经过原点，所以¬p是假命题. (2)¬q：∃x∈(-3，+∞)，x2≤9.因为x=0时，x2=0<9，所以¬q是真命题. 跟踪训练　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假. (1)等圆的面积相等； (2)至少有一个实数x，使x3+1=0. 解　(1)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知所得命题是假命题. (2)该命题的否定为“∀x∈R，x3+1≠0”，是假命题，因为当x=-1时，x3+1=0. 三、全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用 例3　若命题“存在x>1，使得2x+a<3”是假命题，求实数a的取值范围. 解　因为命题“存在x>1，使得2x+a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x+a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x+a>2+a， 所以2+a≥3， 所以a≥1. 延伸探究　(变条件)若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围. 解　由题意知，“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，所以a<1. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax). 1.知识清单： (1)命题的否定. (2)全称量词命题与存在量词命题的否定. (3)全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用. 2.方法归纳：转化法、分离参数法. 3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反. 1.命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A.所有能被5整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个能被5整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数，不能被5整除 答案　C 解析　“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以C正确. 2.已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2>2n 答案　C 解析　命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”. 3.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　) A.命题¬p是真命题 B.命题p是存在量词命题 C.命题p是全称量词命题 D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 答案　C 解析　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称量词命题. 4.若命题“∀x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a≤4} 解析　∵命题“∀x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题， ∴“∃x∈R，x2-4x+a=0”是真命题， ∴方程x2-4x+a=0有实数根，则Δ=(-4)2-4a≥0，解得a≤4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.“∀x∈N，8x+1是奇数”的否定是(　　) A.∃x∈N，8x+1不是奇数 B.∀x∈N，8x+1不是奇数 C.∀x∉N，8x+1不是奇数 D.∃x∈N，8x+1是奇数 答案　A 解析　“∀x∈N，8x+1是奇数”的否定是“∃x∈N，8x+1不是奇数”. 2.命题“∃x>1，x2-1≥0”的否定是(　　) A.∃x>1，x2-1<0 B.∀x>1，x2-1<0 C.∃x≤1，x2-1<0 D.∀x≤1，x2-1<0 答案　B 解析　命题“∃x>1，x2-1≥0”的否定是“∀x>1，x2-1<0”. 3.(多选)针对我校某次考试有关的命题p：所有文艺类学生都会做第1题，那么对命题p的否定正确的是(　　) A.所有文艺类学生都不会做第1题 B.存在一个文艺类学生不会做第1题 C.存在一个文艺类学生会做第1题 D.至少有一个文艺类学生不会做第1题 答案　BD 解析　由命题的否定可知，对命题p进行否定，选项BD都正确. 4.已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3 答案　D 解析　¬p：∀x∈{x|1<x<3}，x-a<0， ¬p是真命题， 即对∀x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立， 于是得a≥3. 5.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案　B 解析　对于命题p，取x=-1， 则有|x+1|=0<1， 故p是假命题，¬p是真命题， 对于命题q，取x=1， 则有x3=13=1=x， 故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 6.(多选)下列说法错误的是(　　) A.命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x” B.命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.∃x∈R，x2+2x+2≤0是真命题 D.对任意x∈R，总有x2>0是真命题 答案　ACD 解析　对于A，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故A错误； 对于B，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确； 对于C，x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立，故C错误； 对于D，当x=0时，x2=0，故D错误. 7.(5分)命题“对任意一个x∈R，都有x2-2x+4≤0”的否定是　　　　　　　　　　　.  答案　存在一个x∈R，使得x2-2x+4>0 解析　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为“存在一个x∈R，使得x2-2x+4>0”. 8.(5分)若命题“∃x∈R，2x2+3x+a=0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  答案　 解析　因为命题“∃x∈R，2x2+3x+a=0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，2x2+3x+a≠0”是真命题，即方程2x2+3x+a=0无实根，所以Δ=32-4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是. 9.(10分)写出下列命题p的否定，判断其否定的真假并说明理由. (1)p：∃x∈R，x2=-1；(2分) (2)p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2+x-1=0必有实数根；(3分) (3)p：有的平行四边形的对角线相等；(3分) (4)p：等腰梯形的对角线互相平分.(2分) 解　(1)因为p：∃x∈R，x2=-1，所以命题p的否定：∀x∈R，x2≠-1. 显然当x∈R时，x2≥0，x2≠-1，命题p的否定为真命题. (2)因为p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2+x-1=0必有实数根； 所以命题p的否定：存在实数m，关于x的方程m2x2+x-1=0没有实数根. 当m=0时，方程x-1=0有实根，当m≠0时，方程m2x2+x-1=0的判别式Δ=1+4m2>0，故命题p的否定为假命题. (3)p：有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等， 则命题p的否定是假命题. (4)p：等腰梯形的对角线互相平分，命题p的否定：存在一个等腰梯形，它的对角线不互相平分，则命题p的否定是真命题. 10.(10分)已知集合A={x|0≤x≤a}，B={x|m2+3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围. 解　因为“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，所以它的否定“∀m∈R，A∩B=∅”为真命题， 当a<0时，A={x|0≤x≤a}=∅，符合A∩B=∅； 当a≥0时，因为m2+3>0，所以由∀m∈R，A∩B=∅可得a<m2+3，对于m∈R恒成立， 因为m2+3≥3，所以0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}. 11.下列命题的否定是真命题的为(　　) A.p1：每一个合数都是偶数 B.p2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 C.p3：全等三角形的周长相等 D.p4：所有的无理数都是实数 答案　A 解析　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反.因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以¬p1是真命题.命题p2，p3，p4均为真命题，即¬p2，¬p3，¬p4均为假命题. 12.命题“∀n∈N+，2n∈N+且2n-n2≤n”的否定形式是(　　) A.∀n∈N+，2n∉N+且2n-n2>n B.∀n∈N+，2n∉N+或2n-n2>n C.∃n∈N+，2n∉N+且2n-n2>n D.∃n∈N+，2n∉N+或2n-n2>n 答案　D 解析　全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定是“∃n∈N+，2n∉N+或2n-n2>n”. 13.(多选)若“∃x∈M，x<0”为真命题，“∃x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是(　　) A.{x|x<1} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|0≤x<3} D.{x|-4<x<4} 答案　AD 解析　依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素， 则集合和均符合题意. 14.(5分)已知命题“∃x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  答案　 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，∴命题“∀x∈R，4x2+x+(a-2)≠0恒成立”是真命题，即判别式Δ=12-4×4×(a-2)<0，即a>.故实数a的取值范围为. 15.(5分)某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求m的取值范围.小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求m的取值范围.你认为两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　(填“是”或“否”).  答案　是 解析　∵命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+m>0”，而命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2+2x+m>0”为真命题，∴两位同学题中的m的取值范围是一致的. 16.(12分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥1+x，q：∃x∈R，2x2+5x+a=0，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围. 解　由∀x∈{x|1≤x≤2}，恒有1+x≤3，由∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥1+x，得a≥3， 因为p的否定是假命题，则p是真命题，因此a≥3， q是真命题，则方程2x2+5x+a=0有实数根，即Δ=25-8a≥0，解得a≤故3≤a≤ 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $