第3章 §3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数零点存在定理及二分法求近似值，通过“小明渡河”实际问题导入，抽象为数学模型，衔接函数零点概念，构建从定性判断到定量求解的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过问题探究和定理辨析发展数学思维，二分法步骤化教学强化数学语言表达。例题与跟踪训练结合，清单式小结梳理知识，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第2课时 零点的存在性及其近似值的求法 第三章　 §3.2　函数与方程、不等式之间的关系 <<< 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤. 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题. 学习目标 路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两幅画面，并推断哪一幅能说明小明的行程一定曾渡过河？ 导 语 (1)　　 　　(2) 你能把这个实际问题抽象成数学模型吗？ 一、函数零点存在定理 二、二分法 课时对点练 三、用二分法求函数零点的近似值 随堂演练 内容索引 函数零点存在定理 一 提示　函数f(x)=2x-1的零点为∈(0，1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)= x2+4x-5的零点为-5，1，-5∈(-6，-4)，1∈(0，2)，且有f(-6)·f(-4)<0，f(0)f(2)<0，且以上函数在零点附近的图象都是连续的. 探究函数f(x)=2x-1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？函数f(x)=x2+4x-5呢？ 问题1 函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 的，并且 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)， . 连续不断 f(a)f(b)<0 f(x0)=0 知识梳理 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件. (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y=x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. 注 意 点 <<< 8 函数f(x)=x3+x-2的零点所在的区间是 A. B. C. D. √ 例 1 由题可知，f(x)为增函数，再由f(0)=-2<0，f(1)=-<0，f(2)=>0，f= 10>0，f=>0， 所以f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理知，零点在范围内. 解析 9 判断函数零点所在区间的方法 判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. 注意：对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之，不一定成立. 反 思 感 悟 10 (多选)若a<b<c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的零点所在区间为 A.(-∞，a) B.(a，b) C.(b，c) D.(c，+∞) 跟踪训练 1 √ √ 11 ∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)， ∴f(a)=(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b)， ∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内. 解析 12 二 二分法 提示　可以不断地取两个价格的中间值，能够比较迅速地接近真实价格. 某档综艺栏目有猜价格游戏，主持人给出一件商品，让参赛者猜价格.在规定的时间内猜中，则商品归参赛者所有.参赛者可以不断报价格，主持人只说“高了”或“低了”，采取什么样的策略，能提高猜中的可能性？ 问题2 二分法的概念 一般地，求函数零点的近似值，可以通过计算 ，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求函数零点近似值的方法称为二分法. 区间中点函数值 知识梳理 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.它是一种近似求解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零” “无限逼近”等数学思想方法的具体体现. (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y=x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. 注 意 点 <<< 16 (1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 例 2 √ 17 按定义，f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图象经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解. 解析 18 (2)(多选)下列函数中，能用二分法求零点的是 A.f(x)=2x+3 B.f(x)=x2+2x-6 C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1 √ 因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0，故C不能用二分法求零点，其余的都可以. 解析 √ √ 19 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 反 思 感 悟 20 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似值的零点的个数分别为 A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 跟踪训练 2 由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似值，而其余3个均可使用二分法求零点近似值. 解析 √ 21 用二分法求函数零点的近似值 三 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图象是_____ _______，且 ，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下：  第一步：检查 是否成立，如果成立，取x1=计算结束；如果不成立，转到第二步.  连续 不断的 f(a)f(b)<0) |b-a|≤2ε 第二步： 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f =0，取x1=计算结束； 若f ≠0，转到第三步. 第三步： 若f(a)f <0，将的值赋给b回到第一步； 否则必有f f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步. 这些步骤可用如图所示的框图表示. 用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度为0.1) 例 3 26 令f(x)=2x3+3x-3， 经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0， f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3+3x-3=0在(0，1)内有解. 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0， 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解. 解 27 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： 解 由于|0.625-0.75|=0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解. (a，b) 中点c f(a) f(b) f (0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625，0.75) |0.625-0.75|=0.125<0.1×2 28 若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？ 延伸探究 在本例的基础上，取区间(0.625，0.75)的中点x=0.687 5，因为f(0.687 5) <0，f(0.75)>0且|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.05×2，所以x=0.718 75可作为方程的一个近似解. 解 29 (1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[a，b](一般采用估计值的方法完成). ②取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(a，c)还是(c，b)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. (2)切记最后的区间的两端点满足|b-a|≤2ε，则取x=为所求函数零点的近似值. 