第1章 1.1.1 集合及其表示方法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学集合及其表示方法核心知识点，从生活实例引入集合含义，通过问题链梳理元素确定性、互异性、无序性特点，再到元素与集合的属于关系，最终掌握列举法、描述法及区间表示，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光（如分析1~10偶数等实例共同特征），通过例题变式（如集合相等求参）发展数学思维，用描述法精确表达（如坐标平面点集）强化数学语言。课中例题互动提升教学效果，课后对点练助力学生查漏补缺。

1.1.1　集合及其表示方法 学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合的基本属性解决一些简单的问题.2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.4.能正确使用区间表示数集. 导语 在日常生活中，同学们经常听到“集合”一词.比如体育课上，体育老师常常在开始的时候说“集合”，现代汉语解释为“许多分散的人或物聚集在一起”.在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，今天我们来进一步了解集合的有关知识. 一、集合的含义与元素的特点 问题1　下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根. 提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等. 问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？ 提示　都能构成集合.(1)中的元素是：2，4，6，8，10；(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)中的元素是：正方形；(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；(5)中的元素是：1，2. 知识梳理 1.集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母A，B，C，…表示. 2.元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示. 3.集合元素的特点 (1)确定性：集合的元素必须是确定的. (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的. (3)无序性：集合中的元素可以任意排列. 4.给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B. 例1　(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是(　　) A.中国古代四大发明 B.周长为10 cm的三角形 C.方程x2+2x-3=0的实数根 D.地球上的小河流 答案　ABC 解析　对于A，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；对于B，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；对于C，方程x2+2x-3=0的实数根为-3和1，能构成集合；对于D，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合. (2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　　.  答案　a≠±1 解析　由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 延伸探究1　在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　　　.  答案　±2 解析　由题意得a2=4，a=±2，符合题意. 延伸探究2　在例1(2)中增加条件“a是集合A的元素”，求实数a的值. 解　由题意可知，a=1或a2=a. ①若a=1，则a2=1，这与a2≠1相矛盾， 故a≠1. ②若a2=a，则a=0或a=1(舍去)，当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意. 综上，实数a的值为0. 反思感悟　(1)判断一组对象能构成集合的条件 ①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素； ②任何两个对象都是不同的； ③对元素出现的顺序没有要求. (2)判断两个集合相等的注意点 要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. (3)利用集合相等求参时，已知元素是突破口. 二、元素与集合的关系 1.元素与集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于A 2.集合的分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 3.几种常见的数集 名称 自然数集 (或非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N+或N* Z Q R 例2　(1)(多选)下列关系中正确的为(　　) A.∈Q B.-1∉N C.π∉R D.|-4|∈Z 答案　BD 解析　∵是无理数，∴∉Q，故A错误；-1∉N，故B正确；∵π是实数，∴π∈R，故C错误；∵|-4|=4是整数，∴|-4|∈Z，故D正确. (2)给出下列说法：①0∈∅；②如果a，b∈Z，则a-b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈Z，则-a∉N.其中正确的是　　　　.(填序号)  答案　② 解析　0∉∅，①错误；②正确；③是无限集，错误；当a=0时，-a=0∈N，④错误. 反思感悟　判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的. (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 跟踪训练1　(1)设不等式3-2x<0的解组成的集合为M，下列关系中正确的是(　　) A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M 答案　B 解析　当x=0时，3-2x=3>0，所以0∉M；当x=2时，3-2x=-1<0，所以2∈M. (2)下列结论中，不正确的是(　　) A.若a∈N，则-a∉N B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈Z，则a2∈N 答案　A 解析　A中，当a=0时，显然不成立. 三、集合的表示方法 角度1　列举法 问题3　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示　这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出. 知识梳理 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法. 注意点： (1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序. (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{　}”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号. (3)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等字眼. 例3　用列举法表示下列集合： (1)大于2且小于10的所有整数组成的集合； (2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合； (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合C. 