第1章 1.1.2 集合的基本关系（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、相等关系及维恩图等核心知识点。课堂导入以上节课集合概念为基础，通过方程解集实例设问集合间关系，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以具体实例（如班级学生、偶数集）引导观察元素特征培养数学眼光，通过归纳子集个数公式（2ⁿ）发展数学思维，用维恩图、数轴表达集合关系训练数学语言。含课本例题与参数应用探究，采用数形结合与分类讨论，小结梳理知识方法，助学生系统掌握，教师可提升教学效率。

1.1.2 集合的基本关系 §1.1　集合 <<< 1.理解集合之间的包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集、真子集. 3.了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系. 学习目标 上节课我们学习了集合的相关概念，那么大家能否判断：1和2是否属于集合A=呢？我们用列举法知道：该集合可以表示为从而可以判断2∈A，1∉A.那么集合与集合A又有什么关系呢？ 导 语 一、集合间关系的判断 二、子集、真子集及个数问题 课时对点练 三、集合间关系的应用 随堂演练 内容索引 集合间关系的判断 一 观察下面的几个例子，请说出两个集合元素有何特点？ (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)A={x|x=2k，k∈Z}，B={偶数}. 问题 提示　(1)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素； (2)集合C的任意元素都是集合D的元素，但立德中学高一(2)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素； (3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素. 1.子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的_________元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A B(或B A)读 作： (或 ) 或 任意一个 ⊆ ⊇ A包含于B B包含A 知识梳理 概念 定义 符号表示 图形表示 真子集 如果集合A是集合B的 ，并且B中 有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 A B(或B A)读 作：___________ (或 )   相等 如果集合A和集合B的元素 _________ _____   子集 至少 A真包含于B B真包含A 完全相同 A=B 2.维恩图 如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图. 封闭曲线 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即∅　B. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果A　B，B　C，则A　C. (4)如果A⊆B且B⊆A，则A=B；反之，如果A=B，则A⊆B且B⊆A. 注 意 点 <<< 11 (课本例3)写出下列每对集合之间的关系： (1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}； 例 1 因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4∉B，所以B　A. 解 (2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}； 不难看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D. 解 12 (3)E=(-∞，3)，F=(-1，2]； 在数轴上表示出区间E和F，如图所示. 解 由图可知F　E. 13 (4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}. 如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H. 反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形， 所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G. 综上可知，G=H. 解 14 指出下列各对集合之间的关系： (1)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； 例 1 集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. 解 (2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}； 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A　B. 解 15 (3)A=(-1，4)，B={x|x-5<0}； 集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A　B. 解 (4)M={x|x=2n-1，n∈N+}，N={x|x=2n+1，n∈N+}. 由列举法知M={1，3，5，7，…}，N={3，5，7，9，…}，故N　M. 解 16 (1)判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察. ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. ③数形结合法：利用数轴或维恩图. (2)证明集合间的包含关系，一般用定义. 反 思 感 悟 17 　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是 跟踪训练 1 √ 由x2-x=0，解得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N　M，其对应的维恩图如选项B所示. 解析 18 (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： ①A　　　B；②A　　　C； ③{2}　　　C；④2　　　C.  A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}. 故①A=B；②A　C；③{2}　C；④2∈C. 解析 = ∈ 19 二 子集、真子集及个数问题 填写下表，并回答问题： 例 2 集合 集合的子集 子集的个数 ∅     {a}     {a，b}     {a，b，c}     由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 21 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2. 解 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 22 利用例题的结论，试求满足{1，2}　M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数. 延伸探究 1 由题意可得{1，2}　M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个， 又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7， 故集合M的个数为7. 解 23 求集合的子集的关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. (3)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个. 反 思 感 悟 24 (课本例1)写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集. 跟踪训练 2 集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}， {6，7，8}. 在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集. 解 25 已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集及真子集. 跟踪训练 2 因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}， 所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以集合A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}. 解 26 集合间关系的应用 三 　(课本例2)已知区间A=(-∞，2]和B=(-∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围. 例 3 因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示. 解 从而可知a≤2. 28 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于 A.2 B.1 C. D.-1 例 3 若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. 解析 √ 29 (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 因为A⊆B，如图所示，此时B≠∅， 所以 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 解 30 　若例3(2)中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 延伸探究 2 ①当B=∅时，满足B⊆A， 此时m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 解 31 若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 延伸探究 3 ①当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 解 32 若例3(2)中的条件不变，且B　A，求实数m的取值范围. 延伸探究 4 ①当B=∅时，满足B　A，此时m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠∅，且B　A时，如图所示. 所以 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 解 33 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍. (2)涉及“A⊆B”或“A　B且B≠∅”的问题，一定要分A=∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况. 反 思 感 悟 34 1.