反 思 感 悟 30 1.知识清单： (1)函数零点存在定理. (2)二分法的概念. (3)用二分法求函数零点的近似值. 2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时精确度理解不准确. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 A.[-2，-1] B.[-1，0] C.[0，1] D.[1，2] √ 由于f(-2)=-3<0，f(-1)=4>0，故可以取区间[-2，-1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算. 解析 1 2 3 4 2.(多选) 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是 x 1 2 3 5 f(x) 3 -1 2 0 A.(1，2) B.[1，3] C.[2，5) D.(3，5) √ √ √ 1 2 3 4 由图表可知，f(1)=3，f(2)=-1，f(3)=2，f(5)=0.由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；则函数f(x)在[1，3]上一定有零点；由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点；则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)=0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点. 解析 1 2 3 4 3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.02)为 A.1.312 5 B.1.375 C.1.422 25 D.1.406 5 √ 1 2 3 4 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0， ∴f(1.406 5)·f(1.438)<0， ∴该方程的解在区间(1.406 5，1.438)内， 又|1.406 5-1.438|=0.031 5<0.02×2， ∴方程的近似解可以是1.422 25. 解析 1 2 3 4 4.函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 　　　　.  ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出， ∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切. ∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b. 解析 a2=4b 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 ABD B AC C ACD C (0，0.5)　 f(0.25) 题号 8 11 12 13 14 15 答案 B 4 1 4 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f(x)=x2-5， 因为f(2.2)=-0.16<0，f(2.4)=0.76>0， 所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0. 取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3， f(2.3)=0.29， 因为f(2.2)·f(2.3)<0， 所以x0∈(2.2，2.3). 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 再取区间(2.2，2.3)的中点x2=2.25， f(2.25)=0.062 5， 因为f(2.2)·f(2.25)<0， 所以x0∈(2.2，2.25). 由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05， 因此原方程的正零点近似值可取为=2.225. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1， 所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以f(1)·f(2)=-7<0. 且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间[1，2]上的图象连续， 所以f(x)在区间(1，2)中存在零点. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)中存在零点， 由表知f(1)=-1，f(1.5)=1， 所以f(1)·f(1.5)<0， 所以f(x)的零点在(1，1.5)中， 因为f(1.25)=-0.406 25， 所以f(1.25)·f(1.5)<0， 所以f(x)的零点在(1.25，1.5)中， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(1.375)≈0.183 59， 所以f(1.25)·f(1.375)<0， 所以f(x)的零点在(1.25，1.375)中， 由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2， 所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设x(1≤x≤29，x∈N+)名木工制作课桌，(30-x)名木工制作椅子. 一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)=(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==要想任务完成最快， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)=Q(x)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 下面用二分法的思想求x0. 令f(x)=P(x)-Q(x)=+则f(1)=-≈13.60>0， f(29)=-20≈-19.51<0，所以x0∈(1，29)； 取区间(1，29)的中点x1==15，f(15)≈-0.38<0，所以x0∈(1，15)；同理可得，x0∈(8，15)，x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.812 5). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又x0∈N+，所以x0=12或x0=13. 当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短.当x0=12时，f(x)≈0.079；当x0=13时，f(x)≈ -0.078. 因为|0.079|>|-0.078|，所以取x0=13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快. 基础巩固 1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是 A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 √ 由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2.用二分法求函数y=f(x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1==3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是 A.(2，4) B.(2，3) C.(3，4) D.无法确定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(多选)下列关于函数y=f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是 A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)=0，则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的 零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知A正确； 因为函数f(x)不一定连续，故B错误； 由函数f(x)的零点的定义知C正确； 用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 14 8 -2 2 7 3 -2 -1 8 则函数f(x)在区间[1，9]上的零点至少有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(2)=8>0，f(3)=-2<0，f(4)=2>0， f(6)=3>0，f(7)=-2<0，f(8)=-1<0，f(9)=8>0， ∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0， ∴在(2，3)，(3，4)，(6，7)，(8，9)上都至少各有一个零点， ∴至少有4个零点. 解析 5.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是 [-2，4]，则第三次所取的区间可能是 A. B.