解　(1)设大于2且小于10的所有整数组成的集合为A，那么A={3，4，5，6，7，8，9}. (2)设方程x2+x=0的所有实数根组成的集合为B，那么B={-1，0}. (3)由解得 所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1，4)， 所以C={(1，4)}. 反思感悟　用列举法表示集合的三步曲： 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 第三步：用大括号括起来. 角度2　描述法 问题4　你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？ 提示　不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}. 问题5　仿照上面的例子，你能表示偶数集吗？ 提示　{x∈Z|x=2k，k∈Z}. 知识梳理 1.一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质. 2.集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法. 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}. (2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等. (3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x=2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的. (4)所有描述的内容都要写在大括号内，如“{x∈Z|x=2m}，m∈N+”不符合要求，应将“m∈N+”写进“{　}”中，即{x∈Z|x=2m，m∈N+}. (5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. 例4　用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合A； (2)所有被3除余1的整数组成的集合B； (3)使y=有意义的实数x组成的集合C； (4)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解集D. 解　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合A={(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}. (2)因为被3除余1的整数可表示为3n+1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数组成的集合B={x|x=3n+1，n∈Z}. (3)要使y=有意义， 则x2+x-6≠0. 由x2+x-6=0，得x1=2，x2=-3. 所以使y=有意义的实数x组成的集合C={x|x≠2且x≠-3，x∈R}. (4)由(x-2)2+(y+3)2=0，解得x=2，y=-3. 所以方程的解集D={(x，y)|x=2，y=-3}. 反思感悟　利用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚该集合的代表元素.例如，集合{(x，y)|x=2，y=3}写成{x，y|x=2，y=3}是错误的. (2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x=2k，k∈Z}. 跟踪训练2　选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D. 解　(1)列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}， 描述法A={x∈N|x<8}. (2)描述法B={x|x=n2，n∈N}. (3)列举法C={(2，1)}， 描述法C=. (4)描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}. 四、区间及其表示 1.设a，b是两个实数，且a<b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“-∞”表示“负无穷大”，则实数集R可表示为区间(-∞，+∞). 集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 [a，+∞) (a，+∞) (-∞，a] (-∞，a) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆. (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立. (3)a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度. (4)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (5)∞是一个符号，而不是一个数. 例5　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； (2){x|x<0}； (3){x|-1<x<1}. 解　(1){x|x≥-1}=[-1，+∞). (2){x|x<0}=(-∞，0). (3){x|-1<x<1}=(-1，1). 反思感悟　用区间表示数集的原则和方法 (1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错. (2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. 跟踪训练3　(1)(课本例2)用区间表示不等式2x->x的所有解组成的集合A. 解　由2x->x可知x>，所以A=. 跟踪训练3　(1)不等式2x+3≤0的所有解组成的集合表示成区间是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　不等式2x+3≤0的所有解组成的集合为表示成区间为. (2)已知区间(a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，6) 解析　由题意可知a+1<7，解得a<6， 所以实数a的取值范围是(-∞，6). 1.知识清单： (1)集合的含义与元素的特点. (2)元素与集合的关系. (3)集合的表示方法. (4)区间及其表示. 2.方法归纳：分类讨论、转化与化归. 3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略互异性的判断；列举法与描述法的乱用. 1.区间(0，1]等于(　　) A.{0，1} B.{(0，1]} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} 答案　C 2.(多选)下列各组对象可以组成集合的是(　　) A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有质数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.面积为16 cm2的正方形 答案　BD 解析　A中“难题”的标准不确定，因此不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；D中面积为16 cm2的正方形具有确定性，能构成集合. 3.下列集合的表示方法正确的是(　　) A.第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B.不等式x-1<4的解集为{x<5} C.{全体整数} D.实数集可表示为R 答案　D 解析　A中应是xy<0；B中不符合描述法的规范格式，应为{x|x<5}；C中的“{　}”与“全体”意思重复. 4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A=B，则实数x=　　　　，y=　　　　.  