知识清单： (1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断. (2)子集、真子集的个数问题. (3)由集合间的关系求参数的值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴解题时忽视是否能够取到端点. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)以下四个选项中，错误的为 A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} √ √ A应是{1}⊆{0，1，2}； 对于B，集合中的元素有无序性，故B正确； 对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确； D应是∅⊆{0}. 解析 1 2 3 4 2.(多选)集合M={1，2，3}，N={a，b}，若N⊆M，则a+b可能是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 因为N⊆M， 所以N的所有可能为 所以a+b可能等于3或4或5. 解析 √ √ 1 2 3 4 3.已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围 是　　　　　　.  由题意可知，集合是空集，即方程x2+x+a=0无解， 则Δ=1-4a<0，解得a> 所以实数a的取值范围是. 解析 1 2 3 4 4.已知集合A={x|0<x<a}，B={x|1<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　　.  [2，+∞) ∵B⊆A， ∴利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C ACD AB A B D 31　30 题号 8 11 12 13 14 15 答案 {p|p≥4} C B {a|a<-4或a>2} ±1 C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)A　B. (2)A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴B　A. (3)4和10的公倍数是20的倍数， 因而A={x∈N+|x是4与10的公倍数}={x∈N+|x是20的倍数}={x|x=20m，m∈N+}=B. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)A={x|x2-5x+6=0}={2，3}， 所以集合A的所有非空子集为{2}，{3}，{2，3}. (2)由已知得B⊆A={2，3}， ①若B=∅，则m=0，满足条件. ②若B≠∅，当2∈B时，得m=-； 当3∈B时，得m=-. 故所求的集合为. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1，2}， B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}， ∴1∈B. 又B　A，∴a-1=1， 即a=2. ∵C={x|x2-bx+2=0}，且C⊆A， ∴C=∅或{1}或{2}或{1，2}. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当C={1，2}时，b=3； 当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0， 即b=±2 此时x=±与C={1}或{2}矛盾，故舍去； 当C=∅时，Δ=b2-8<0， 即-2<b<2. 综上可知，存在a=2，b=3或-2<b<2满足B　A，C⊆A. 基础巩固 1.下列各选项中，表示M⊆N的是 由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ ∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 解析 3.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A⊆B且B⊆A，则实数m等于 A.2 B.-1 C.-2 D.4 √ ∵A⊆B且B⊆A，∴A=B， ∴m2-m=2，解得m=2或m=-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是 A.M　Q B.M，Q互不包含 C.Q　M D.Q=M √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}， ∴M　Q. 解析 5.已知集合A={x，0}，B={y，0，1}，其中x，y∈{0，1，2，3，4，5}，且A⊆B.满足以上条件的全部有序数对(x，y)的个数为 A.6 B.8 C.20 D.36 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，当x=1时，y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个. 当x=y时，x=y=2，3，4，5，有序数对(x，y)有4个. 所以全部有序数对(x，y)的个数为8. 解析 6.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}. 又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. 解析 7.集合A=的真子集个数为　　，非空真子集个数为　　. 因为∈N，x∈N，所以x=5，4，3，2，0， 所以集合A={0，2，3，4，5}，所以集合A的真子集个数为25-1=31，非空真子集个数为25-2=30. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 30 8.已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　 .  集合A={x|x<-1或x>2}， B={x|4x+p<0}= 若B⊆A，则-≤-1，即p≥4， 则实数p的取值范围是{p|p≥4}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {p|p≥4} 9.判断下列两个集合之间的关系： (1)A={x|x<0}，B={x|x<1}； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A　B. 解 (2)A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}； A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴B　A. 解 (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m，m∈N+}. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4和10的公倍数是20的倍数，因而A={x∈N+|x是4与10的公倍数}= {x∈N+|x是20的倍数}={x|x=20m，m∈N+}=B. 解 10.已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且B⊆A. (1)求集合A的所有非空子集； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A={x|x2-5x+6=0}={2，3}， 所以集合A的所有非空子集为{2}，{3}，{2，3}. 解 (2)求实数m的值组成的集合. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得B⊆A={2，3}， ①若B=∅，则m=0，满足条件. ②若B≠∅，当2∈B时，得m=-； 当3∈B时，得m=-. 故所求的集合为. 解 11.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于 A.1 B.2 C.3 D.6 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}， 故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3. 解析 12.已知集合M=N=P= 则集合M，N，P的关系为 A.M=N　P B.M　N=P C.M　N　P D.N　P　M √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M= N= P=所以M　N=P. 解析 13.已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B　A，则实数a的取值范围为　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {a|a<-4或a>2} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当B=∅时，2a>a+3，即a>3，显然满足题意；②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 解析 可得 解得a<-4或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|a<-4或a>2}. 14.若集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集，则实数a的值是　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为集合A={x|(a-1)x2+4x-2=0}有且仅有两个子集， 所以集合A中只含有1个元素. 当a=1时，A={x|4x-2=0}=符合题意； 当a≠1时，要使集合A中只有一个元素，只需Δ=42-4(a-1)×(-2)=0，解得a=-1， 综上所述， 实数a的值是1或-1. 解析 ±1 15.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}的关系是 A.M⊆S=P B.S=P⊆M C.S⊆P=M D.P=M⊆S 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 任取a∈M，则a=5k1-2=5(k1-1)+3，k1∈Z， 所以a∈P，所以M⊆P， 任取b∈P，则b=5n1+3=5(n1+1)-2，n1∈Z， 所以b∈M，所以P⊆M，所以M=P， 任取c∈S，则c=10m1+3=5·(2m1)+3，m1∈Z， 所以c∈P，所以S⊆P， 又8∈P，8∉S，所以S≠P，所以S⊆P=M. 解析 16.已知三个集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-bx+2=0}，同时满足B　A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1，2}， B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}， ∴1∈B. 又B　A，∴a-1=1，即a=2. ∵C={x|x2-bx+2=0}，且C⊆A， ∴C=∅或{1}或{2}或{1，2}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当C={1，2}时，b=3； 当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0， 即b=±2 此时x=±与C={1}或{2}矛盾，故舍去； 当C=∅时，Δ=b2-8<0， 即-2<b<2. 综上可知，存在a=2，b=3或-2<b<2满足B　A，C⊆A. 解 §1.1　集合 <<< $