[-2，1] C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵第一次所取的区间是[-2，4]，∴第二次所取的区间可能为[-2，1]， [1，4]，∴第三次所取的区间可能为. 解析 6.用二分法求方程的近似解，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为 A.1.625 B.1.75 C.1.812 5 D.1.875 由表格可得，当精确度为0.1时，函数f(x)=x3+2x-9的零点在(1.75，1.875)中， 故方程x3+2x-9=0的近似解可取为1.812 5. 解析 √ 7.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈　　 　　，第二次应计算　　 　 .  ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f =f(0.25). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (0，0.5) f(0.25) 8.设f(x)=x2-3x+a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围 为　　　　 .  显然函数f(x)图象的对称轴是直线x= 根据二次函数的性质可知f(1)<f(3). 因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点， 所以f(3)·f <0或f =0， 解得0<a≤. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.用二分法求方程x2-5=0的一个正零点近似值.(精确度为0.05) 令f(x)=x2-5，因为f(2.2)=-0.16<0，f(2.4)=0.76>0， 所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0. 取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，f(2.3)=0.29， 因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3). 再取区间(2.2，2.3)的中点x2=2.25，f(2.25)=0.062 5， 因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2，2.25). 由于|2.25-2.2|=0.05<2×0.05， 因此原方程的正零点近似值可取为=2.225. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1. (1)求证：f(x)在区间(1，2)中存在零点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=2x3-x2-3x+1， 所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以f(1)·f(2)=-7<0. 且f(x)=2x3-x2-3x+1在区间[1，2]上的图象连续， 所以f(x)在区间(1，2)中存在零点. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1). x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 f(x)的近似值 -1 1 -0.406 25 0.183 59 -0.138 18 0.015 81 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)中存在零点，由表知f(1)=-1，f(1.5)=1， 所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)中，因为f(1.25)=-0.406 25， 所以f(1.25)·f(1.5)<0， 所以f(x)的零点在(1.25，1.5)中， 因为f(1.375)≈0.183 59， 所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)中， 由于|1.375-1.25|=0.125<0.1×2， 所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是=1.312 5. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)，g(x)的图象在[-1，3]上都是连续不断的.根据下表，能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是 x -1 0 1 2 3 f(x) -0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x) -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令F(x)=f(x)-g(x)， 因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)=-0.147<0， F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.44<0， F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0， F(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0， F(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0， 于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0，1)内有零点，即f(x)=g(x)在(0，1)内有实数解. 解析 12.用二分法求方程x3-x2-1=0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定 在区间(1，2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为　　 　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f(x)=x3-x2-1，则f(1)=-1<0，f(2)=3>0，f =>0，所以f f(1)<0， 故可断定该实数根所在的区间为. 解析 13.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)中有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 设等分的最少次数为n，则由<0.01， 得2n>10，∴n的最小值为4. 解析 14.设方程2x+x3=10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n+1)，n∈N+，则n=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=2x+x3-10， 又f(0)=-10，f(1)=-7，f(2)=2， ∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1，2)，n=1. 解析 1 15.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　　　次就可以发现这枚假币.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币.综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币. 解析 16.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设x(1≤x≤29，x∈N+)名木工制作课桌，(30-x)名木工制作椅子.一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)=(30-x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)==要想任务完成最快， 解 则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)=Q(x)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 下面用二分法的思想求x0. 令f(x)=P(x)-Q(x)=+则f(1)=-≈13.60 >0，f(29)=-20≈-19.51<0，所以x0∈(1，29)；取区间(1，29)的中点x1==15，f(15)≈-0.38<0， 解 所以x0∈(1，15)；同理可得，x0∈(8，15)，x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.812 5). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又x0∈N+，所以x0=12或x0=13. 当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短. 当x0=12时，f(x)≈0.079；当x0=13时，f(x)≈-0.078. 解 因为|0.079|>|-0.078|，所以取x0=13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快. 第三章　 §3.2　函数与方程、不等式之间的关系 <<< $