答案　1　0 解析　由题意得或 解得或又当x=y=0时，不满足集合元素的互异性，所以x=1，y=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.把集合{x|x2-4=0}用列举法表示为(　　) A.{x=-2，x=2} B.{x|x=-2，或x=2} C.{x2-4=0} D.{-2，2} 答案　D 解析　根据题意，由x2-4=0解得x=-2或x=2，用列举法表示为{-2，2}. 2.下列关系中，正确的是(　　) A.-∈Z B.π∉R C.|-|∈Q D.2∈N 答案　D 解析　因为Z是整数集，故-∉Z，所以A错误； 因为R是实数集，故π∈R，所以B错误； 因为Q是有理数集，故|-|=∉Q，所以C错误； 因为N是自然数集，故2∈N，所以D正确. 3.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.菱形 答案　C 解析　由题意，集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a，b，c，d四个元素互不相等，以四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，结合选项，只可能为梯形. 4.已知集合M={x|x>1，x∈N}，则(　　) A.0∈M B.π∈M C.∈M D.2∈M 答案　D 解析　由集合M={x|x>1，x∈N}知0∉M，故A错误；π∉M，故B错误；∉M，故C错误；2∈M，故D正确. 5.下列集合相等的是(　　) A.M={(3，2)}，N={(2，3)} B.M={2，3}，N={3，2} C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1} D.M={2，3}，N={(2，3)} 答案　B 解析　选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不相等；选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N={y|x+y=1}=R，故集合M与N不相等；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不相等；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知集合M与N相等. 6.(多选)已知集合A={1，x，x2+3}，若4∈A，则x等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.4 答案　AD 解析　因为4∈A，所以x=4或x2+3=4，则x=4或x=-1或x=1， 而x=1时不满足集合中元素的互异性， 故x=4或x=-1. 7.(5分)若区间[2，a]的长度不超过5，则实数a的取值范围用区间表示为　　　　.  答案　(2，7] 解析　由题意可知所以2<a≤7， 即实数a的取值范围是(2，7]. 8.(5分)已知集合A={2，3，4，5，6}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则集合B中元素的个数为　　　.  答案　6 解析　因为x∈A，y∈A，x-y∈A，所以当x=4时，y=2；当x=5时，y=2或3；当x=6时，y=2或3或4.则B={(4，2)，(5，2)，(5，3)，(6，2)，(6，3)，(6，4)}，所以集合B中元素的个数为6. 9.(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集；(2分) (2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(2分) (3)不等式x-2>6的解构成的集合；(2分) (4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(2分) (5)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合.(2分) 解　(1){0，-1}. (2){x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}. (3){x|x>8}. (4){1，2，3，4，5，6}. (5)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}. 10.(11分)(1)设集合B=. ①试判断元素1，2与集合B的关系；(4分) ②用列举法表示集合B；(3分) (2)已知集合A={x|x2-ax+b=0}，若A={2，3}，求a，b的值.(4分) 解　(1)①当x=1时=2∈N. 当x=2时=∉N.∴1∈B，2∉B. ②∵∈N，x∈N，∴2+x只能取2，3，6， ∴x只能取0，1，4.∴B={0，1，4}. (2)由A={2，3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2，3，由根与系数的关系，得因此a=5，b=6. 11.关于x的方程ax2+x+a=0的解集有且只有一个元素，则a等于(　　) A.±或0 B.± C. D.- 答案　A 解析　当a=0时，方程为x+0=0，解得x=0，满足题意；当a≠0时，有即解得a=±. 12.已知集合A={1，2，4}，集合B=则集合B中元素之和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为集合A={1，2，4}， 所以集合B== 所以集合B中元素之和为. 13.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 答案　D 解析　由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误. 14.(5分)已知x，y，z为非零实数，代数式+++的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　　.  答案　3 解析　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个. 15.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M={(a，b)|a※b=16}中的元素个数是(　　) A.18 B.17 C.16 D.15 答案　B 解析　因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，9+7=16，10+6=16，11+5=16，12+4=16，13+3=16，14+2=16，15+1=16，1×16=16，16×1=16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个. 16.(13分)已知集合A={x|x=3n+1，n∈Z}，B={x|x=3n+2，n∈Z}，M={x|x=6n+3，n∈Z}. (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立？(5分) (2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a+b=m？证明你的结论.(8分) 解　(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z)， 令a=3k+1(k∈Z)，b=3k+2(k∈Z)，则m=a+b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立. (2)设a=3k+1，b=3l+2，k，l∈Z， 则a+b=3(k+l)+3，k，l∈Z. 当k+l=2p(p∈Z)时，a+b=6p+3∈M，此时存在m∈M，使a+b=m成立；当k+l=2p+1(p∈Z)时，a+b=6p+6∉M， 此时不存在m∈M，使a+b=m成立. 故对于任意a∈A，b∈B， 不一定存在m∈M，使a+b=m. 学科网（北京）股份有限公司 $